體育統(tǒng)計數(shù)據(jù)特征

體育統(tǒng)計數(shù)據(jù)特征第一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六一、集中量數(shù)由頻數(shù)分布表可看出頻數(shù)分布的兩個重要特征：集中趨勢和離散程度。如：例2.2，身高有高有矮，但中等身高居多，此為集中趨勢；由中等身高到較矮或較高的頻數(shù)分布逐漸減少，反映了離散程度。對于數(shù)值變量資料，可從集中趨勢和離散程度兩個側面去分析其規(guī)律性。第二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六集中趨勢:在一組數(shù)據(jù)中變量值集中的位置（數(shù)據(jù)分布最密集的位置）。集中量數(shù)：反映集中趨勢的統(tǒng)計量稱為集中量數(shù)。常用的集中量數(shù)有：（1）算術平均數(shù)（2）中位數(shù)（3）眾數(shù)第三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六1、算術平均數(shù)定義：所有觀察值之和除以總頻數(shù)，簡稱均數(shù)。樣本均數(shù)：總體均數(shù)：含義：反映同質研究對象觀察值的平均水平與集中趨勢的統(tǒng)計量。

第四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六算術平均數(shù)的計算方法（1）直接法：由觀察值直接計算，用于樣本含量較少時，其公式為：式中，希臘字母Σ表示求和；

X1，X2，…，Xn為各觀察值；

n為樣本含量，即觀察值的個數(shù)。第五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六例1：某少年組運動員10人，立定跳遠成績（單位：米）如下表試求其均值。（p26例3.1）解：返回編號12345678910成績2.722.682.782.832.622.813.093.002.942.89第六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六（2）加權法：當資料中出現(xiàn)相同觀察值時，可將相同觀察值的個數(shù)（即頻數(shù)）與該觀察值X的乘積代替相同觀察值逐個相加，即

X1

，X2，……

，Xkf1

，f2，……

，fk其公式為：第七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六例2：某人50發(fā)射擊成績?nèi)缦卤?，試求其均?shù)。（p16例2.1）解：環(huán)數(shù)

5

6

8

9

10頻數(shù)

4

3

18

22

3第八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六（3）簡捷法：主要是針對連續(xù)型頻數(shù)分布表，是加權法的一種變形形式。其公式為：式中：：所在組的組下限

f：該組的頻數(shù)

i：組距第九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六身高頻數(shù)115~1118~3121~8124~10127~20130~19133~12136~4139~2142~1451總和80例3：80名上海市小學二年男生身高數(shù)據(jù)如下表：求其均值。（p16例2.2）解：第十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六算術平均數(shù)的適應范圍及優(yōu)缺點優(yōu)點：（1）均數(shù)作為反映變量的集中量數(shù)，既考慮到頻次的多少，又考慮到每一個變量值的大小，故它是可靠的、靈敏的，也是對資料提供信息運用最充分的。（2）均數(shù)適合代數(shù)運算，計算方便，因此是一個用途最廣、效果最好的集中量數(shù)。第十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六缺點：（1）均數(shù)易受少數(shù)極端數(shù)據(jù)的影響而大大改變其數(shù)值，從而相對削弱它作為集中量數(shù)的代表性。適應范圍：數(shù)據(jù)嚴重偏態(tài)分布時，一般不用均數(shù)反映它的集中趨勢。一般應用于正態(tài)或近似正態(tài)的數(shù)據(jù)。第十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六給定一組數(shù)據(jù)資料，如何判斷是否適合選用算術均數(shù)來表達其平均水平呢？（1）如果是小樣本，可用目測法：如果數(shù)據(jù)相差不太懸殊，將數(shù)據(jù)由小到大排列后，較小和較大的數(shù)據(jù)個數(shù)基本相等，且關于最中間的數(shù)據(jù)基本對稱即可。（2）如果大樣本，將其按一定組距分組，若居中的組段內(nèi)頻數(shù)最大，而且在該組前后的組段內(nèi)的頻數(shù)逐漸減少且基本對稱，也適合用算術均數(shù)。第十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六關于集中趨勢的討論集中趨勢反映的是位置，不能比較大小。

例：甲班體育統(tǒng)計平均成績乙班體育統(tǒng)計平均成績上式反映的是：乙班的成績比甲班好（平均水平），而不能說乙班的集中趨勢比甲班大。第十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六2、中位數(shù)定義：是把各個變量值按大小順序排列后，位于序列中間的數(shù)，稱為中位數(shù)，是一種位置指標，反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一個統(tǒng)計量。記為：含義：反映一組觀察值在位置上的平均水平。第十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六中位數(shù)的計算離散型數(shù)據(jù)（1）數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)個時：（2）數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)個時：連續(xù)型數(shù)據(jù)（略）第十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六例4：求下列兩組數(shù)的中位數(shù)（1）14，2，17，9，22，13，1，7，11（2）1，26，11，9，14，13，7，17，22，2解：先排序（1）1，2，7，9，11，13，14，17，22

該組的中位數(shù)為：11

（2）1，2，7，9，11，13，14，17，22，26

該組的中位數(shù)為：第十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六優(yōu)缺點及適用條件優(yōu)缺點：（1）由于中位數(shù)只受居中變量值的影響，故它不夠靈敏、充分。（2）不會受到極端數(shù)據(jù)的影響。適用條件：適用于任何分布資料，特別是偏態(tài)分布、分布不明、分布末端無確定值。第十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六極端數(shù)據(jù)對均數(shù)和中位數(shù)影響的舉例例5：分別求下列兩組數(shù)的均數(shù)和中位數(shù)。（1）1，2，7，9，11，13，14，17，22

（2）1，2，7，9，11，13，14，17，100解：（1）中位數(shù)為：11均數(shù)為：10.67

（1）中位數(shù)為：11均數(shù)為：19.33第十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六3、眾數(shù)定義：在一次實驗中出現(xiàn)次數(shù)（頻數(shù)）最多的觀察值；在頻數(shù)分布表中對應于數(shù)據(jù)最集中所在位置的觀察值。記作：適應條件：適用于大樣本；較粗糙。第二十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六例6：某班體育考試成績?nèi)缦卤恚涸摻M數(shù)據(jù)的眾數(shù)：分數(shù)7071727374757677787980頻數(shù)2461411975431第二十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六4、均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三者關系正態(tài)分布時：均數(shù)＝中位數(shù)＝眾數(shù)右偏態(tài)分布時：均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)左偏態(tài)分布時：均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)第二十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六常用集中趨勢指標及應用條件集中趨指標應用場合算術均數(shù)適用于對稱分布，特別是正態(tài)分布眾數(shù)大樣本，較粗糙。中位數(shù)適用于任何分布資料，特別是偏態(tài)分布、分布不明、分布末端無確定值第二十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六二、離散量數(shù)例7：兩組學生的引體向上成績?nèi)缦拢杭捉M：3，5，5，5，5，6，6

乙組：1，2，4，5，6，8，9

從該上述資料中兩組數(shù)據(jù)我們可以看出：（1）甲組和乙組的平均成績都是5。（2）這兩組數(shù)據(jù)的分布特征不盡相同，各組的7個數(shù)據(jù)間參差不齊的程度是不一樣的。（3）根據(jù)常識：我們會認為甲組的成績比乙組好。第二十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六離散程度（變異程度）:反映數(shù)據(jù)分布的密集程度。離散量數(shù)：反映數(shù)據(jù)離散程度的指標稱為離散量數(shù)。常用的離散量數(shù)：

1、全距

2、方差、標準差

3、變異系數(shù)第二十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六1、全距（極差）定義：該組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差。計算方法：R=max-min

例7中：因為：所以：甲組成績的離散程度（變異程度）小于乙組成績。第二十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六優(yōu)缺點：（1）計算簡單方便。（2）只反映出該組數(shù)據(jù)資料中最大值與最小值的信息，其他數(shù)據(jù)信息反映不充分。（3）只能比較數(shù)據(jù)數(shù)目相同的同質數(shù)據(jù)。適用條件：樣本含量較小時，數(shù)據(jù)分布相對比較均勻的數(shù)據(jù)。第二十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六2、離均差平方和

表示所有數(shù)到均數(shù)差的代數(shù)和。第二十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六的幾何解釋：表示各點到均數(shù)距離的和。由于該值為零，無法反映數(shù)據(jù)的離散程度，但是對我們找一個合適的指標來反映離散程度有一定啟發(fā)意義。第二十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六表示所有數(shù)到均數(shù)差的絕對值的和。的幾何解釋：表示各點到均數(shù)路程的和。如果這個值越小則離散程度就越小，反之亦然。優(yōu)點：反映的信息充分。缺點：（1）只能比較數(shù)據(jù)數(shù)目相同的同質數(shù)據(jù)。（2）式中包含絕對值符號。第三十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六：離均差平方和，表示所有數(shù)和均數(shù)差的平方的代數(shù)和。離均差平方和的含義：表示所有數(shù)據(jù)的總變異即總的離散程度。優(yōu)點：充分、靈敏、嚴密確定。缺點：只能比較數(shù)據(jù)數(shù)目相同的同質數(shù)據(jù)。第三十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六為什么我們一般不使用離均差平方和來反映數(shù)據(jù)的離散程度（變異程度）？例：現(xiàn)在有兩個班同時在學習《體育統(tǒng)計》，甲班有45人，乙班有40人，考試結束后，比較兩個班的《體育統(tǒng)計》成績？是分別比較兩個班的總分還是平均分?

結果是顯而易見的：比較平均分，因為兩個班的人數(shù)不相等。

離均差平方和就相當于這里的總分。第三十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六3、方差定義：離均差平方和除以該組數(shù)據(jù)的總頻數(shù)。其公式為：

n-1:自由度總體方差：樣本方差：第三十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六含義：表示每個觀察值的平均離散程度，方差越大，說明數(shù)據(jù)的離散程度越大。優(yōu)點：（1）靈敏性、嚴密確定、充分性。（2）可以比較不同數(shù)目同質數(shù)據(jù)的各組數(shù)據(jù)資料。缺點：（1）容易受到極端數(shù)據(jù)影響。（2）它的單位與觀察值的單位不同，是觀察值單位的平方，這給我們解釋實際問題造成了一些麻煩。

第三十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六4、標準差定義：方差的平方根。其公式為：

式中，n-1:自由度含義：反映每個數(shù)據(jù)的平均離散程度，標準差越大，說明數(shù)據(jù)的離散程度越大。總體標準差：樣本標準差：第三十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六標準差的優(yōu)缺點及適用條件優(yōu)缺點：（1）靈敏性、嚴密確定、充分性。（2）標準差能對平均數(shù)的代表性作出補充說明。標準差越大，表明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大，平均數(shù)的代表性越差；標準差越小，表明這組數(shù)據(jù)的離散程度越小，平均數(shù)的代表性越好。（3）與方差相比，標準差更容易解釋實際問題。（4）易受極端數(shù)據(jù)的影響。適用條件：（1）數(shù)據(jù)分布相對比較均勻，正態(tài)或近似正態(tài)的數(shù)據(jù)。第三十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六標準差的計算方法（1）直接法：用于樣本量較小的資料。其公式為：其中：第三十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六例8：某少年組運動員10人，立定跳遠成績（單位：米）如下表試求其標準差。（p26例3.1）解：

編號12345678910成績2.722.682.782.832.622.813.093.002.942.89第三十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六（2）加權法：用于樣本量較大的離散型頻數(shù)表資料。其公式：其中，第三十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六例9：某人50發(fā)射擊成績?nèi)缦卤?，試求其標準差。（p16例2.1）解：環(huán)數(shù)

5

6

8

9

10頻數(shù)

4

3

18

22

3第四十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六（3）簡捷法：是加權法的另一種變形形式，主要用于連續(xù)型頻數(shù)分布表。其公式為：：組下限f：該組的頻數(shù)其中：第四十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六身高頻數(shù)115~1118~3121~8124~10127~20130~19133~12136~4139~2142~1451總和80例10：80名上海市小學二年男生身高數(shù)據(jù)如下表：求其均值。（p16例2.2）解：第四十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六5、變異系數(shù)定義：同組數(shù)據(jù)的標準差與平均數(shù)的百分比。含義：表示數(shù)據(jù)的相對變異程度，變異系數(shù)越小，變異程度就越小；變異系數(shù)越大，變異程度就越大。適用條件：①比較單位相同但均數(shù)相差較大數(shù)據(jù)。②比較單位不同的數(shù)據(jù)。第四十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六例11：測100名男生100米跑成績；立定跳遠，，是比較兩項成績哪一項整齊。解：所以：100米跑成績更整齊。第四十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六6、標準差（方差）與變異系數(shù)的區(qū)別標準差反映數(shù)據(jù)的絕對離散程度（變異程度）；變異系數(shù)反映數(shù)據(jù)相對的變異程度。標準差（方差、全距）只能比較同質的數(shù)據(jù)；變異系數(shù)可以比較不同質的數(shù)據(jù)。變異系數(shù)只能比較大小，不能進行代數(shù)運算。例：上式無任何實際意義?。?！第四十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六集中趨勢離散趨勢應用場合算術均數(shù)標準差適用于對稱分布，特別是正態(tài)分布中位數(shù)全距變異系數(shù)適用于任何分布資料，特別是偏態(tài)分布、分布不明、分布末端無確定值適用于均數(shù)相差懸殊或度量衡單位不同的資料各種樣本特征數(shù)的適應條件第四十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六本章重點內(nèi)容明確均數(shù)、中位數(shù)、標準差和變異系數(shù)的優(yōu)缺點及其適用條件。均數(shù)、中位數(shù)、標準差和變異系數(shù)的含義。均數(shù)、中位數(shù)、標準差和變異系數(shù)的計算。第四十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六自由度：

在統(tǒng)計學中，n個數(shù)據(jù)如不受任何條件的限制，則n個數(shù)據(jù)可取任意值，稱為有n個自由度。若受到k個條件的限制，就只有（n－k）個自由度了。計算標準差時，n個變量值本身有n個自由度。但受到樣本均數(shù)的限制，任何一個“離均差”均可以用另外的（n－1）個“離均差”表示，所以只有（n－1）個獨立的“離均差”。因此只有（n－1）個自由度。

返回第四十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六身高頻數(shù)累計頻數(shù)頻率累計頻率115~111.25%1.25%118~343.75%5.00%121~81210%15.00%124~102212.5%27.50%127~204225%52.5%130~196123.75%76.25%133~127315%91.25%136~4775%96.25%139~2792.50%98.75%142~1451801.25%100%總和80返回第四十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六計算器用法

MODEMODE1“SD”

★SHIFTCLR1EXE（=）“清除數(shù)據(jù)”

X1M+“輸入數(shù)據(jù)”

X2M+﹡﹡﹡﹡﹡﹡XnM+SHIFT21EXE(=)“算術平均數(shù)”

SHIFT23EXE(=)“標準差”

第五十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六

MODEMODE1“SD”

★SHIFTCLR1EXE（=）“清除數(shù)據(jù)”

2.72M+“輸入數(shù)據(jù)”

2.68M+2.78M+﹡﹡﹡﹡﹡﹡2.89M+SHIFT21EXE(=)“2.836”SHIFT23EXE(=)“0.147”

第五十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六

MODEMODE1“SD”

★SHIFTCLR1EXE（=）“清除數(shù)據(jù)”X1SHIFT，f1M+“輸入數(shù)據(jù)”X2SHIFT，f2M+﹡﹡﹡﹡﹡﹡XnSHIFT，fnM+SHIFT21EXE(=)“算術平均數(shù)”SHIFT23EXE(=)“標準差”

其中：fn表示Xn對應的頻數(shù)。第五十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六

MODEMODE1“SD”

★SHIFTCLR1EXE（=）“清除數(shù)據(jù)”115SHIFT，1M+118SHIFT