信用風險和信用衍生工具

信用風險和信用衍生工具Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity第一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity信用風險和信用衍生工具在存在違約風險的情況下，如何對金融資產進行估值是本章的重點。估值的方法可以分為兩類：一類是圍繞著發(fā)行公司(或國家)的價值問題展開的建模；另一類是圍繞違約風險的建模。稍后我們還將討論像標準普爾和穆迪等信用評級公司提供的服務。這些信用評級為人們提供了一種對公司相對資信的公開評估。本章還將介紹在業(yè)界廣泛使用的信用度量術和崩盤度量術。之后我們將討論考慮違約風險后的衍生工具定價問題、信用衍生工具及其定價問題。

第二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity公司價值為隨機變量的模型假定發(fā)行債券的公司具有價值A,而且A是隨機的并服從隨機微分方程：違約通過破產的概念來加以建模。我們將假定一旦公司的價值低于某一臨界水平時公司將宣布破產。

第三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity確定利率的情況

(1)假定利率是固定已知的。由于債券價值V是公司價值A和時間的函數，運用伊騰引理（6.10）我們有：

第四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity確定利率的情況

(2)由于風險源相互抵消,我們就可得到V遵循的偏微分方程：邊界條件第五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity隨機利率的情況

(1)現在假定債務的價值

V

是一個三個變量的函數，則我們有

V(A,r,t)。

為了得到

V

應滿足的方程，我們將一單位風險債券多頭，加上單位價格為P(r,t)的無風險零息票債券空頭和單位的空頭A組成對沖組合:第六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity隨機利率的情況

(2)消除

dr

項和dA,我們就可得到V遵循的偏微分方程:第七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity隨機利率的情況

(3)在公司價值和利率之間的相關關系為零時的這種特殊情況下，上述偏微分方程的解可寫作如下形式：H(A,t)滿足:

第八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity用可測的參數和變量建模(1)

我們將對一個經營程序非常簡單的公司的債務進行定價:它出售自己的產品,支付成本并將所有的利潤存入銀行。在這個模型中的關鍵量是公司的收入。這些收入被認為是公司從產品銷售中獲得的總收入。利潤就是經營總收入扣除成本。假定公司的年總收入

E

是隨機的

第九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity用可測的參數和變量建模(2)我們假定公司的年固定成本為

E*

。可變成本為

kE

。利潤E-E*-kE=(1-k)E-E*

存入銀行賺取一個固定利率

r

。如果我們用

C表示在銀行賬戶中的現金，那么有：

第十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity用可測的參數和變量建模(2)C

應滿足的隨機微分方程:

仍然通過伊藤引理和無套利定價法，我們可以求出dV遵循的偏微分方程：

第十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity用可測的參數和變量建模(3)（一）有限責任公司如果公司沒有負債，當時間T0

公司在銀行中具有一個負的金額時，則V(E,C,T0)=max(C,0)

（二）合伙企業(yè)如果企業(yè)所有者對公司的負債負有無限償還責任，則當C<0時，V(E,C,T0)=C

第十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity泊松過程和瞬態(tài)違約風險(1)

建立信用風險模型的另一種方法采用了瞬態(tài)違約風險q。如果在t時刻公司沒有違約，那么在t和t+dt期間的違約概率是qdt。

設Q(t;T)是給定公司在t時刻沒有違約的情況下，在T時刻之前公司不違約的概率。在t時刻公司不違約地前提下，公司在T時刻不違約的概率Q(t;T)等于公司在T-dt時刻不違約的概率Q(t;T-dt)乘以T-dt時刻到T時刻之間不違約的概率（1-qdt）。即：第十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity泊松過程和瞬態(tài)違約風險(2)在不考慮違約風險溢酬的情況下，有違約風險的債券價值等于無違約風險的債券價值乘以有違約風險債券不違約的概率，因此現在我們將它應用在衍生證券上，包括風險債券。我們將假定即期利率是隨機的。為了簡化，我們將假定即期利率的擴散過程和違約事件的泊松過程之間不存在相關關系。構造一個“對沖”的資產組合：第十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity泊松過程和瞬態(tài)違約風險(3)V遵循的偏微分方程：

第十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity違約風險的期限結構(1)假定一家公司發(fā)行不同到期日的風險債券。我們可以從這些債券的市場價格推斷人們所認為的違約風險是如何取決于時間的。如果違約風險是依賴時間的，q(t)，并且與即期利率不相關，而且不考慮違約風險溢酬，那么風險債券的價值就是：

第十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity違約風險的期限結構(2)如果風險債券的市場價值為V*，那么我們可以寫作對其求T的微分，就得到目前市場對違約風險的觀點。

第十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity隨機的違約風險

(1)為了“改進”違約風險q固定的模型，并使其與市場價格相一致，現在我們考慮一個違約的瞬態(tài)概率本身是隨機的模型。

第十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity隨機的違約風險

(2)為了對我們的風險零息票債券進行估價，我們構造一個資產組合，它是由一單位價值為V(r,q,t)的風險債券多頭，和單位價值為F(r,t)的無風險債券空頭組成：在接下來的小時間段dt中，風險債券可能違約也可能無違約，違約概率qdt。

第十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity隨機的違約風險

(3)對資產組合價值變動取數學期望并省略dt的高階項，可得：

第二十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity具有正回收率的模型(1)

假定對于違約發(fā)生我們知道我們將獲得一個G數量金額。這將改變偏微分方程。要了解這一點我們回到方程(12.9)的推導上。如果不存在違約我們仍然有方程(12.7)。但是違約使方程(12.8)變成：

第二十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity具有正回收率的模型(2)我們損失了債券但是得到G。取數學期望結果是：現在你面臨的困難是如何估計G，或者作為另一個隨機變量為它建立模型。

第二十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity對沖違約風險

在上面我們運用了無風險債券對沖即期利率的隨機變動。我們是否可以在該組合中再引入另一個風險債券或多個風險債券來幫助對沖違約風險呢？

考慮對沖組合：

一個用來消除違約風險，另一個用來消除利率風險，通過與上面相似得分析我們可以得到：第二十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity信用度量術(CreditMetrics)信用度量術是由JPMorgan公司和其他一些合作機構（美國銀行、KMV、瑞士聯合銀行等）于1997年推出的，旨在提供一種進行在險價值（VaR）度量的框架，用于諸如貸款和私募債券等非交易性資產的估計和風險計算。與風險度量術類似，信用度量術尋求回答的問題是：“如果下一年是壞年份，在貸款（債券）和貸款組合（債券組合）上最多損失會有多少？”第二十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity信用評級

存在著許多對個別公司或國家編輯數據和估計違約可能性的信用評級機構。

他們中最著名的是標準普爾和穆迪公司。這些機構對公司指定一個信用評級或等級作為對他們信譽的一種估計。標準普爾的企業(yè)等級為AAA、AA、A、BBB、BB、B、CCC和違約。穆迪公司采用Aaa、Aa、A、Baa、Ba、B、Caa、Ca、C的等級

第二十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity信用評級變動

許多信用評級機構（如標準普爾公司、穆迪公司或KMV公司）會定期公布相應的信用轉換矩陣。這些矩陣是對過去的評級公司發(fā)生信用等級變化的統(tǒng)計資料。表12.3中展示了一個例子。

第二十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity信用風險數據集

數據集由四種數據類型構成：收益率曲線、價差、轉換矩陣和相關系數。CreditMetrics收益率曲線數據集由主要貨幣的無風險到期收益率構成。

對于每一個信用評級，數據集提供對于各個到期日超過無風險收益率的價差

在CreditMetrics框架中，轉換矩陣為一年時間各信用等級變動的概率。

當我們開始考察一個風險債券投資組合的行為時，我們必須考慮一個債券的重新評級或者違約與另一個債券的重新評級或違約之間是否存在著任何相互關系。

第二十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity信用風險度量術(1)

CreditMetrics的度量術是有關計算在將來某一時間(時間期限)風險投資組合可能的價值和估計這種價值出現的概率。

讓我們只考慮當前評級為AA級的單一風險債券。假定該債券為零息票的，到期期限為三年，而我們想要知道這個投資在一年時間的可能狀況。對于一個三年的無風險債券到期收益率可能是6.12%，該工具的到期收益率為6.12%加上三年AA債券級的價差0.54%。所以，總的收益率是6.66%，確定一個價格是0.819。第二十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity信用風險度量術(2)因為三個原因中的其中之一，債券的價值將從在現在起的一年時間中波動：時間的推移、利率的發(fā)展和債券重新評級的可能。讓依次來討論這三點。

第二十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity風險債券的投資組合

我們已經知道如何對單個風險債券應用CreditMetrics的方法論，但將這種概念應用到風險債券的投資組合顯然要困難得多，因為它要求知道不同債券之間相互系數的知識。

要計算我們的投資組合的期望值和標準差，我們必須知道每個聯合狀態(tài)發(fā)生的概率。這正是相關關系進入的地方。

第三十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity崩盤度量術(CrashMetrics)CrashMetrics是一種評估在萬一發(fā)生金融市場極端變動情況下投資組合的表現。它不是JPMorgan業(yè)績度量家族的成員。其研究重點是金融工具的投資組合是如何在最糟糕情況的場景下并在幾乎沒有任何關于市場變動大小或它的時間方面的假設前提下被估價的。唯一的假設是關于市場變動方面的，“崩盤”在規(guī)模上受到限制，而且，崩盤的次數在其它方面也受到限制。有關崩盤的規(guī)模和時間的概率分布上則沒有任何假設。

第三十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity單個股票的崩盤度量術

在這里我們考慮它是一個股票價值的變動可以由基本標的資產變動的泰勒序列展開式來加以近似

最糟糕情況下的投資組合變動為

第三十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity投資組合優(yōu)化

在找到了一種能發(fā)現可能發(fā)生的最糟情況是什么的技術后，很自然要問如何使最糟情況不那么糟。這可以通過最優(yōu)靜態(tài)對沖來實現。假定存在著一種可利用來對沖我們投資組合的合約。該合約具有一個Delta和一個Gamma，具有適當靜態(tài)套期保值的投資組合現在價值總變化為：

第三十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity多資產/單指數模型(1)

通過將任何一個資產的極端變動的大小與象S&P500這樣的一個或幾個基準聯系起來，我們可以度量資產和期權的投資組合的表現。這些變動的相對大小是通過每個資產相對基準的崩盤系數來度量的。如果基準變動了x%，那么第i個資產變動了kix%。

在單一指數多資產模型中我們可以把投資組合價值的變動寫作

第三十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity多資產/單指數模型(2)我們假定當存在著一個極端變動時，每個資產的百分比變動可以與基準的變動百分率x相關聯：

注意這里是怎樣包括了一階和二階的崩盤風險暴露的。一階系數D是崩盤Delta而二階系數G是崩盤Gamma。

第三十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity多指數模型

以同樣的方式，CAPM模型可以容納多個指數，所以我們可以有一個多指數的CrashMetrics模型。股票和期權投資組合的價值變動現在是所有的xj的二次方程式。此時我們必須決定在什么指數收益率范圍內我們要尋找最糟糕情況。

第三十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity崩盤矩陣的簡單擴展

首先，我們沒有敘述CrashMetrics的方法論可以怎樣應用到利率產品上。這不困難，只須運用一個收益率(或幾個收益率)作為基準并把產品價值變動通過久期和凸性與收益率變動聯系起來。

在崩盤之后通常存在著波動率上升的現象。波動率增加可以通過把Vega項加入到模型中來解決，這個Vega項還取決于崩盤的規(guī)模。

最后，通常的經驗告訴我們崩盤不久后股票將出現反彈，因此實際的價格下跌并非如人們認為的那樣糟。將這種動態(tài)效應合并到相對靜態(tài)的CrashMetrics中是一件有趣的工作。

第三十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity考慮到違約風險后的衍生工具定價

債券市場上對信用風險的調整可作為計算衍生證券違約損失的預期成本的基礎。為了簡化我們的討論，在這里采用了獨立性假設。即在無違約世界中影響衍生證券價值的變量與影響對方發(fā)生違約可能性和影響違約事件中收回率的變量之間是相互獨立的。并且假設公司零息票收益率曲線應該是針對這樣的一些債券，即在違約情況下，該債券的信用等級與期權的信用等級相同。

第三十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity債券的信用風險(1)

從前面的分析中我們知道假設風險債券與無風險債券都是采用貼現銷售的到期本息為1元的零息票債券，則有第三十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity債券的信用風險(2)得到我們可以推斷，如果不考慮對預期違約損失要求額外的補償，那么風險債券的較低價格應該恰好補償債券持有人的預期違約損失。預期的風險債券的違約損失與無風險債券價值的比例為第四十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity期權價格的信用風險調整(1)考慮由與風險債券具有相同信用評級公司發(fā)行的期限為T的歐式期權。對于所有這些實際市場變量而言，預期的有違約風險價值與無違約風險價值的比例都是相同的，期權和債券也一定是相同的。第四十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity期權價格的信用風險調整(2)信用風險的調整準則說明了當我們貼現衍生證券時應該采用“有風險”的貼現率而不是無風險的貼現率。因此，在對風險衍生證券進行貼現時，我們應該采用有風險利率替代無風險利率，但在確定風險中性世界中的期望收益率時，我們還是應該采用無風險利率進行貼現。第四十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity既可能是資產也可能是負債衍生證券的信用風險調整(1)設從t到ti之間預期的有違約風險價值與無違約風險價值的比例為：定義ui為ti時刻預期違約損失與無違約價值之間的比例第四十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity既可能是資產也可能是負債衍生證券的信用風險調整(2)全部的預期損失則確定為：對應的連續(xù)時間公式為：

第四十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity信用衍生證券隨著信用風險定價技術的發(fā)展，對于任何損益狀況的分布的估計已成為可能，從而推動了大量信用衍生證券的出現。所謂信用衍生證券就是與信用風險相關聯的衍生證券，其類型主要有兩類：一類是與違約事件相關聯的信用衍生證券；另一類是與信用變化相關聯的衍生證券。后者并不需要違約事件的發(fā)生，而前者則需要違約事件的發(fā)生。第四十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity違約觸發(fā)的衍生工具違約互換信用違約互換有限追索權票據資產交換第四十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity收益率差價衍生工具違約看漲期權和違約看跌期權信用差價期權第四十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity交換期權(1)一個在時間T按某一固定的q以零息票風險債券交換零息票無風險債券的期權所具有的回報為：假定在債券到期日TB

（TB>T）收到的本金為D，則從本章第二節(jié)的（12.3）可知，第四十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期六Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity交換期權(2)假定在債券到期日TB

（TB>T）收到的本金為D，則從本章第二節(jié)的（12.3）可知，在利率是常數的情況下，我們從本章第二節(jié)的分析可以得到風險債券價值遵循的偏微分方程是：第四十九頁，共五十五頁，編輯于20