任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 市賽獲獎(jiǎng)

浙江省

課前雙基鞏固課堂考點(diǎn)探究教師備用例題第二單元

三角函數(shù)、解三角形第16講

任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)考試說(shuō)明1.任意角、弧度制(1)了解角、角度制與弧度制的概念.(2)掌握弧度與角度的換算.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義.知識(shí)聚焦1.角的概念的推廣(1)定義:角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著

從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.

(2)分類(lèi):按旋轉(zhuǎn)方向分為

、

和零角;按終邊位置分為

和軸線角.

(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S=

.

正角負(fù)角象限角{β|β=α+k·360°,k∈Z}端點(diǎn)角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值角度與弧度的換算弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l=

扇形面積公式2.弧度制的定義和公式(1)定義:把長(zhǎng)度等于

的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角.弧度記作rad.

(2)公式:半徑長(zhǎng)|α|r

y圖2-16-1x余弦線正弦線正切線x軸原點(diǎn)點(diǎn)(1,0)(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào):一全正、二正弦、三正切、四余弦.圖2-16-2常用結(jié)論(1)象限角(2)軸線角圖2-16-3圖2-16-4

圖2-16-5對(duì)點(diǎn)演練題組一

常識(shí)題1.[教材改編]

終邊落在第一象限角平分線上的角的集合是

.(用角度表示)

[解析]終邊落在第一象限角平分線上的最小正角為45°,所以與其終邊相同的角的集合為{α|α=k·360°+45°,k∈Z}.{α|α=k·360°+45°,k∈Z}

二

15

3.[教材改編]

已知扇形的半徑為12cm,弧長(zhǎng)為18cm,則扇形圓心角的弧度數(shù)是

.

4.[教材改編]

若角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,2),則sinα-cosα+tanα=

.

題組二

常錯(cuò)題◆索引:對(duì)角的范圍把握不準(zhǔn);不熟悉角的終邊在不同象限時(shí)對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào);忽視角的終邊所在象限的可能情況;求弧長(zhǎng)或者扇形面積把角化為弧度數(shù)時(shí)出錯(cuò).

1

8.單位圓中,200°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為

,由該弧及半徑圍成的扇形的面積為

.

探究點(diǎn)一

象限角及終邊相同的角例1(1)角-2010°是 (

)

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角[思路點(diǎn)撥]先表示出與-2010°終邊相同的所有角,再對(duì)參數(shù)k特殊取值,得到與-2010°終邊相同的最小正角,進(jìn)而判斷;[解析]與-2010°終邊相同的角可表示為α=-2010°+k·360°,k∈Z,又當(dāng)k=6時(shí),α=150°,故與-2010°終邊相同的最小正角為150°,故-2010°是第二象限角,故選B.B

[思路點(diǎn)撥]對(duì)k分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分析角α的終邊所表示的范圍

C圖2-16-6

[總結(jié)反思](1)角α(0≤α<2π)與角2kπ+α(k∈Z)的終邊相同;(2)要求角β的終邊所在的象限,只需將角β表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,則角α的終邊所在的象限即為角β的終邊所在的象限.

B(2)已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊在如圖2-16-7所示的陰影部分表示的范圍內(nèi)(不包括邊界),則角α的所有取值的集合為

.

圖2-16-7

[思路點(diǎn)撥]找出圓弧所對(duì)的圓心角,用弧長(zhǎng)公式求解.

D

[思路點(diǎn)撥]設(shè)扇形的半徑為R,利用R表示弧長(zhǎng)l及扇形面積,再用配方法求解

A(3)已知扇形的圓心角為60°,其弧長(zhǎng)為π,則此扇形的面積為

.[思路點(diǎn)撥]設(shè)扇形的半徑為r,根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求出r的值,再由扇形的面積公式即可得出結(jié)論.

[總結(jié)反思]應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的策略:(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí),要注意角的單位必須是弧度;(2)涉及求扇形面積最大值的問(wèn)題,常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題,利用配方法使問(wèn)題得到解決;(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí),要合理地利用圓心角所在的三角形.變式題(1)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,其中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有宛田,下周三十步,徑十六步.問(wèn)為田幾何?”其意思為:“有一塊扇形的田,弧長(zhǎng)為30步,其所在圓的直徑為16步,問(wèn)這塊田的面積是多少平方步?”該問(wèn)題的答案為 (

)A.120 B.240 C.360 D.480

A

C[思路點(diǎn)撥]設(shè)出角θ終邊上任意一點(diǎn)(不同于原點(diǎn))的坐標(biāo),利用三角函數(shù)的定義分別求出cosθ,sinθ,進(jìn)而求得cos2θ-sin2θ.

B[總結(jié)反思]三角函數(shù)的定義主要應(yīng)用于兩方面:(1)已知角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離,然后用三角函數(shù)的定義求解三角函數(shù)值.特別地,若角α的終邊落在某條直線上,一般要分類(lèi)討論.(2)已知角α的某個(gè)三角函數(shù)值,可依據(jù)三角函數(shù)值設(shè)出角α終邊上某一符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題.[思路點(diǎn)撥]根據(jù)條件確定sinα與tanα,cosα與tanα的符號(hào)的關(guān)系,再確定α為第幾象限角

C[思路點(diǎn)撥]先判斷角4rad,3rad,2rad的終邊所在的象限,再得到sin4,cos3,tan2的符號(hào),進(jìn)而得到sin4·cos3·tan2的值的符號(hào).(2)sin4·cos3·tan2的值 (

)A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不確定

A[總結(jié)反思]判斷三角函數(shù)值的符號(hào),關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限,然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào),特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.

c>b>a

[總結(jié)反思]利用三角函數(shù)線比較大小時(shí),通常采用數(shù)形結(jié)合的方法.三角函數(shù)線為有向線段,既要注意它的長(zhǎng)度,又要注意它的方向.當(dāng)三角函數(shù)線的方向與x軸、y軸的正方向相同時(shí),所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值為正,反之為負(fù).【備選理由】例1考查象限角及終邊相同的角;例2考查弧長(zhǎng)公式的靈活運(yùn)用;例3考查三角函數(shù)的定義;例4考查三角函數(shù)線的基本應(yīng)用.例1

[配合例1使用]若α=k·180°+45°(k∈Z),則α為(

)A.第一或第三象限角

B.第一或第二象限角C.第二或第四象限角

D.第三或第四象限角[解析]當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),α=2n·180°+45°=n·360°+45°,α為第一象限角;當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時(shí)