考研數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)寶典微積分

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦考研數(shù)學(xué)——數(shù)學(xué)寶典(微積分【定義1.5】設(shè)函數(shù))(xf在一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的集合內(nèi)有定義,若對(duì)隨意Dx∈,都有))()()(()(xfxfxfxf=--=-或,則稱)(xf為D內(nèi)的奇（偶）函數(shù).

奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng))(xf為延續(xù)的函數(shù)時(shí),)(xf=0,即)(xf的圖形過原點(diǎn).偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.關(guān)于奇偶函數(shù)有如下的運(yùn)算邏輯：設(shè))()(21xfxf±為奇函數(shù),)(),(21ygxg為偶函數(shù),則

)()(21xfxf±為奇函數(shù)；)()(21xgxg±為偶函數(shù)；)()(11xgxf±非奇偶函數(shù)；

)()(11xgxf?為奇函數(shù)；)()(),()(2121xgxgxfxf??均為偶函數(shù).常數(shù)C是偶函數(shù),因此,奇函數(shù)加非零常數(shù)后不再是奇函數(shù)了.

利用函數(shù)奇偶性可以簡化定積分的計(jì)算.對(duì)討論函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)作圖都有很大協(xié)助.【例】推斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1)21

)(1)(xxnxf++=;

(2)?????>-≤-=-.

0,1,

0,1)(xexexgxx

【解】(1)由于)1(1)(1(1)(22xxnxxnxf++-=-++-=-2

2

221111)

1)(1(1x

xn

x

xxxxxn

++=++++++-=

),()1(12xfxxn-=++-=所以)1(1)(2xxnxf++=是奇函數(shù).

(2)由于)(0,

10,

10,10,1)()(xgxexexexexgxx

x

x-=?????--≤--=4．周期性

【定義1.6】設(shè)函數(shù)內(nèi)有定義在集合Ddxf)(,假如存在非零常數(shù)T,使得對(duì)隨意Dx∈,恒有)()(xfTxf=+成立,則稱)(xf為周期函數(shù).滿足上式的最小正數(shù)T,稱為)(xf的基本周期,簡稱周期.

我們熟知的三角函數(shù)為周期函數(shù)(考綱不要求),除此以外知之甚少.][xxy-=是以1為周期的周期函數(shù).][xy=與][xxy-=的圖形分離如圖1-1(a)和圖1-1(b)所示.

圖1-1

（三）初等函數(shù)1．基本初等函數(shù)

（1）常數(shù)函數(shù)Cy=,定義域?yàn)?-∞,+∞),圖形為平行于x軸的直線.在y軸上的截距為c.（2）冪函數(shù)αxy=,其定義域隨著α的不同而變化.但不論α取何值,總在（1,+∞）內(nèi)有定義,且圖形過點(diǎn)（1,1）.當(dāng)α＞0時(shí),函數(shù)圖形過原點(diǎn)（圖1-2）

（a）(b)

圖1-2

（3）指數(shù)函數(shù))1,0(≠=αααxy,其定義域?yàn)椋?∞,+∞）.

當(dāng)0＜α＜1時(shí),函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞減.當(dāng)α＞1時(shí),函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增.子數(shù)圖形過點(diǎn)（0,1）.微積分中常常用到以e為底的指數(shù)函數(shù),即xey=（圖1-3）

（4）對(duì)數(shù)函數(shù))1,0(log≠=αααxy,其定義域?yàn)椋?,+∞）,它與xyα=互為反函數(shù).微積分中常用到以e為底的對(duì)數(shù),記作nxy1=,稱為自然對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形過點(diǎn)（1,0）（圖1-4）

(圖1-3)(圖1-4)

另有兩類基本初等函數(shù)：三角函數(shù)與反三角函數(shù),不在考綱之內(nèi).對(duì)基本初等函數(shù)的特性和圖形要嫻熟地把握,這充分條件推斷、導(dǎo)數(shù)和定積分應(yīng)用中都很重要.例如,設(shè)fbaxbaxf),,(,),()(∈對(duì)隨意區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)在″)(x＜0.

則(1)f′)(x在),(ba內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)削減；（2）)(xf在),1(b上為凸弧,均不充分.此題可以用舉例的辦法來說明（1）、（2）均不充分.由初等函數(shù)的圖形可知,4xy-=為凸弧.y′=34x-在（－∞,∞＋）上嚴(yán)格單調(diào)遞減,但y″=-122x≤0,因此（1）,（2）均不充分,故選E.此題若把題干改成f″)(x≤0,則（1）,（2）均充分,差別就在等于零與不等于零.可見用初等函數(shù)圖形來推斷十分便捷.

2．反函數(shù)

【定義1.7】設(shè)函數(shù))(xfy=的定義域?yàn)镈,值域?yàn)镽,假如對(duì)于每一個(gè)Ry∈,都有惟一確定的Dx∈與之對(duì)應(yīng),且滿足)(xfy=x是一個(gè)定義在R以y為自變量的函數(shù),記作

.),(1Ryyfx∈=-

并稱其為)(xfy=反函數(shù).

習(xí)慣上用x作自變量,y作因變量,因此)(xfy=反函數(shù)常記為Rxxfy∈=-),(1.函數(shù))(xfy=與反函數(shù))(1xfy-=的圖形關(guān)于直線xy=對(duì)稱.

嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且函數(shù)與其反函數(shù)有相同的單調(diào)性.xyayaxlog==與互為反函.∈=xxy,2[0,+∞]的反函數(shù)為xy=,而∈=xxy,2（－∞,0）的反函數(shù)為xy-=（圖1-2（b））.

3．復(fù)合函數(shù)

【定義1.8】已知函數(shù)ffRyDuufy∈∈=,),(.又Dxxu∈=),(??,u≤R?,若ffRD非空,則稱函數(shù)

{}fDxxxxfy∈∈=)(|)],([??

為函數(shù))()(xuufy?==與的復(fù)合函數(shù).其中y稱為因變量,x稱為自變量,u稱為中間變量.

4．初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算而得到的一切函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù),初等函數(shù)在其定義域內(nèi)有統(tǒng)一的表達(dá)式.

（四）隱函數(shù)

若函數(shù)的因變量y顯然地表示成)(xfy=的形式,則稱其為明顯函數(shù).1),13(1,222-=-==xyxnyxy等.

設(shè)自變量x與因變量y之間的對(duì)應(yīng)法則用一個(gè)方程式0),(=yxF表示,假如存在函數(shù))(xfy=（不論這個(gè)函數(shù)是否能表示成顯函數(shù)）,將其代入所設(shè)方程,使方程變?yōu)楹愕仁剑?/p>

fDxxfxF∈=,0))(,(其中fD為非空實(shí)數(shù)集.則稱函數(shù))(xfy=由方程0),(=yxF所確定的一個(gè)隱函數(shù).

如方程1=+yx可以確定一個(gè)定義在[0,1]上的隱函數(shù).此隱函數(shù)也可以表示成顯函數(shù)的形

式,即

]1,0[,)1()(2∈-==xxxfy

但并不是全部隱函數(shù)都可以用x的顯函數(shù)形式來表示,如0=++yxexy由于y我法用初等函數(shù)表達(dá),故它不是初等函數(shù).另外還需注重,并不是任何一個(gè)方程都能確定隱函數(shù),如0122=++yx.

（五）分段函數(shù)

有些函數(shù),對(duì)于其定義域內(nèi)的自變量x的不同值,不能用一個(gè)統(tǒng)一的解析式表示,而是要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的式子表示,這類函數(shù)稱為分段函數(shù),如

?

?

?>≤-=???≤->+=.0,1,

0,1)(.0,1,0,1)(2xnxxexgxxxxxfx都是定義在（－∞,＋∞）上的分段函數(shù).

分段函數(shù)不是初等函數(shù),它不符合初等函數(shù)的定義.

二、極限（不在考試大綱內(nèi),只需了解即可）

極限是微積分的基礎(chǔ).（一）數(shù)列極限

根據(jù)一定挨次排成一串的數(shù)叫做數(shù)列,如nnaaaa?21,稱為通項(xiàng).1．極限定義

【定義1.9】設(shè)數(shù)列{}na,當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí),若通項(xiàng)na無限臨近某個(gè)常數(shù)A,則稱數(shù)列{}na收斂于A,或稱A為數(shù)列{}na的極限,記作

Aann=∞

→lim

否則稱數(shù)列{}na發(fā)散或nna∞

→lim不存在.

2．?dāng)?shù)列極限性質(zhì)

（1）四則極限性質(zhì)設(shè)byaxnnnn==∞

→∞

→lim,lim,則

).

0(limlimlim.

limlimlim.

limlim)(lim.

limlim≠===?=?±=±=±==∞

→∞→∞→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞→∞

→∞→bbayxyxabyxyxbayxyxcaxccxnnnn

n

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

（2）axaxknnnn=?=+∞

→∞

→limlim（k為隨意正整數(shù)）.

.limlimlim122axxaxnnnnnn==?=+∞

→∞

→∞

→

（3）若axnn=∞

→lim,則數(shù)列{}nx是有界數(shù)列.

（4）夾逼定理設(shè)存在正整數(shù)0N,使得0Nn≥時(shí),數(shù)列{}{}{}nnnzyx,,滿足不等式nnnyxz≤≤.若azynnnn==∞

→∞

→limlim,則axnn=∞

→lim.

利用此定理可以證實(shí)重要極限

enn

n=??

?

??+∞→11lim（e=

2.718,是一個(gè)無理數(shù)）.（5）單調(diào)有界數(shù)列必有極限設(shè)數(shù)列{}nx有界,且存在正整數(shù)0N,使得對(duì)隨意0Nn≥都有nnxx≤+1（或nnxx≥+1）,則數(shù)列{}nx的極限一定存在.

利用此定理可以證實(shí)重要極限

enn

n=??

?

??+∞

→11lim（e=

2.718,是一個(gè)無理數(shù)）.（二）函數(shù)的極限1．∞→x時(shí)的極限

【定義1.10】設(shè)函數(shù))(xf在)0(||>≥aax上有定義,當(dāng)∞→x時(shí),函數(shù))(xf無限臨近常

數(shù)A,則稱)(xf當(dāng)∞→x時(shí)以A為極限,記作

.)(limAxfn=∞

→

當(dāng)+∞→x或-∞→x時(shí)的極限當(dāng)x沿?cái)?shù)軸正（負(fù)）方向趨于無窮大,簡記+∞→x（-∞→x）時(shí),)(xf無限臨近常數(shù)A,則稱)(xf當(dāng)+∞→x（-∞→x）時(shí)以A為極限,記作

.

)(lim)(lim)(lim).)(lim()(limAxfAxfAxfAxfAxfnnnnn===?===+∞

→+∞

→∞

→-∞

→+∞→

3．0xx→時(shí)的極限

【定義1.11】設(shè)函數(shù))(xf在0x附近（可以不包括0x點(diǎn)）有定義,當(dāng)x無限臨近)(00xxx≠時(shí),函數(shù))(xf無限臨近常數(shù)A,則稱當(dāng)0xx→時(shí),)(xf以A為極限,記作

.)(lim0

Axfxx=→

4．左、右極限

若當(dāng)x從0x的左側(cè)（0xx）趨于0x時(shí),)(xf無限臨近一個(gè)常數(shù)A,則稱A為0xx→時(shí))(xf的右極限,記作

.)(lim0

Axfxx=+

→或Axf=+)0(0

.)(lim)(lim)(lim0

AxfAxfAxfxxxxxx===?=-+→→→

（三）函數(shù)極限的性質(zhì)1．惟一性

若,BxfAxfxxxx==→→)(lim,)(lim0

則A=B.

2．局部有界性

若Axfxx=→)(lim0

.則在0x的某鄰域內(nèi)（點(diǎn)0x可以除外）,)(xf是有界的.

3．局部保號(hào)性

若Axfxx=→)(lim0

.且A＞0（或A＜0＝,則存在0x的某鄰域（點(diǎn)0x可以除外）,在該鄰

域內(nèi)有)(xf＞0（或)(xf＜0＝。

若Axfxx=→)(lim0

。且在0x的某鄰域（點(diǎn)0x可以除外）有)(xf＞0（或)(xf＜0＝，則必有A≥0

（或A≤0）。

4．不等式性質(zhì)

若Axfxx=→)(lim0

，Bxgxx=→)(lim0

，且A>B，則存在0x的某鄰域（點(diǎn)0x可以除外），使)(xf>)(xg.

若Axfxx=→)(lim0

，Bxgxx=→)(lim0

.且在0x的某鄰域（點(diǎn)0x可以除外）有)(xf<)(xg或（)(xf≤

)(xg）

，則A≤B。5．四則運(yùn)算同數(shù)列

（四）無窮小量與無窮大量1．無窮小量的定義

【定義1.12】若0)(lim0

=→xfxx，則稱)(xf是0xx→時(shí)的無窮小量。

（若,)(lim0

∞=→xgxx則稱)(xf是0xx→時(shí)的無窮大量）。

2．無窮小量與無窮大量的關(guān)系

無窮小量的倒數(shù)是無窮大量；無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。3．無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)

（i）有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量。（ii）無窮小量乘有界變量仍為無窮小量。（iii）有限個(gè)無窮小量的乘積仍為無窮小量。4．無窮小量階的比較

設(shè)0)(lim,0)(lim0

==→→xxaxxxxβ，

???

????∞=≠=→.

)()(,,)()(,0),(~)(,)()(,1,)()(,0)

()(lim0高階的無窮大是比稱高階的無窮小是比稱記作為等價(jià)無窮小與稱時(shí)特殊為同階無窮小與稱xxxxxxxxkxxkxxaxxβαβαβαβαβαβ

5．等價(jià)無窮小

常用的等價(jià)無窮?。?→x是，

)

0(~1)1(,1~1,

~)1(1,

~1≠-+-+-αααα

ax

xnxxxnxex

x

等價(jià)無窮小具有傳遞性，即)(~)(xxβα，又)(~)(xxγβ。等價(jià)無窮小在乘除時(shí)可以替換，即)(~)(),(~)(**xxxxββαα，

則)

()

(lim)()(lim**)

()

(0

xxxxxxxxxxβαβα∞→→∞→→=或或

其次講函數(shù)的延續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算

重點(diǎn)：閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、復(fù)合函數(shù)求

導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算。

三、函數(shù)的延續(xù)性

（一）函數(shù)延續(xù)的概念1．兩個(gè)定義

【定義1.13】設(shè)函數(shù))(xfy=的定義域?yàn)镈xD∈0,。若)()(lim00

xfxfxx=→，則稱0)(xxf在點(diǎn)

延續(xù)；若Dxf在)(中每一點(diǎn)都延續(xù)，則稱0)(xxf在點(diǎn)右延續(xù)。

【定義1.14】若)()(lim00

xfxfxx=+→，則稱0)(xxf在點(diǎn)右延續(xù)。

若)()(lim00

xfxfxx=-→，則稱0)(xxf在點(diǎn)左延續(xù)。

0)(xxf在點(diǎn)延續(xù)0)(xxf在?點(diǎn)既左延續(xù)又右延續(xù)。

2．延續(xù)函數(shù)的運(yùn)算

延續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或復(fù)合而得到的函數(shù)仍然延續(xù)，因而初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)到處延續(xù)。

（二）間斷點(diǎn)

1．若)(lim)(lim0

xfxfxxxx-+→→與都存在，且不全等于)(0xf，則稱0x為)(xf的第一類間斷點(diǎn)。

其中若)(lim0

xfxx→存在，但不等于)(0xf（或)(xf在0x無定義），則0x為)(xf的可去間斷點(diǎn)。

若)(lim)(lim0

xfxfxxxx-+→→與都存在，但不相等，則稱0x為)(xf的跳動(dòng)間斷點(diǎn)。

2．若)(lim)(lim0

xfxfxxxx-+→→與中至少有一個(gè)不存在，則稱0x為)(xf的其次類間斷點(diǎn)。

（三）閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

若)(xf在區(qū)間],[ba內(nèi)任一點(diǎn)都延續(xù)，又)()(lim),()(limbfxffxfb

xx==-+→→αα

，則稱函數(shù))(xf在閉

區(qū)間],[ba上延續(xù)。1．最值定理

設(shè))(xf在],[ba上延續(xù)，則)(xf在],[ba上必有最大值M和最小值m,即存在],[,21baxx∈，使],[,)(,)(,)(11baxMxfmmxfMxf∈≤≤==且。

2．價(jià)值定理

設(shè))(xf在],[ba上延續(xù)，且m,M分離是)(xf在],[ba上最小值與最大值,則對(duì)隨意的],[Mmk∈，總存在一點(diǎn)kcfbac=∈)(],,[使。

【推論1】設(shè))(xf在],[ba上延續(xù)，m,M分離為最小值和最大值，且mM<0,則至少存在一點(diǎn)0)(],,[=∈cfbac使。

【推論1】設(shè))(xf在],[ba延續(xù)，且0)()(<?bfaf，則一定存在],,[bac∈使0)(=cf。推論1，推論2又稱為零值定理。

其次章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、導(dǎo)數(shù)的概念1．導(dǎo)數(shù)定義

【定義2.1】設(shè)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,在該鄰域內(nèi)給自變量一個(gè)轉(zhuǎn)變量x?,函數(shù)值有一相應(yīng)轉(zhuǎn)變量)()(00xfxxfy-?+=?,若極限

x

xfxxfxyxx?-?+=??→?→?)

()(lim

lim0000存在,則稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),此時(shí)稱y=f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo),用

?????

?===''0000)(,,)(xxdxxdfxxdyxdyxxyxf或或或表示.

若)(xfy=在集合D內(nèi)到處可導(dǎo)（這時(shí)稱f(x