數(shù)列遞推公式變換的常用手段

數(shù)列遞推公式變換的常用手段數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點，因而在歷年的高考試題中有較大的比重．利用遞推數(shù)列求通項公式，在理論上和實踐中均有較高的價值．解這類題的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個遞推式可變換成何種等差、等比數(shù)列，可以少走彎路．本文例談數(shù)列遞推公式變換的常用手段.一、倒數(shù)變換法:例1已知數(shù)列｛a｝滿足a=—,a—叫(ngN*),求數(shù)列｛a｝通項公式.n 1 2n+1a+3 n=_J篦兩邊的分子分母顛倒,得a=_J篦兩邊的分子分母顛倒,得a+3n即丄-—=-

aa3n+1 n解:將遞推式an+11a+3 —―n a 3a是首項為2,公差為1的等差數(shù)列.是首項為2,公差為1的等差數(shù)列.3又——2,a1n???——2+(n-1)丄—^^5 ???a-^^ (ngN*).a 3 3 nn+5n點評:對于a二—乩（其中p、q、r為常數(shù)）形式的遞推式，常用取倒數(shù)的方法n+1qa+rn進行變換.二、對數(shù)變換法二、對數(shù)變換法:例2已知數(shù)列｛a例2已知數(shù)列｛a｝滿足a=2,a=a2,求數(shù)列的通項公式a.n 1 n+1 n n解:a=a2>0,故將此式兩邊取對數(shù)，得lga=2lga，即lg"n+1=2,n+1 n n+1 nlga又lga二lg2， ???數(shù)列｛lga｝是首項為lg2,公比為2的等比數(shù)列.1n故lga—(lg2)?2n-1—故lga—(lg2)?2n-1—lg22n-1nn點評:對于a —qak(q>0,k豐0,k豐1,a>0)形式的遞推式，常用對數(shù)n+1 n變換求解.三、例3配式相減法:三、例3配式相減法:(04全國)已知數(shù)列｛a｝中,a=1,n1則數(shù)列｛a｝的通項公式a—<nn—a+a2 +牛…+(—n)a1(n>) 2,1 2 3 n—1(n—).1(n>2)解：由已知，得a—a+2a+3a+—+(n—1)a(n>2)?-(1),a—a+2a+3a+—+(n—1)a+na解：TOC\o"1-5"\h\z由(2)—(1)，得a—a—na即(n+1)a—a(n>2)a—1，n+1 nn nn+1 2aaa aJ又a—1,-2—1,―3—3,_4—4,.…，——n1aaa a1 2 3 n—1累乘，得a— (n>2).n2點評:有些數(shù)列問題,將給定的遞推公式中的下標升高或降低,得到一個新

的遞推公式,然后再使用兩式相減的方法,可使隱性的遞推關(guān)系顯性化.例4已知數(shù)列例4已知數(shù)列｛x｝中,nx—m>2,且x — ,求x.1 n+1 2(x—1) nn解：由Xn+1—nx x2n中1— x x2n中1— n —x—2x2—4\x—1)n+1 n n兩邊取以a(a>0,a豐1)為底的對數(shù)，得log根據(jù)分比定理,得rx]<x-2丿n——n+1 —2lOgax—2n+1x n-x—2n.??數(shù)列(log 是首項為log[.??數(shù)列(log 是首項為log[ax-2J anmm-2,公比為2的等比數(shù)列,從而知logx n-

ax-2=2n-ll0g—^―am-2x-2nm2