高中數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

必修四數(shù)學(xué)公式概念三角函數(shù)第一章任意角和弧度制任意角1、一般地，所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S

k

360,

k

Z.與角終邊垂直的角的集合：

S

90

k

180,

k

Z.1.1.2 弧度制2、如圖，圓

O

的半徑為

1， 的長(zhǎng)等于

1，

AOB

就是

1弧度的角。3、角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：

l lr 變形：

l

r r

其中

半徑

r

，圓心角，弧長(zhǎng)l

.4、特殊弧度數(shù)度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度01264351222334565、弧長(zhǎng)公式：

l

r2 26、扇形面積公式：

S

1lr

1r

2扇形任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)1、如圖：

OP

r

x2

y2

0yr①正弦：

sinxr②余弦：

cosy③正切：

tan

(x

0)x2

三角函數(shù)定義域3、三角函數(shù)值的符號(hào)度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度7654433253741162三角函數(shù)定義域sinR“弧度”與“度”計(jì)算公式：180弧度

度

度

弧度

18014、誘導(dǎo)公式一sin(

k

2)

sin,cos(

k

2)

cos,tan(

k

2)

tan,其中k

Z.利用公式一，可以把任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為0,2

內(nèi)的三角函數(shù)值。5、三角函數(shù)線yx如圖，

sin

y

MP,

cos

x

OM

,

tan

AT

6、特殊角的三角函數(shù)cosRtan

k,

k

Z2角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°sin正弦01222321322212010cos余弦1

3

2

2

2120

12

22

32101tan正切03313不存在

31

330不存在0+2__+補(bǔ)充

1、如圖，角平分線落在一、三象限線

x

y

上方，則sin

x

cos

x

.

2

補(bǔ)充

2、如圖，當(dāng)

0, 時(shí)，

sin

tan證明：

SOPA

S扇形OPA

SOAT

1OAOM

1

OA2

1OA

AT2 2 2

MP

AT

sin

tan1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系7、平方關(guān)系：

sin

2

cos2

1變形：

sin

2

1

cos2

，

cos2

1

sin

2

8、商數(shù)關(guān)系：cossin

tantansin變形：

sin

tancos，

cos9、推導(dǎo)公式：2①

cos2 221 tan

2

1

tan

1

tan

②

sin④

sin

cos2

sin

cos2

2③

sin

cos2

1

2

sincos1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式四：sin

sin,cos

cos,tan

tan.公式二：sin

sin,cos

cos,tan

tan.公式五：公式三：sin

sin,cos

cos,tan

tan.公式六：1

2tan

2cos

sin,

2sin

cos,

.1tantan

2. tan

2cos

sin,

2sin

cos,

三角函數(shù)圖象與性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像1、正弦、余弦函數(shù)圖象x=y32、在正弦和余弦函數(shù)中，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：0,21

,2,

0ysinx，

x

：0,

0

, ,1

,,0

,

3,

2

2

0,22ycosx，

x

：

, ,0

,,1

,

3,0

,

,

1

0,

1

2

2

1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)3、對(duì)于函數(shù)

f

x

，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T

，使得當(dāng)

x

取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f

x

T

f

x

，那么函數(shù)

f

x

就叫做周．期．函．?dāng)?shù)．、非零常數(shù)T

就叫做這個(gè)函數(shù)的周．期．。函數(shù)

y

Asinx及函數(shù)

y

A

cosx

的周期T

2.4、重要推論若函數(shù)

f

a

x

f

a

x，則

f

x

關(guān)于

x

a

對(duì)稱；若函數(shù)

f

a

x

f

a

x，則

f

x

關(guān)于點(diǎn)a,

0對(duì)稱.與周期相關(guān)的結(jié)論①

f

x

a

f

x，則函數(shù)

f

x

的一個(gè)周期T

2a

；1f

x②

f

x

a

，則函數(shù)

f

x

的一個(gè)周期T

2a

；1f

x③

f

x

a

，則函數(shù)

f

x

的一個(gè)周期T

2a

；④

f

x

a

f

x

b，則函數(shù)

f

x

的一個(gè)周期T

a

b

；⑤

f

x

a

1

f

x

，則函數(shù)

f

x

的一個(gè)周期T

4a

；1

f

x⑥

f

x

關(guān)于

x

a

和

x

b

對(duì)稱，則

f

x

周期T

2

a

b

；⑦

f

x

關(guān)于a,

0和b,

0對(duì)稱，則

f

x

周期T

2

a

b

；⑧

f

x

關(guān)于a,

0和

x

b

對(duì)稱，則

f

x

周期T

4

a

b

.5、正弦函數(shù)

y

sin

x

的定義域?yàn)?/p>

R

；值域?yàn)?,

1

.2

42當(dāng)

x

2k

k

Z

時(shí)，

y

取最大值

1；當(dāng)

x

2k

k

Z

時(shí)，

y

取最小值1.26、余弦函數(shù)

y

cos

x

的定義域?yàn)?/p>

R

；值域?yàn)?,

1

.當(dāng)

x

2k

k

Z

時(shí)，

y

取最大值

1；當(dāng)

x

2k

k

Z

時(shí)，

y

取最小值1.7、奇偶性由誘導(dǎo)公式sin

x

sin

x

，

cos

x

cos

x

可知：正弦函數(shù)是奇．函．?dāng)?shù)．，余弦函數(shù)是偶．函．?dāng)?shù)．。8、對(duì)稱性（1）正弦曲線對(duì)稱中心坐標(biāo)為k,

0

k

Z

；對(duì)稱軸方程是

x

k

k

Z

.（2）余弦曲線對(duì)稱中心坐標(biāo)為

k2

,

0

k

Z

；對(duì)稱軸方程是

x

k

k

Z

.9、單調(diào)性（1）正弦函數(shù)

y

sin

x

在2

2

2k,

2k

k

Z

上都是增函數(shù)，其值從1增大2

2 到

1；在

2k,

32k

k

Z

上都是減函數(shù)，其值從

1減小到1.（2）余弦函數(shù)

y

cos

x

在

2k,

2k

k

Z

上都是增函數(shù)，其值從1增大到

1；在2k,

2k

k

Z

上都是減函數(shù)，其值從

1

減小到1.1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像10、正切函數(shù)的圖像11、正切函數(shù)

y

tan

x

的定義域是：

2x

x

k

,

k

Z

.12、周期性由誘導(dǎo)公式tanx

tan

x,

x

R

,x

k,

k

Z

可知，正切函數(shù)是周2期函數(shù)，周期是T

.13、奇偶性由誘導(dǎo)公式tan

x

tan

x,

x

R

，x

k,

k

Z

可知，正切函數(shù)是奇2函數(shù)。514、單調(diào)性：正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間

k,

k

k

Z2 2內(nèi)都是增函數(shù)。15、值域：正切函數(shù)的值域?yàn)?/p>

R.1.5

函數(shù)

y

Asinx

的圖像1、對(duì)

y

sinx

，

x

R圖像的影響函數(shù)

y

sinx

（

0

）的圖像，可以看做是把

y

sin

x

的圖像上各點(diǎn)向左（

0

）或向右（

0

）平移

個(gè)單位得到的。（可簡(jiǎn)記為左“

”右“ ”）2、

0對(duì)

y

sinx

圖像的影響函數(shù)

y

sin(

x

)

的圖像上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短

1

或伸長(zhǎng)0

1到原來(lái)的

1

倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的。3、

A

A

0

對(duì)

y

Asinx

圖像的影響函數(shù)

y

Asinx的圖像，可以看做是把

y

sinx

上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(

A

1)

或縮短(0

A

1)

到原來(lái)的

A

倍（橫坐標(biāo)不變）而得到。4、

y

Asinx

，

x

0,，A

0,

0的性質(zhì)（1）對(duì)稱軸：令sinx

1

，即2(k

Z

)x

k，

x

2 k

（2）對(duì)稱中心：令sinx

0

，x

k，

x

k，

k

,0

k

Z

y

1,x

2k2（3）最值：

y

1,

x

2k,2minmax（4）單調(diào)區(qū)間：

A,

均大于

0

以后，將x

整體代入21 65、當(dāng)函數(shù)

y

Asinx

x

0

A

0,

0表示一個(gè)振．動(dòng)．量．時(shí)，A

為振．幅．，T

是周．期．，

f

T

2

是頻．率．，x

為相．位．，為初．相．。第二章平面向量平面向量的基本概念平面向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。2、數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量（如年齡、身高、長(zhǎng)度面積、體積、質(zhì)量等）稱為數(shù)量。向量的幾何表示3、有向線段：如圖，具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度。4、向量的模：向量可以用有向線段表示。向量

AB

的大小，也就是向量

AB

的長(zhǎng)度（或稱模），記作

AB

或者

a

.5、零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作

0。零向量的方向不確定，是任意的。6、單位向量：長(zhǎng)度等于

1

個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量。7、向量的字母表示：向量在印刷體時(shí)，用黑體小寫(xiě)字母a、b、c

、…表示向量；手寫(xiě)時(shí)，寫(xiě)成帶箭頭的小寫(xiě)字母

a、b、c、…

表示。8、平行向量：方向相同或相反的的非零向量叫做平行向量。通常記作a

//

b

。零向量與任一向量平行，即對(duì)于任意向量a

，都有0

//

a

.平行向量也叫做共線向量。相等向量與共線向量9、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做相等向量。10、共線向量：任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，所以，平行向量也叫做共線向量。平面向量的線性運(yùn)算向量加法運(yùn)算及其幾何意義1、三角形法則：如圖，已知非零向量a

、b

，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)

A

，作

AB

a

，

BC

b

，則向量

AC

叫做a

與b的和，記作a

b

，即a

b

AB

BC

AC

.對(duì)于零向量與任一向量

a

，仍然有0

+

a

=

a

+

0

=

a2、平行四邊形法則：如圖，以同一點(diǎn)O

為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a

、b

為鄰邊作OACB

，則以O(shè)

為起點(diǎn)的對(duì)角線OC

就是a

與b

的和。記作a

b

=

AC

.3、向量

a

、

b

、

a

b

的關(guān)系（1）

a

、b

都為非零向量（Ⅰ）當(dāng)a

、b

不共線時(shí)，a

b

a

b

a

b7（Ⅱ）當(dāng)a

、b

共線時(shí)，①同向，則

a

b

a

b

；②反向，則

a

b

a

b（2）當(dāng)a

、b

至少有一個(gè)為零向量時(shí)，

a

b

a

b

a

b綜上所述：當(dāng)a

、b

不共線時(shí)，一般地，我們有 a

b

a

b

a

b.（2）結(jié)合律：

a

b

c

a

b

c

4、向量加法（1）交換律：

a

b

b

a2.2.2 向量減法運(yùn)算及其幾何意義5、相反向量：與a

長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做a

的相反向量，記作a

.若a

、b

是互為相反的向量，則a

b

，

b

a

，

a

b

0

.6、向量的減法：如圖，已知向量a

于b

，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)

O，作OA

a

，

OB

b

，則BA

a

b

，即a

b

表示的向量從向量b

的終點(diǎn)指向向量a

的終點(diǎn)的向量。7、向量

a

、

b

、

a

b

的關(guān)系（1）

a

、b

都為非零向量，（Ⅰ）當(dāng)

a

、b

不共線時(shí)：

a

b

a

b

a

b（Ⅱ）當(dāng)

a

、b

共線時(shí)，①同向，則

a

b

a

b

；②方向，則

a

b

a

b（2）當(dāng)a

、b

少有一個(gè)為零向量時(shí)，

a

b

a

b

a

b綜上所述：當(dāng)a

、b

不共線時(shí)，一般地，我們有

a

b

a

b

a

b

.2.2.3 向量乘法運(yùn)算及其幾何意義8、向量的數(shù)乘：實(shí)數(shù)于向量a

的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a

，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：a

a

aa當(dāng)

0

時(shí)，a

的方向與a

的方向相同；當(dāng)

0

時(shí)，a

的方向與a

的方向相反；當(dāng)

0

時(shí)，a

0

.9、向量滿足的運(yùn)算律設(shè)、為實(shí)數(shù)，則有結(jié)合律：a

a

；第一分配律：

a

a

a

；第二分配律：a

b

a

b

.特別的，我們有

a

a

a

；

a

b

a

b

.10、數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系a

結(jié)果也是向量8（1）當(dāng)a

0

時(shí)，

a與a

共線；（2）當(dāng)a

0

時(shí)，

a與a

同向，則

0

；反向，則

0

.11、對(duì)于向量a

a

0

、b

，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使b

a

，那么由向量數(shù)乘的定義知，a

與b

共線。12、共線向量定理判定定理：如果b

a

R

，那么a

//

b性質(zhì)定理：如果a

//

b

，

a

0

，那么存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b

a平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e1

、e2

是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a

，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1

、2

，使a

e11

e2

2

.我們把不共線的向量e1

、e2

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。2、兩向量的夾角如圖，非零向量a

、b

中，作OA

a

，

OB

b

，則AOB

0o

108o

叫做向量a

與b

的夾角。如果a

與b

的夾角是

90°，我們說(shuō)a

與b

垂直，記作a

⊥

b

.平面性量的正交分解及坐標(biāo)表示3、正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解4、如圖，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)

x

、

y

使得a

xi

yj

.把a(bǔ)

x,

y

叫做向量的坐標(biāo)表示。平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算5、向量的加減法運(yùn)算若a

x1

,

y1

，

b

x2

,

y2

，則a

b

x1

x2

,

y1

y2

，

a

b

x1

x2

,

y1

y2

兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。6、實(shí)數(shù)于向量的積若a

x1

,

y1

，

b

x2

,

y2

，則a

x1

,

y1

x1

,y1

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。7、若

A

x1

,

y1

，

B

x2

,

y2

，則

AB

x2

x1

,

y2

y1

一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。92.3.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示8、設(shè)

A

x1

,

y1

，

B

x2

,

y2

，其中b

0

，當(dāng)且僅當(dāng)

x1

y2

x2y1

0

時(shí)，向量a

、b

共線。即a

//

b

（

b

0

）

x1

y2

x2y1

0

.平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的含義1、數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a

與b

，我們把數(shù)量

a

b

cos叫做a

與b

的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab

，即ab

a

b

cos.其中，是a

與b

的夾角。我們規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為

0.即0

a

0

.2

2

注意：（1）

a

、b

運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量；（2）它在

0,

為正，

,

為負(fù)。2、根據(jù)向量數(shù)量積的定義得出的結(jié)論（1）

a

b

ab

0（2）當(dāng)a

與b

同向時(shí)，

ab

a

b

；當(dāng)a

與b

反向時(shí)，

ab

a

b

.

特別的，aa

a2

a2或

a

a

2

aa

.（3）ab

a

b（共線時(shí)取等號(hào)）（4）求投影，由ab

a

b

cos

a

cos

ab

.b求夾角，由ab

a

b

cos

cos

aba

b3、平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab

等于a

的長(zhǎng)度

a

與b

在a

的方向上的投影

b

cos的乘積。4、向量的運(yùn)算律10（1）交換律：

ab

ba（2）結(jié)合律：

a

b

ab

ab

（3）分配律：

a

bc

ac

bc（4）

a

b2

a

2

2a

b

b2

（5）

a

ba

b

a

2

b

22.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角5、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)

A

x1

,

y1

，

B

x2

,

y2

，則ab

x1x2

y1

y2

.也就是說(shuō)，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。6、向量的長(zhǎng)度（模）的坐標(biāo)表示向量的長(zhǎng)度（模）：若a

x,

y

，則有

a

2

x2

y2

，

a

兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)

A

、

B

兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為xA

,

yA

，

x

,Bx2

y2

.yB

，則AB

xA

xA

y

y

2 2B B7、兩向量垂直的充要條件的坐標(biāo)表示設(shè)a

x1

,

y1

，

b

x2

,

y2

，則a

b

x1

x2

y1

y2

08、兩向量夾角的坐標(biāo)表示設(shè)a

x1

,

y1

，

b

x2

,

y2

，

a

，

b

的夾角為，則有1 1 2 2x1x2

y1

y2x2

y

2 x2

y

2cos

ab

a

b平面向量補(bǔ)充內(nèi)容補(bǔ)充

1、平面內(nèi)不同四點(diǎn)為O,

A,

B,

C

，則A,

B,

C

三點(diǎn)共線

OC

OA

OB

1

或OC

OA

1

OB.1

2 2

1

特別的，當(dāng)

時(shí)，

C

為

AB

中點(diǎn)，

OC

OA

OB

.補(bǔ)充

2、（1）若GA

GB

GC

0

，則G

為△

ABC

的重心。1

1 2 23 3（2）若

A

x

,

y ，Bx

,

y ，

Cx

,

y

，則G

坐標(biāo)為

1

2

33x

x1

x2

x3

3y

y

yy

補(bǔ)充

3、當(dāng)

P1P

PP2

時(shí)，則

x

x1

,

y

y1

x2

x,

y2

y

12x

x1

x2

x

y

y

y

yx

x1

x21

y

yy

1

21

11起

分 分

終總結(jié)：若

P

P

P

P

，則,

x

x1

1

起 終y起

y終

.第三章

三角恒等變換兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角差的余弦公式1、cos

coscos

sinsin

（

C

）給出任意角，的正弦、余弦值與其夾角

的余弦值之間的關(guān)系.稱為差角的余弦公式。簡(jiǎn)記作C

.3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式2、兩角和的余弦公式（

C

）（

S

）（

S

）cos

coscos

sinsin

3、兩角和（差）的正弦公式sin

sincos

cossin

sin

sincos

cossin

4、兩角和（差）的正切公式tan

tan

tan

1

tantan（

T

）tan

tan

tan

1

tantan（

T

）3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式5、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin

2

2

sincos（

S2）cos

2

cos2

sin

2

2

cos2

1

1

2

sin

2

（

C2）2

tantan

2

（

T ）1

tan

2

28、公式的逆運(yùn)算即變形公式（1）1

sin

2

sin

2

cos2

2

sincos

sin

cos22

2（2）