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文檔簡介
第1頁/共1頁2022北京北師大實驗中學高二(上)期中數(shù)學班級_________姓名_________學號_________成績_________考生須知1.本試卷共7頁,共五道大題,25道小題,答題卡共4頁,滿分150分,考試時間120分鐘2.在試卷和答題卡上準確填寫班級、姓名、學號3.試卷答案一律填寫在答題卡上,在試卷上作答無效。4.在答題卡上,選擇題須用2B鉛筆將選中項涂黑涂滿,其他試題用黑色字跡簽字筆作答第I卷(共100分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分)1.已知空間向量,,則A. B. C.1 D.22.若直線與垂直,則A. B.2 C. D.3.若表示圓的方程,則的取值范圍是A. B. C. D.4.平行六面體中,設,,,若為的中點,則A. B. C. D.5.已知,,則線段上靠近的三等分點的坐標為A. B. C. D.6.設直線的一個方向向量為,平面的一個法向量為,平面的一個法向量為,則下列說法正確的是①若,則與所成的角為30°;②若與所成角為,則;③若,則平面與所成的角為60°;④若平面與所成的角為60°,則A.③ B.①③ C.②④ D.①③④7.點關于直線的對稱點的坐標為A. B. C. D.8.三棱錐中,兩兩垂直,,,則點到平面的距離為A. B. C. D.9.已知點的坐標為,圓與軸交于兩點,與軸交于兩點,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件 C.充分必要條件10.設為函數(shù)圖像上的動點,是圓(其中)上的動點,若最小值為1,則以所有滿足條件的點為頂點的多邊形的面積為A. B. C. D.二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)11.過點,的直線的傾斜角為_________.12.若,,為共面向量,則的值為_________.13.正方體中,分別為棱和的中點,則直線和所成角的余弦值為_________.14.平面直角坐標系中,已知直線過點,與坐標軸圍成的三角形的面積為2,則直線的方程為_________.15.如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,是等邊三角形,平面平面分別為棱的中點,為及其內部的動點,滿足平面,給出下列四個結論:①直線與平面所成角為45°;②二面角的余弦值為;③點到平面的距離為定值;④線段長度的取值范圍是其中所有正確結論的序號是____________
三、解答題(本大題共3小題,共35分)16.(本小題滿分12分)已知向量,.(I)若,求;(Ⅱ)求證:對任意,與不垂直;(Ⅲ)若與軸平行,求,的值17.(本小題滿分13分)如圖,四棱錐中,平面,底面四邊形為矩形,,,,為中點,為靠近的四等分點.(I)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值:(Ⅲ)求點到平面的距離.18.(本小題滿分10分)用坐標法解答以下問題如圖,已知矩形中,,,分別為的中點,為延長線上一點,________.從①②中任選其一,補充在橫線中并作答,如果選擇兩個條件分別解答,按第一個解答計分,①連接并延長交于點,求證:;②取上一點,使得,求證:三點共線.第Ⅱ卷(共50分)四、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分)19.一個小島的周圍有環(huán)島暗礁,暗礁分布在以小島中心為圓心,半徑為2km的圓形區(qū)域內。已知小島中心位于輪船正西4km處,陸上的港口位于小島中心正北3km處,如果輪船沿直線返航,那么它是否有觸礁危險?________(填“是”或“否”)20.已知點,,,直線,若直線與線段有公共點,則的最大值為________;若直線與線段有公共點,則的取值范圍是________.21.已知單位向量,兩兩夾角均為,則________;的最小值為________.22.已知四棱錐中,底面四邊形是邊長為的正方形,,設.記直線與平面所成角為,二面角的大小為.給出下列四個結論:①若,則; ②若,則;③; ④其中所有正確結論的序號是________.五、解答題(本大題共3小題,共34分)23.(本小題滿分10分)平面直角坐標系中,已知圓的圓心是,半徑是1,直線的方程為,點.(I)若與圓相切,求的值;(Ⅱ)若經過點,求直線與圓的交點的坐標;(Ⅲ)若過點的直線截得圓的弦長,求的斜率的取值范圍.24.(本小題滿分14分)如圖,直三棱柱中,,,為棱的中點,是的中點.(I)證明:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;(III)棱上是否存在點,使得點在平面內?若存在,求的值;若不存在,說明理由。25.(本小題滿分10分)對于空間向量,定義,其中表示這三個數(shù)的最大值。(I)已知,.①寫出,寫出(用含的式子表示);②當,寫出的最小值及此時x的值;(Ⅱ)設,,求證:;(Ⅲ)在空間直角坐標系中,,,,點是以為球心,1為半徑的球面上的動點,點是內部的動點,直接寫出的最小值及相應的點的坐標.
參考答案第I卷(共100分)一、選擇題(每小題4分,共40分)題號12345678910答案DBACBAACBD二、填空題(每小題5分,共25分)題號1112131415答案2或②③④三、解答題(共35分)16.解:(I)當時,因為,所以.(Ⅱ)因為因此,對任意,與不垂直(Ⅲ)由題意知,即存在,使得則即,解得,17.解:(I)因為平面,四邊形為矩形,因此兩兩垂直,以為坐標原點,分別以,,的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系.,,,,,,.因為,所以,即因為所以,即又因為,因此平面(II)因為平面,所以為平面的一個法向量由(I)知為平面的一個法向量。設所求角為,由圖知為銳角,因此(Ⅲ)點到平面的距離18.解:以為原點,,的方向為軸正方向建立平面直角坐標系.圖中直線的方程為.選擇①:設,則直線的方程為,聯(lián)立,得.所以又,所以.所以.選擇②:設,則因為,所以所以直線的方程為所以所以,所以三點共線.第Ⅱ卷(共50分)四、填空題(每小題4分,共16分)題號19202122答案否2;;①五、解答題(共34分)23.解:圓的方程為.(I)由題意知,圓心到直線的距離解得或(Ⅱ)若直線過點,則,直線的方程為.聯(lián)立直線與圓的方程,,解得交點坐標分別為(1,1),(,)(Ⅲ)設直線斜率為,則直線的方程為,即.設圓心到直線的距離為,有因為,所以.解,得.24.解:(I)證明:連接,,由于,,故又因為平面,平面,所以平面(Ⅱ)如圖,取,中點,由于⊥平面,,因此平面,又因為,所以,故,,兩兩垂直
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