復(fù)變函數(shù)第6講

1、 引言復(fù)變函數(shù)的積分的實(shí)際上等同于對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，這就很自然地引出積分與路徑無關(guān)的問題.事實(shí)上，從上一節(jié)中知道：有的積分與積分路徑無關(guān)；有的積分與積分路徑有關(guān).另外，我們還知道§2

柯西-古薩積分定理01=

r

z

-

z0z

-

z

z

=z0為奇點(diǎn),即不解析的點(diǎn),但在除去

z

=

z0的非單連通區(qū)域內(nèi)處處 解析.

1

dz =

2p

i

?

0.我們的問題是：在什么條件下復(fù)變函數(shù)的積分與積分路徑無關(guān)？此問題等價(jià)于沿任意的閉曲線積分是否等于零的問題.由此猜想：復(fù)積分的值與路徑無關(guān)或沿閉路的積分值＝0的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的連通性有關(guān).2、柯西積分定理定理1

若f

(z)在單連通區(qū)域

D內(nèi)解析，則對(duì)于D內(nèi)任一條閉曲線

C，都有c

f

(z)dz

=

0.231851

年Riemann

給出了上述Cauchy定理的簡單證明

.值得注意的是：1825年柯西提出定理1；當(dāng)時(shí)解析的定義為f

'(z)存在,且在D內(nèi)連續(xù).1900

年Goursat

給出了Cauchy定理的新證明,且將"f

'(z

)連續(xù)"這一條件去掉了.這就產(chǎn)生了著名的

Cauchy

-

Goursat

定理

,從此解析函數(shù)的定義修

改為

:"

f

'

(

z

)在D內(nèi)存在

".此后，該定理又被推廣，下面僅討論Riemann

給出Cauchy

定理的證明.4

f

'(z)=ux

+iv

x

=v

y

-iuy

在單連域D內(nèi)連續(xù)，\u和v以及它們的偏導(dǎo)數(shù)ux

,uy

,v

x

,v

y

在D內(nèi)都是連續(xù)的

,

并滿足

C

-

R方程ux

=

v

y

,

v

x

=

-uy

,又對(duì)于任意的曲線

C

D，有c

f

(

z

)dz

=

C

udx

-

vdy

+i

C

vdx

+

udy

.公式，得DD由Greenc

udxcvdx-

vdy

=

(

-

v

x

-

u

y

)dxdy=

0，+

udy

=

(

u

x

-

v

y

)dxdy=

0，\

c

f

(z)dz

=

0.5推論

設(shè)f

(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對(duì)任意0兩點(diǎn)z0,

z1∈B,

積分+c

f

(z)

dz不依賴于連接起點(diǎn)z0與終點(diǎn)z1的曲線，即積分與路徑無關(guān).z1zC

f

(z)dz=

f

(z)dz.這時(shí)3、原函數(shù)當(dāng)起點(diǎn)固定在z0,

終點(diǎn)z在B內(nèi)變動(dòng),+c

f

(z)

dz在B內(nèi)就定義了一個(gè)變上限的單值函數(shù)，記作F

(z)

=z

zzzf

(x)dx.00f

(z)dz

=定理2

設(shè)f

(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則F(z)在B內(nèi)解析，且

F

'(z)

=

f

(z).定理2的證明與高等數(shù)學(xué)中相應(yīng)定理的證明類似，有興趣的同學(xué)可以見課本第43頁.定義若函數(shù)j

(z)在區(qū)域B內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f

(z)，即j

'(z)=f

(z),稱j

(z)為f

(z)在B內(nèi)的原函數(shù).定理3

設(shè)f

(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，

F(z)是f

(z)的一個(gè)原函數(shù)，則1zz0f

(z)dz

=

F

(z1

)

-

F

(z0

)

(z0

,

z1

?

B).6例1

計(jì)算下列積分：3

3722iz

3=

-

;z dz

=

|i-i+

i-i(

)z

sin

zdz

=00isin

z

-

z

cos

z

|

=

sin

i

-

i

cos

i.i(x

-1)2

+y2

=1

的上半圓周，逆時(shí)針方向.(e

+sin

z

+2z)dz,其中C為例2

計(jì)算I

=Cz分析：

I

=x(e

+

sin

x

+

2

x

)dx

=

028其中,C

1

,C

2

,

Cn

是在C的內(nèi)部的簡單閉曲線

(互不包含也不相交

),

每一條曲線

C及Ci

是i逆時(shí)針,C

--順時(shí)針.i

=1下面把定理1推廣多連通域上.定理4設(shè)D是由G

=C

+C

-+C

-+

+C

-所圍成的1

2

n有界多連通區(qū)域.若f

(z)在D內(nèi)及其邊界G上解析,則f

(z)dz

=

0；ni或

c

f

(z)dz

=

cf

(z)dz.G§3復(fù)合閉路定理-c

+c1G

f

(

z

)dz

=證明HGNFEBH=

0f

(

z

)dz=

HAEFMGH+

f

(

z

)dzf

(

z

)dz1僅以n

=1為例證明.設(shè)G

=C

+C

-，DC1CEFGHMNABf

(

z

)dz

.9c1c\

f

(

z

)dz

=1c

f

(z)dz

=

cf

(z)dz此式說明一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的積分值，只要在變形過程中曲線不經(jīng)過的f(z)的不解析點(diǎn).—閉路變形原理.DCC1CC1110任意正向簡單閉曲線.G

:

包含圓周z

=

1在內(nèi)的2z

-1

dz2計(jì)算z

-

zG例=

C1

+C2C1

+C2Gdz

+原式=1

dz(

1

z

-

1+

)dz

1

1z

-

1

zzC

2C11

dz

=

0)dz

=

0,z

-

1

z(

1121

dz=

2p

i

+

2p

i

=

4p

i.

1

dz

+z

-1

zCC=解C1C21xyo11n為整數(shù).dz

,其中G為包含a的11.

求積分

I

=任一簡單閉曲線，n(

z

-

a

)G0

和1的簡單閉曲線.提示：根據(jù)

0和1與曲線的區(qū)分四種情況，

C

的位置關(guān)系dz,其中C為不經(jīng)過1212.求積分I

=C

z2

-

z練習(xí)題)dx1

114p

=

arctan1

=10102(

-dx

=

11

+

x

2i x

-

i x

+

i