工程力學(xué)圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度與剛度

工程力學(xué)圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度與剛度第一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日工程上將主要承受扭轉(zhuǎn)的桿件稱為軸，當(dāng)軸的橫截面上僅有扭矩（Mx）作用時(shí)，與扭矩相對(duì)應(yīng)的分布內(nèi)力，其作用面與橫截面重合。這種分布內(nèi)力在一點(diǎn)處的集度，即為剪應(yīng)力。圓截面軸與非圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分布有著很大的差異。本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形分析以及強(qiáng)度設(shè)計(jì)和剛度設(shè)計(jì)。分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形的方法與分析梁的應(yīng)力和變形的方法基本相同。依然借助于平衡、變形協(xié)調(diào)與物性關(guān)系。第9章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形分析與強(qiáng)度剛度計(jì)算計(jì)算第二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日返回工程上傳遞功率的圓軸及其扭轉(zhuǎn)變形

第9章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形分析與強(qiáng)度剛度計(jì)算計(jì)算第三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日請(qǐng)判斷軸受哪些力將發(fā)生什么變形工程上傳遞功率的圓軸及其扭轉(zhuǎn)變形

第四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日t工程上傳遞功率的圓軸及其扭轉(zhuǎn)變形

當(dāng)圓軸承受繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的外扭轉(zhuǎn)力偶作用時(shí)，其橫截面上將只有扭矩一個(gè)內(nèi)力分量。不難看出，圓軸受扭后，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形（twistdeformation），圓軸上的每個(gè)微元的直角均發(fā)生變化，這種直角的改變量即為剪應(yīng)變。這表明，圓軸橫截面和縱截面上都將出現(xiàn)剪應(yīng)力分別用

和表示。ABCDtA'B'C'D'第五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日返回剪應(yīng)力互等定理第9章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形分析與強(qiáng)度剛度計(jì)算計(jì)算第六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日yxzADCBdxdydz微元能不能平衡？怎樣才能平衡？哪些力互相平衡？剪應(yīng)力互等定理第七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日yxzADCBdxdydz哪些力互相平衡？剪應(yīng)力互等定理

根據(jù)力偶平衡理論第八頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日剪應(yīng)力互等定理yxzADCBdxdydz剪應(yīng)力互等定理如果在微元的一對(duì)面上存在剪應(yīng)力，另一對(duì)與剪應(yīng)力作用線互相垂直的面上必然垂直大小相等、方向或相對(duì)(兩剪應(yīng)力的箭頭相對(duì))或相背(兩剪應(yīng)力的箭尾相對(duì))，以使微元保持平衡。微元上剪應(yīng)力的這種相互關(guān)系稱為剪應(yīng)力互等定理或剪應(yīng)力成對(duì)定理(theoremofconjugateshearingstress)第九頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日返回圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析第9章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形分析與強(qiáng)度剛度計(jì)算計(jì)算第十頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日應(yīng)力分布應(yīng)力公式變形應(yīng)變分布平面假定物性關(guān)系靜力方程圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析第十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析變形協(xié)調(diào)方程彈性范圍內(nèi)的剪應(yīng)力－剪應(yīng)變關(guān)系圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式靜力學(xué)方程第十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析變形協(xié)調(diào)方程圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其圓柱面上的圓保持不變，都是兩個(gè)相鄰的圓繞圓軸的軸線相互轉(zhuǎn)過(guò)一角度。根據(jù)這一變形特征，假定：圓軸受扭發(fā)生變形后，其橫截面依然保持平面，并且繞圓軸的軸線剛性地轉(zhuǎn)過(guò)一角度。這就是關(guān)于圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假定。所謂“剛性地轉(zhuǎn)過(guò)一角度”，就是橫截面上的直徑在橫截面轉(zhuǎn)動(dòng)之后依然保持為一直線。

第十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析變形協(xié)調(diào)方程稱為單位長(zhǎng)度相對(duì)扭轉(zhuǎn)角（angleoftwistperunitlengthoftheshaft）。對(duì)于兩相鄰截面，故上式表明：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面上任意點(diǎn)處的剪應(yīng)變與該點(diǎn)至截面中心之間的距離成正比。上式即為圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形協(xié)調(diào)方程。

第十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析彈性范圍內(nèi)的剪應(yīng)力－剪應(yīng)變關(guān)系第十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日剪切胡克定律圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析彈性范圍內(nèi)的剪應(yīng)力－剪應(yīng)變關(guān)系若在彈性范圍內(nèi)加載，即剪應(yīng)力小于某一極限值時(shí)，對(duì)于大多數(shù)各向同性材料，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間存在線性關(guān)系此即為剪切胡克定律（Hookelawinshearing），式中G為比例常數(shù)，稱為剪切彈性模量或切變模量(shearingmodulus)。

第十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析彈性范圍內(nèi)的剪應(yīng)力－剪應(yīng)變關(guān)系其中于是，上式表明，橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力與點(diǎn)到橫截面中心的距離成正比，即剪應(yīng)力沿橫截面的半徑呈線性分布。

－對(duì)于確定的橫截面是一個(gè)不變的量。第十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析彈性范圍內(nèi)的剪應(yīng)力－剪應(yīng)變關(guān)系于是，上式表明，橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力與點(diǎn)到橫截面中心的距離成正比，即剪應(yīng)力沿橫截面的半徑呈線性分布。

第十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析靜力學(xué)方程第十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日靜力學(xué)方程圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析作用在橫截面上的剪應(yīng)力形成一分布力系，這一力系向截面中心簡(jiǎn)化結(jié)果為一力偶，其力偶矩即為該截面上的扭矩。于是有此即靜力學(xué)方程。

第二十頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日IP就是圓截面對(duì)其中心的極慣性矩。式中的GIP稱為圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度（torsionalrigidity）。靜力學(xué)方程圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析第二十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式第二十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式這就是圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任意點(diǎn)的剪應(yīng)力表達(dá)式，其中Mx由平衡條件確定；IP由積分求得。

第二十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式第二十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日最大剪應(yīng)力Wp扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式第二十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日截面的極慣性矩與扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)=d/D對(duì)于直徑為d

的實(shí)心圓截面對(duì)于內(nèi)、外直徑分別為d

和

D

圓環(huán)截面圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式第二十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大剪應(yīng)力不得超過(guò)40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比=0.5。二軸長(zhǎng)度相同。例題1求:實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式第二十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：首先由軸所傳遞的功率計(jì)算作用在軸上的扭矩實(shí)心軸圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式－例題

1

第二十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：對(duì)于空心軸，算得d2＝0.5D2=23mm圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式－例題

1

第二十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比空心軸D2＝46mmd2＝23mm實(shí)心軸d1=45mm長(zhǎng)度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式－例題

1

第三十頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,

z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各軸橫截面上的最大剪應(yīng)力。3例題2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式第三十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min3解：計(jì)算各軸的功率與轉(zhuǎn)速圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式－例題2

第三十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m3解：計(jì)算各軸的扭矩圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式－例題2

第三十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日3解：計(jì)算各軸的橫截面上的最大剪應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式－例題2

第三十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日返回承受扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與剛度設(shè)計(jì)第9章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形分析與強(qiáng)度剛度計(jì)算計(jì)算第三十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)與扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象承受扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與剛度設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果表明，低碳鋼的剪應(yīng)力與剪應(yīng)變關(guān)系曲線上，類似于拉伸正應(yīng)力與正應(yīng)變關(guān)系曲線，也存在線彈性、屈服和破斷三個(gè)主要階段。屈服強(qiáng)度和強(qiáng)度極限分別用τs和τb表示。

對(duì)于鑄鐵，整個(gè)扭轉(zhuǎn)過(guò)程，都沒有明顯的線彈性階段和塑性階段，最后發(fā)生脆性斷裂。其強(qiáng)度極限用τb表示。第三十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)與扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象承受扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與剛度設(shè)計(jì)韌性材料與脆性材料扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，其試樣斷口有著明顯的區(qū)別。韌性材料試樣最后沿橫截面剪斷，斷口比較光滑、平整。鑄鐵試樣扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)沿45°螺旋面斷開，斷口呈細(xì)小顆粒狀。第三十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度設(shè)計(jì)承受扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與剛度設(shè)計(jì)第三十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度設(shè)計(jì)承受扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與剛度設(shè)計(jì)與彎曲強(qiáng)度設(shè)計(jì)相類似，扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度設(shè)計(jì)時(shí)，首先需要根據(jù)扭矩圖和橫截面的尺寸判斷可能的危險(xiǎn)截面；然后根據(jù)危險(xiǎn)截面上的應(yīng)力分布確定危險(xiǎn)點(diǎn)（即最大剪應(yīng)力作用點(diǎn)）；最后利用試驗(yàn)結(jié)果直接建立扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。對(duì)于脆性材料，

對(duì)于韌性材料，

其中為許用剪應(yīng)力。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為第三十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日已知：汽車發(fā)動(dòng)機(jī)將功率通過(guò)主傳動(dòng)軸AB傳給后橋，驅(qū)動(dòng)車輪行駛。設(shè)主傳動(dòng)軸所承受的最大外力偶矩為Me＝1.5kN·m，軸由45號(hào)鋼無(wú)縫鋼管制成，外直徑D＝90mm，壁厚δ＝2.5mm，＝60Mpa。例題3扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度設(shè)計(jì)承受扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與剛度設(shè)計(jì)試:

1．試校核主傳動(dòng)軸的強(qiáng)度；

2.

若改用實(shí)心軸，在具有與空心軸相同的最大剪應(yīng)力的前提下，試確定實(shí)心軸的直徑；3.確定空心軸與實(shí)心軸的重量比。第四十頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度設(shè)計(jì)－例題3

承受扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與剛度設(shè)計(jì)解：1．校核空心軸的強(qiáng)度根據(jù)已知條件，主傳動(dòng)軸橫截面上的扭矩Mx＝Me＝1.5kN·m，軸的內(nèi)直徑與外直徑之比

因?yàn)檩S只在兩端承受外加力偶，所以軸各橫截面的危險(xiǎn)程度相同，軸的所有橫截面上的最大剪應(yīng)力均為

由此可以得出結(jié)論：主傳動(dòng)軸的強(qiáng)度是安全的。第四十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度設(shè)計(jì)－例題3

承受扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與剛度設(shè)計(jì)解：2．確定實(shí)心軸的直徑根據(jù)實(shí)心軸與空心軸具有同樣數(shù)值的最大剪應(yīng)力的要求，實(shí)心軸橫截面上的最大剪應(yīng)力也必須等于50.9MPa。若設(shè)實(shí)心軸直徑為d1，則有

據(jù)此，實(shí)心軸的直徑

第四十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度設(shè)計(jì)－例題3

承受扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與剛度設(shè)計(jì)解：3．計(jì)算空心軸與實(shí)心軸的重量比由于二者長(zhǎng)度相等、材料相同，所以重量比即為橫截面的面積比，即第四十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日承受扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與剛度設(shè)計(jì)扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計(jì)第四十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日承受扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與剛度設(shè)計(jì)扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計(jì)扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算是將單位長(zhǎng)度上的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角限制在允許的范圍內(nèi)，即必須使構(gòu)件滿足剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：其中單位長(zhǎng)度上的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角式中的稱為單位長(zhǎng)度上的許用相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，其數(shù)值視軸的工作條件而定。第四十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日承受扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與剛度設(shè)計(jì)扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計(jì)剛度設(shè)計(jì)中要注意單位的一致性：中的單位為rad/m；而通常所用的單位為()／m。因此，在實(shí)際設(shè)計(jì)中，若不等式兩邊均采用rad／m，則必須在不等式右邊乘以（π／180）；若兩邊均采用()／m，則必須在左邊乘以（180／π）。

第四十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日

已知：鋼制空心圓軸的外直徑D＝100mm，內(nèi)直徑d＝50mm。若要求軸在2m長(zhǎng)度內(nèi)的最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角不超過(guò)1.5()，材料的切變模量G＝80.4GPa。

例題5試：1．

求該軸所能承受的最大扭矩；

2．確定此時(shí)軸內(nèi)最大剪應(yīng)力。承受扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與剛度設(shè)計(jì)扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計(jì)解：1．確定軸所能承受的最大扭矩根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，有

第四十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于