多項(xiàng)式的整除

多項(xiàng)式的整除第一頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，F(xiàn)[x]是F上一元多項(xiàng)式環(huán)。一、多項(xiàng)式整除的定義與性質(zhì)。<一>多項(xiàng)式整除的定義

定義：令f(x)和g(x)是數(shù)域F上多項(xiàng)式環(huán)F[x]的兩個(gè)多項(xiàng)式，如果存在F[x]的多項(xiàng)式h(x),使

g(x)=f(x)h(x)

則稱f(x)整除（能除盡）g(x).

記為f(x)|g(x)

此時(shí)稱f(x)是g(x)的因式，

g(x)是f(x)的倍式。

否則，則稱f(x)不整除g(x),記作f(x)?g(x).第二頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日注：1.f(x)|g(x)不能寫作f(x)/g(x),以免與分式混淆。2.整除性不是多項(xiàng)式的運(yùn)算，它只是F[x]元素間的一種關(guān)系。3.若f(x)|g(x),則(f(x))(g(x))4.若f(x)?g（x），則對(duì)任意h(x)∈F[x],g(x)=f(x)h(x)均不成立。

第三頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日問題：1。零多項(xiàng)式能否整除零多項(xiàng)式？2。任意非零多項(xiàng)式能否整除零多項(xiàng)式？3。零多項(xiàng)式能否整除任意非零多項(xiàng)式？4。零次多項(xiàng)式能否整除任意多項(xiàng)式？5。零次多項(xiàng)式能否被任意多項(xiàng)式整除？第四頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日分析：1。因h(x)∈F[x],均有

0=0h(x)

成立，故0|0有意義。第五頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2。對(duì)0≠f(x)∈F[x],

不存在0h(x)∈F(x),使

0=f(x)h(x)成立。欲使0=f(x)h(x)成立，只有h(x)=0第六頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3。對(duì)0≠f(x)∈F[x],

不存在h(x)∈F[x],使

f(x)=0h(x)成立。第七頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日4。對(duì)f(x)∈F[x],0≠C∈F，均有

f(x)=C(f(x))

第八頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日5。

對(duì)

g(x)∈F[x],0≠C∈F,

若存在h(x)∈F[x],使

C=g(x)h(x),

則g(x)與h(x)均為零多項(xiàng)式。第九頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日結(jié)論：1。零多項(xiàng)式能整除且僅能整除零多項(xiàng)式。2。零多項(xiàng)式能被任意多項(xiàng)式整除（即零多項(xiàng)式有任意多高次的因式）。3。零次多項(xiàng)式只能被零次多項(xiàng)式整除。4。零次多項(xiàng)式整除任一多項(xiàng)式。第十頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日<二>多項(xiàng)式整除的基本性質(zhì)1。

如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x).證明：f(x)|g(x)h1(x)F[x]使

g(x)=f(x)h1(x)……（1）

g(x)|h(x)h2(x)F[x]使

h(x)=g(x)h2(x)……（2）由（1），（2）得h(x)=f(x)(g(x)h2(x))即f(x)|h(x)第十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2。如果h(x)|f(x),h(x)|g(x),那么

h(x)|(f(x)+g(x)).證明：h(x)|f(x)(x)F[x],使

f(x)=h(x)(x)……（1）

h(x)|g(x)(x)F[x],使

g(x)=h(x)(x)……（2）由（1），（2）得

f(x)+g(x)=h(x)((x)+(x))

即

h(x)|(f(x)+g(x)).第十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日注：此命題的逆命題不一定成立。例1.令h(x)=x,g(x)=x2-1,g(x)=x2+1,有h(x)|(f(x)+g(x))，但h(x)?

f(x),h(x)?g(x).第十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3。如果h(x)|f(x),那么g(x)F[x],均有h(x)|f(x)g(x)證明：h(x)|f(x)(x)F(x),使

f(x)=h(x)(x)，得

f(x)g(x)=h(x)((x)g(x)),即

h(x)|f(x)g(x)注：此命題逆命題不一定成立。第十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2.令h(x)=(x-2)(x-3),g(x)=(x-2)2,f(x)=(x-3)2.有h(x)|f(x)g(x),但h(x)?

g(x)且h(x)?f(x).4。若h(x)|f2(x),(i=1,2,……，t),那么gi(x)F[x],(i=1,2,……，t),有h(x)|(f1(x)g1(x)+f2(x)g2(x)+…+fi(x)gi(x))5。每一個(gè)多項(xiàng)式f(x)都能被cf(x)整除，其中0cF.證明：由f(x)=(cf(x)),可得。第十五頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日注：1。每一個(gè)多項(xiàng)式f(x)都能整除cf(x),其中cF.2。g(x)|f(x)g(x)|cf(x).(cF)g(x)|f(x)cg(x)|f(x).(0cF)

即：f(x)與cf(x)(cF)有相同的因式。

f(x)與cf(x)(0cF)有相同的倍式。第十六頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日6。若f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么f(x)=cg(x),其中0cF.證明：由f(x)|g(x)(x)F[x],使

g(x)=f(x)(x)……（1）由g(x)|f(x)(x)F[x],使

f(x)=g(x)(x)……（2）由（1），（2）得：f(x)=f(x)(x)(x)若f(x)=0,則由（1）知g(x)=0,從而f(x)=g(x).若f(x)=0,則由（1）知(x)(x)=1，于是，（(x)(x)）=0，從而（(x)）=0，（(x)）=0，令(x)=c,(0cF)第十七頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日則有：f(x)=cg(x).說明：若f(x)與g(x)均有首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，則有c=1,f(x)=g(x).從而可用此性質(zhì)判定兩首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式是否相等。第十八頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日帶余除法定理定理2.2.1.設(shè)f(x)和g(x)是F[x]的任意兩個(gè)多項(xiàng)式，并且g(x)0,那么在F[x]中可以找到多項(xiàng)式g(x)和r(x),使

f(x)=g(x)q(x)+r(x)……（*）這里或者r(x)=0,或者(r(x))<(g(x)).

滿足以上條件的多項(xiàng)式q(x)和r(x)只有一對(duì)，此時(shí)分別稱為f(x)除以g(x)的商式與余式。第十九頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明：先證定理的前一部分。若f(x)=0或（f(x)）<(g(x)).那么可以取q(x)=0,r(x)=f(x).

若(f(x))(g(x))令

f(x)=a0xn+a1xn-1

+…+an-1x+an,g(x)=b0xm+b1xm+1+…+bm-1x+bm

其中a00，b00，且n>m,令有

f1(x)=f(x)-b0-1a0xn-m

g(x).第二十頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日則f1(x)=0或（f1(x)）<（f(x)）=n

若f1(x)=0則f(x)=a0xn-mg(x).

令q(x)=b0-1

a0xn-m,r(x)=0即可。若f1(x)=0，（f1(x)）<（g(x)）則有

f(x)=b0-1

a0xn-m

g(x)+f1(x)

令q(x)=b0-1

a0xn-m

，r(x)=f1(x)即可。若f1(x)0，（f1(x)）=n1

>（g(x)）,令第二十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日F2(x)=F1(x)-b0-1

a10xn1-mg(x)其中b10是f1(x)的首次系數(shù)。則f2(x)=0或者（f2(x)）<（f1(x)）=n.這樣做下去，由于（f1(x)）>（f2(x)>（f3(x)）>……最后一定存在fk(x):fk(x)=fk-1(x)-b0-1

ak-1,0xnk-1-mg(x)而fk(x)=0或（fk(x)）<m,于是有等式：第二十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日f(x)-b0-1a0xn-mg(x)=f1(x),f1(x)-b0-1a10xn1-mg(x)=f2(x),……fk-1(x)-b0-1ak-1,0xnk-1-mg(x)=fk(x),.相加得：f(x)=b0-1a0xn-m+b0-1a10xn1-m+…+b0-1ak-1,0xnk-1-m令g(x)=b0-1a0xn-m+b0-1

a10xn1-m+…+b0-1

ak-1,0xnk-1-mr(x)=f(x).滿足等式（*）且或者r(x)=0,或者（r(x))<(g(x)).下證唯一性。第二十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日假設(shè)存在使

…….(3)且或者由（3），（*）得第二十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

若是那么，這時(shí)等式右邊的次數(shù)將小于g(x)的次數(shù)，而等式左邊的次數(shù)將不小于g(x)的次數(shù)，這是不可能的。因此必有：因而即第二十五頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日