數(shù)學歸納法及其應用

§2.3數(shù)學歸納法第二章推理與證明學習目標1.了解數(shù)學歸納法的原理.2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學知識點數(shù)學歸納法對于一個與正整數(shù)有關的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1驗證當n＝1，n＝2，…，n＝50時等式成立嗎？答案

成立.思考2能否通過以上等式歸納出當n＝51時等式也成立？為什么？答案

不能，上面的等式只對n取1至50的正整數(shù)成立.梳理

(1)數(shù)學歸納法的定義一般地，證明一個與

n有關的命題，可按下列步驟進行：①(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；②(歸納遞推)假設當n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當

時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學歸納法.正整數(shù)n＝k＋1(2)數(shù)學歸納法的框圖表示n=n0n=kn=k+1從n0開始所有的正整數(shù)n1.與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題的證明只能用數(shù)學歸納法.(

)2.數(shù)學歸納法的第一步n0的初始值一定為1.(

)3.數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可.(

)[思考辨析判斷正誤]√××題型探究類型一用數(shù)學歸納法證明等式證明例1用數(shù)學歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N*.證明

(1)當n＝1時，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，左邊＝右邊，等式成立.(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么當n＝k＋1時，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即當n＝k＋1時等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知等式對任何n∈N*都成立.反思與感悟用數(shù)學歸納法證明恒等式時，一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；二是弄清從n＝k到n＝k＋1等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項；三是證明n＝k＋1時結論也成立，要設法將待證式與歸納假設建立聯(lián)系，并朝n＝k＋1證明目標的表達式變形.證明(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，即當n＝k＋1時，等式也成立.綜合(1)，(2)可知，對一切n∈N*，等式成立.則當n＝k＋1時，類型二用數(shù)學歸納法證明不等式證明故左邊>右邊，不等式成立.(2)假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時，命題成立，則當n＝k＋1時，方法一

(分析法)只需證(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0，只需證(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0，只需證9k＋5≥0，顯然成立.所以當n＝k＋1時，不等式也成立.方法二

(放縮法)所以當n＝k＋1時，不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式對一切n≥2，n∈N*均成立.證明(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，不等式成立，∴當n＝k＋1時，不等式成立.由(1)(2)知對于任意正整數(shù)n，不等式成立.反思與感悟用數(shù)學歸納法證明不等式的四個關鍵(1)驗證第一個n的值時，要注意n0不一定為1，若n>k(k為正整數(shù))，則n0＝k＋1.(2)證明不等式的第二步中，從n＝k到n＝k＋1的推導過程中，一定要用到歸納假設，不應用歸納假設的證明不是數(shù)學歸納法，因為缺少歸納假設.(3)用數(shù)學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結論，常用數(shù)學歸納法證明.(4)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由n＝k時成立得n＝k＋1時成立，主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等.證明證明

①當n＝1時，a1＝a>2，命題成立；∴當n＝k＋1時，命題也成立.由①②得，對任意正整數(shù)n，都有an>2.類型三歸納—猜想—證明解答(1)用a表示a2，a3，a4；解答(2)猜想an的表達式(用a和n表示)，并用數(shù)學歸納法證明.下面用數(shù)學歸納法證明.①當n＝1時，②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時猜想成立，所以當n＝k＋1時，所以當n＝k＋1時猜想也成立.根據(jù)①與②可知猜想對一切n∈N*都成立.反思與感悟

“歸納—猜想—證明”的一般步驟跟蹤訓練3考察下列各式2＝2×13×4＝4×1×34×5×6＝8×1×3×55×6×7×8＝16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能證明你的猜想嗎？解答解

由題意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…，猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，下面利用數(shù)學歸納法進行證明.(1)當n＝1時，猜想顯然成立；(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，猜想成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么當n＝k＋1時，(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]所以當n＝k＋1時猜想成立.根據(jù)(1)(2)可知對任意正整數(shù)猜想均成立.達標檢測12345答案√解析12345123452.用數(shù)學歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝

(a≠1)”.在驗證n＝1時，左端計算所得項為A.1＋a B.1＋a＋a2C.1＋a＋a2＋a3 D.1＋a＋a2＋a3＋a4解析

將n＝1代入a2n＋1得a3，故選C.解析答案√3.若命題A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)時成立，則有n＝k＋1時命題成立.現(xiàn)知命題對n＝n0(n0∈N*)時成立，則有A.命題對所有正整數(shù)都成立B.命題對小于n0的正整數(shù)不成立，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立C.命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立D.以上說法都不正確解析

由已知，得n＝n0(n0∈N*)時命題成立，則n＝n0＋1時命題成立，在n＝n0＋1時命題成立的前提下，又可推得，n＝(n0＋1)＋1時命題也成立，依此類推，可知選C.√12345答案解析4.用數(shù)學歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的過程如下：(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立.(2)假設當n＝k(k∈N*)時等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，則當n＝k＋1時，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝

＝2k＋1－1.所以當n＝k＋1時，等式也成立.由此可知對于任何n∈N*，等式都成立.上述證明，錯誤是______________.解析

本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時，應用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上歸納假設，這與數(shù)學歸納法的要求不符.12345答案解析未用歸納假設證明12345左邊＝右邊，等式成立.②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立.當n＝k＋1時，12345