數(shù)列 省賽獲獎(jiǎng)

第二章數(shù)列2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法1，2，3，4，5，···n，···.（1）

1，，，，，···，···.（2）1，1.4，1.41，1.414，···.（3）4，5，6，7，8，9，10.（4）－1，1，－1，1，···.（5）1，1，1，1，···.（6）定義：

按一定順序排列的一列數(shù)叫數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（首項(xiàng)），第2項(xiàng)，······，第n項(xiàng)，······。

根據(jù)數(shù)列的定義知數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，因此若數(shù)列中被排列的數(shù)相同，但次序不同，則不是同一數(shù)列。如：數(shù)列（4）4，5，6，7，8，9，10。改為數(shù)列（4’）10，9，8，7，6，5，4。它們不是同一數(shù)列。又如：數(shù)列（5）－1，1，－1，1，···。改為數(shù)列（5’）1，－1，1，－1，···。則它們也不是同一數(shù)列。

數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)序號(hào)，反過(guò)來(lái)，每個(gè)序號(hào)也都對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)。如數(shù)列（4）項(xiàng)45678910序號(hào)1234567

這說(shuō)明：數(shù)列的項(xiàng)是序號(hào)的函數(shù)，序號(hào)從1開(kāi)始依次增加時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值按次序排出就是數(shù)列，這就是數(shù)列的實(shí)質(zhì)。數(shù)列的一般形式可以寫成：

如數(shù)列（2）可簡(jiǎn)記為其中是數(shù)列的第n項(xiàng)，上面的數(shù)列又可簡(jiǎn)記為

如數(shù)列（1）1，2，3，4，5，······可簡(jiǎn)記為如數(shù)列（1）

如數(shù)列（2）如數(shù)列（4）

如果數(shù)列的第項(xiàng)與之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

一個(gè)數(shù)列，它的項(xiàng)數(shù)可以是有限的也可以是無(wú)限的，根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的還是無(wú)限的，數(shù)列又分為有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列。我們規(guī)定：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列如數(shù)列（4）是有窮數(shù)列如數(shù)列（1）、（2）、（3）、（5）、（6）都是無(wú)窮數(shù)列。定義：按一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列問(wèn)1：數(shù)列

，2，

改為13

，…，35,2，

，…，3531請(qǐng)問(wèn)：是不是同一數(shù)列？問(wèn)2:數(shù)列改為：-1，1，-1，1……1，-1，1，-1……，請(qǐng)問(wèn)：是不是同一數(shù)列？不是不是(數(shù)列具有有序性)12數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。3數(shù)列的分類(1)按項(xiàng)數(shù)分：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫無(wú)窮數(shù)列(2)按項(xiàng)之間的大小關(guān)系：遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列，常數(shù)列。有窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列有窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列遞增數(shù)列遞增數(shù)列遞減數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列常數(shù)列4

數(shù)列的一般形式可以寫成：簡(jiǎn)記為

其中是數(shù)第1項(xiàng)第2項(xiàng)第3項(xiàng)第n項(xiàng)5

的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，列的第n項(xiàng)。？？？

那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。如果數(shù)列或？？1234567891024681012141618200是些孤立點(diǎn)12345123450-1我們好孤單！我們好孤單！O123456710987654321數(shù)列（4）用圖象表示：哇！圖象也可以是一些點(diǎn)呀！1O1234567n數(shù)列（2）用圖象表示（1）（2）

例1

根據(jù)下面數(shù)列

的通項(xiàng)公式，寫出它的前5項(xiàng)：解：（1）在通項(xiàng)公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到數(shù)列的前5項(xiàng)為

（2）在通項(xiàng)公式中依次取n=1，2，3，4，5，得么數(shù)列的前5項(xiàng)為－1，2，－3，4，－5.

例2寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：（1）1，3，5，7；解：此數(shù)列的前四項(xiàng)1，3，5，7都是序號(hào)的2倍減去1，所以通項(xiàng)公式是：（2）

解：此數(shù)列的前四項(xiàng)的分母都是序號(hào)加1，分子都是分母的平方減去1，所以通項(xiàng)公式是：（3）

解：此數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加上1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以通項(xiàng)公式是：觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：練習(xí)思考題：

1、寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）1，－1，1，－1；（2）2，0，2，0；（3）9，99，999，9999；（4）0.9，0.99，0.999，0.9999。答案：（1）（2）（3）

（4）練習(xí)：已知無(wú)窮數(shù)列7，4，3，…，

，…（1）求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；（2）是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？（3）這個(gè)數(shù)列有多少個(gè)整數(shù)項(xiàng)？（4）有否等于序號(hào)的的項(xiàng)？如果有，求出這些項(xiàng)；如果沒(méi)有，試說(shuō)明理由。遞推公式：遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法。思考題：

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