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函數(shù)性質(zhì)的綜合

應(yīng)用[培優(yōu)課]第二章函數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容,經(jīng)常以客觀題出現(xiàn),通過(guò)分析函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn),結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì),往往多種性質(zhì)結(jié)合在一起進(jìn)行考查.例1

(2020·新高考全國(guó)Ⅰ)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]√題型一函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),則f(0)=0.又f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示,則函數(shù)f(x-1)的大致圖象如圖(2)所示.當(dāng)x≤0時(shí),要滿足xf(x-1)≥0,則f(x-1)≤0,得-1≤x≤0.當(dāng)x>0時(shí),要滿足xf(x-1)≥0,則f(x-1)≥0,得1≤x≤3.故滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是[-1,0]∪[1,3].(1)(2)(1)解抽象函數(shù)不等式,先把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x)),利用單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“f”脫掉,得到具體的不等式(組).(2)比較大小,利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,進(jìn)而利用其單調(diào)性比較大小.思維升華√所以函數(shù)f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞增,由f(x)為偶函數(shù),得函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(sin3)>f(ln3)>f(2),即a>b>c.例2

(2023·襄陽(yáng)模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)單調(diào)遞增,則√題型二函數(shù)的奇偶性與周期性∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù),又當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)單調(diào)遞增,周期性與奇偶性結(jié)合的問(wèn)題多考查求函數(shù)值、比較大小等,常利用奇偶性和周期性將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi),或已知單調(diào)性的區(qū)間內(nèi)求解.跟蹤訓(xùn)練2

(2023·廣州模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(x+1)=f(x-1),則f(2021)+f(2022)等于

C.-2021

D.-1√f(x+1)=f(x-1),∴f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期為2,∴f(2021)+f(2022)=f(1)+f(0),又f(x)為定義在R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,又f(-1)=-f(1),且f(-1)=f(1),∴f(1)=0,∴f(2021)+f(2022)=0.例3

(多選)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),則下列結(jié)論一定正確的是A.f(x+2)=f(x)B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱C.函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù)D.f(2-x)=f(x-1)題型三函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性√√對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)閒(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),則f(1-(1+x))=f(1+(1+x)),即f(x+2)=-f(x),A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)閒(x+2)=-f(x),則f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因?yàn)閒(-x)+f(x)=0,則f(-(2+x))+f(2+x)=0,即f(2+x)=-f(-2-x)=-f(2-x),即f(2+x)+f(2-x)=0,故函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)閒(1-x)=f(1+x),故函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù),C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),因?yàn)閒(1-x)=f(1+x),則f(1-(x-1))=f(1+(x-1)),即f(2-x)=f(x)≠f(x-1),D錯(cuò).由函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性可求函數(shù)的周期,常用于化簡(jiǎn)求值、比較大小等.跟蹤訓(xùn)練3

(2022·南陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2-2x,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)的值為A.-2 B.-1√∵f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,∴f(-x)=-f(2+x),又f(x)為R上的偶函數(shù),∴f(x)=f(-x),∴f(x+2)=-f(-x)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),∴f(x)是周期為4的周期函數(shù),∴f(3)=f(-1)=f(1)=2-2=0,又f(0)=1,f(2)=-f(0)=-1,∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=506[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2024)=506×(1+0-1+0)+f(0)=1.例4

(多選)已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),滿足f(x+1)=f(x-2),下列說(shuō)法正確的是C.y=f(x)在[0,6]內(nèi)至少有5個(gè)零點(diǎn)D.若y=f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,則它在[2021,2022]上也單調(diào)遞增題型四函數(shù)的周期性與對(duì)稱性√√√因?yàn)閒(x+1)=f(x-2)且y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則f(x+3)=f(x),故函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù),且f(x+3)=f(x)=-f(-x),由題意可知,f(6)=f(3)=f(0)=0,故函數(shù)y=f(x)在[0,6]內(nèi)至少有5個(gè)零點(diǎn),C正確;因?yàn)閒(2021)=f(3×674-1)=f(-1),f(2022)=f(3×674)=f(0),且函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)在[-1,0]上也單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)在[2021,2022]上也單調(diào)遞增,D正確.函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì),在高考中常常將它們綜合在一起命題,解題時(shí),往往需要借助函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性來(lái)確定另一區(qū)間上的單調(diào)性,即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換,再利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練4

(多選)已知f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù),滿足f(x+1)=f(x-3),f(1+x)=f(3-x),當(dāng)0≤x≤2時(shí),f(x)=x2-x,則下列說(shuō)法正確的是A.f(x)的周期為4B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱C.當(dāng)0≤x≤4時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為2D.當(dāng)6≤x≤8時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為

√√√對(duì)于A,∵f(x+1)=f(x-3),∴f(x+3+1)=f(x+3-3),則f(x)=f(x+4),即f(x)的周期為4,故A正確;對(duì)于B,由f(1+x)=f(3-x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,故B正確;課時(shí)精練1.(2022·湖北九師聯(lián)盟模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,若f(-2)=1,則滿足|f(2x)|≤1的x的取值范圍是A.[-1,1] B.[-2,2]C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)12345678910√根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),得f(x)在R上單調(diào)遞減,且f(2)=-1;由|f(2x)|≤1,得-1≤f(2x)≤1,即f(2)≤f(2x)≤f(-2),所以-2≤2x≤2,解得-1≤x≤1.√1234567891012345678910由題意,函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+1)=f(-x+1),可得f(x+1)=-f(x-1),所以f(x)=f(x+4),所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).又由當(dāng)0<x≤1時(shí),f(x)=x2-2x+3,3.(2023·許昌質(zhì)檢)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(-∞,0)上單調(diào)遞減,若a=-log310,

,

,則f(a),f(b),f(c)的大小關(guān)系為A.f(a)>f(c)>f(b) B.f(a)>f(b)>f(c)C.f(b)>f(a)>f(c) D.f(c)>f(a)>f(b)√1234567891012345678910∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),∴f(a)=f(-log310)=f(log310),且2<log310<3,f(b)=f(-3)=f(3),f(c)=f(),且1<<2,∵f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(c)<f(a)<f(b).123456789104.(2023·唐山模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+b的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,則b等于A.-3 B.-1√∵f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,∴f(x)+f(2-x)=0,又f(2-x)=(2-x)3+a(2-x)2+(2-x)+b=-x3+(a+6)x2-(4a+13)x+10+4a+b,∴f(x)+f(2-x)=(2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0,1234567891012345678910√12345678910令f(0)=lg(2+a)=0,得a=-1,所以f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,123456789106.(多選)(2023·鹽城模擬)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),g(x)=f(x+1)為偶函數(shù),下列說(shuō)法正確的有A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱B.g(2023)=0C.g(x)的最小正周期為4D.對(duì)任意x∈R都有f(2-x)=f(x)√√√因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x+1)為偶函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,所以f(x)=f(2-x),A,D正確;由A分析知f(x)=f(2-x)=-f(-x),故f(2+x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù),則g(2023)=f(2024)=f(0)=0,B正確;但不能說(shuō)明g(x)的最小正周期為4,C錯(cuò)誤.12345678910123456789107.(多選)已知奇函數(shù)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,且滿足f(x)+f(2-x)=0,則下列說(shuō)法正確的是A.函數(shù)f(x)是以2為最小正周期的周期函數(shù)B.函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)C.函數(shù)f(x-1)為奇函數(shù)D.函數(shù)f(x)在[5,6)上單調(diào)遞增√√√12345678910對(duì)于選項(xiàng)A,B,∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x).∵f(x)+f(2-x)=0,∴f(-x)+f(2+x)=0,則-f(x)+f(2+x)=0,即f(2+x)=f(x),故函數(shù)f(x)是最小正周期為2的周期函數(shù),由此可知選項(xiàng)A,B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,令F(x)=f(x-1),則F(-x)=f(-x-1)=-f(x+1).在f(x)+f(2-x)=0中,將x換為x+1,得f(x+1)+f(1-x)=0,∴f(x+1)=-f(1-x),∴F(-x)=-f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)=-F(x),則函數(shù)F(x)=f(x-1)為奇函數(shù),∴選項(xiàng)C正確.12345678910對(duì)于選項(xiàng)D,由函數(shù)f(x)是以2為最小正周期的周期函數(shù),則函數(shù)f(x)在[5,6)上的單調(diào)性等價(jià)于函數(shù)f(x)在[-1,0)上的單調(diào)性,又奇函數(shù)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,∴函數(shù)f(x)在[-1,0)上單調(diào)遞減.∴選項(xiàng)D不正確.123456789108.(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(2x+1)是偶函數(shù),f(x-1)是奇函數(shù),則下列命題正確的是A.f(x)=f(x-16) B.f(11)=1C.f(2022)=-f(0) D.f(2021)=f(-3)√√√因?yàn)閒(2x+1)是偶函數(shù),所以f(2x+1)=f(-2x+1),令t=2x+1,則2x=t-1,故-2x+1=2-t,所以f(t)=f(2-t),即f(x)=f(2-x),所以函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱,因?yàn)閒(x-1)是奇函數(shù),所以f(-1)=0,且函數(shù)f(x-1)關(guān)于(0,0)對(duì)稱,又因?yàn)楹瘮?shù)f(x-1)是由函數(shù)f(x)向右平移1個(gè)單位得到,所以f(x)關(guān)于(-1,0)對(duì)稱,所以f(-x-1)=-f(x-1),所以f(x)=-f(-x-2),12345678910所以f(2-x)=-f(-x-2),則f(x)=-f(x-4)=f(x-8),即f(x)=f(x+8),所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為8,故有f(x)=f(x+(-2)×8)=f(x-16),故A正確;由函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱,f(-1)=0,所以f

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