江西省上饒市鉛山第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

江西省上饒市鉛山第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)函數(shù),其中,,則的展開式中的系數(shù)為(

)A．

B． C．

D．參考答案：D2.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓=1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】求得橢圓的a，b，c，運用橢圓的定義和三角形的中位線定理，可得PF2⊥x軸，|PF2|=，|PF1|=，計算即可所求值．【解答】解：橢圓=1的a=3，b=，c==2，由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a=6，由中位線定理可得PF2⊥x軸，令x=2，可得y=±?=±，即有|PF2|=，|PF1|=6﹣=，則=．故選：C．【點評】本題考查橢圓的定義，三角形的中位線定理的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.

對于函數(shù)，若存在區(qū)間，使得，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．現(xiàn)有四個函數(shù)：

①；

②

③

④．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)為(

)

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B4.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（

）A.三棱錐

B.三棱柱

C.四棱錐

D.四棱柱參考答案：B根據(jù)所給三視圖易知，對應(yīng)的幾何體是一個橫放著的三棱柱.選B5.已知p、q是簡單命題，則“p∧q是真命題”是“?p是假命題”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】命題的否定；復(fù)合命題的真假；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由p∧q為真命題，知p和q或者同時都是真命題，由?p是假命題，知p是真命題．由此可知“p∧q是真命題”是“?p是假命題”的充分不必要條件．【解答】解：∵p∧q為真命題，∴p和q或者同時都是真命題，由?p是假命題，知p是真命題．∴“p∧q是真命題”推出“?p是假命題”，反之不能推出．則“p∧q是真命題”是“?p是假命題”的充分而不必要條件．故選A．6.已知{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn表示數(shù)列{an}的前n項的和，若a1=3，a2a4=144，則S5的值為

A．

B．69

C．93

D．189參考答案：C7.復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A8.已知函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f（﹣|x|）的圖象為（）A．、 B． C． D．參考答案：A【考點】函數(shù)的圖象．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，然后利用已知條件轉(zhuǎn)化判斷即可．【解答】解：函數(shù)y=f（﹣|x|）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除選項B，D；當(dāng)x＞0時，函數(shù)y=f（﹣|x|）=f（﹣x）與原函數(shù)關(guān)于y軸對稱，是x＜0對稱的函數(shù)的圖象，排除C，圖象A滿足題意．故選A．9.已知雙曲線上的點到其焦點的最小距離為2，且漸近線方程為，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．參考答案：A

考點：雙曲線和拋物線的有關(guān)問題.10.設(shè)a=，b=，c=ln，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a(chǎn)＞c＞b參考答案：B【考點】對數(shù)值大小的比較．【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．【解答】解：∵0＜a=（）＜b=（）=，c=ln＜ln1=0，∴b＞a＞c．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知,且滿足，則__________。參考答案：由，所以,(kz)。12.已知，則

參考答案：解：．對等式兩邊求導(dǎo)得．繼續(xù)對此等式兩邊求導(dǎo)，得．令得）．13.一個幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為的兩個全等的等腰直角三角形，則該幾何體的表面積是 。參考答案：14.已知函數(shù)，點為坐標(biāo)原點,點N，向量，

是向量與的夾角，則的值為

．參考答案：試題分析：因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以．考點：1、向量的坐標(biāo)運算；2、向量的夾角；3、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；4、裂項求和．15.已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=，如果關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在區(qū)間[，e]內(nèi)有兩個實數(shù)解，那么實數(shù)k的取值范圍是．參考答案：[）【考點】函數(shù)的零點．【分析】將方程的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題；通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值；通過對k與函數(shù)h（x）的極值的大小關(guān)系的討論得到結(jié)論．【解答】解：由f（x）=g（x），∴kx=，∴k=，令h（x）=，∵方程f（x）=g（x）在區(qū)間[，e]內(nèi)有兩個實數(shù)解，∴h（x）=在[，e]內(nèi)的圖象與直線y=k有兩個交點．∴h′（x）=，令h′（x）==0，則x=，當(dāng)x∈[，]內(nèi)h′（x）＞0，當(dāng)x∈[，e]內(nèi)h′（x）＜0，當(dāng)x=，h（x）=，當(dāng)x=e時，h（e）=，當(dāng)x=，h（x）=﹣e2，故當(dāng)k∈[）時，該方程有兩個解．故答案為：[）16.已知，是非零不共線的向量，設(shè)=+，定義點集M={K|=}，當(dāng)K1，K2∈M時，若對于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，則實數(shù)c的最小值為．參考答案：．【分析】由=+，可得A，B，C共線，再由向量的數(shù)量積的幾何意義可得KC為∠AKB的平分線，由角平分線的性質(zhì)定理可得==r，可得K的軌跡為圓，求得圓的直徑與AB的關(guān)系，即可得到所求最值．【解答】解：由=+，可得A，B，C共線，由=，可得||cos∠AKC=||cos∠BKC，即有∠AKC=∠BKC，則KC為∠AKB的平分線，由角平分線的性質(zhì)定理可得==r，即有K的軌跡為圓心在AB上的圓，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2遞增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由題意可得c≥，故c的最小值為．故答案為：．17.設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，前項和為．若對，有，則的取值范圍是

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|（Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求證：．參考答案：考點：絕對值不等式的解法．專題：不等式的解法及應(yīng)用；推理和證明．分析：（Ⅰ）依題意，f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=，利用分段函數(shù)分段解不等式f（2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集．（Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1，?f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，要證該不等式成立，只需證明|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0即可．解答： （Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=，當(dāng)x＜﹣3時，由﹣3x﹣2≥8，解得x≤﹣；當(dāng)﹣3時，由﹣x+4≥8，解得x∈?；當(dāng)x≥時，由3x+2≥8，解得x≥2…4分所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集為{x|x≤﹣或x≥2}…5分；（Ⅱ）證明：等價于f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|，因為|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以，|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所證不等式成立…10分．點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運用，考運算及推理、證明能力，屬于中檔題．19.（本小題滿分14分）如圖1，在直角梯形中，，，，四邊形是正方形.將正方形沿折起到四邊形的位置，使平面平面，為的中點，如圖2.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．

參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.試題分析：（Ⅰ）要證明線線垂直，一般通過線面垂直來證明，本題中因為四邊形為正方形，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面；（Ⅱ）建系來做，需要求出相應(yīng)的方向向量及法向量，以點為坐標(biāo)原點，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，易得平面的一個法向量為，故與平面所成角為，；（Ⅲ）直線與直線平行.通過坐標(biāo)運算可得，所以.

試題解析：（Ⅰ）證明：因為四邊形為正方形，

所以.

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

………………2分

因為平面，

所以.

………………4分則.所以與平面所成角的正弦值為.

………………10分

（Ⅲ）解：直線與直線平行.理由如下：

………………11分由題意得，.所以.

所以.

………………13分因為，不重合，所以.

………………14分另解：直線與直線平行.理由如下：取的中點，的中點，連接，，.所以且.因為為的中點，四邊形是正方形，所以且.考點：空間立體幾何20.

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，對任意，總有成等差數(shù)列(l)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和參考答案：略21.某企業(yè)去年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500（1+）萬元（n為正整數(shù)）．

(Ⅰ）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求、的表達(dá)式；

(Ⅱ）依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤？參考答案：（Ⅰ）依題意知，數(shù)列是一個以500為首項，－20為公差的等差數(shù)列，所以，=＝=

(Ⅱ）依題意得，，即，可化簡得，可設(shè)，又，可設(shè)是減函數(shù)，是增函數(shù)，又則時不等式成立，即4年22.如圖（1），在五邊形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，△ABE是以AB為斜邊的等腰直角三角形，現(xiàn)將△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如圖（2），記線段AB的中點為O．（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面EOD；（Ⅱ）求平面ECD與平面ABE所成的銳二面角的大小．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出四邊形OBCD為平行四邊形，AB⊥OD，EO⊥AB，從而AB⊥平面EOD，由此能證明平面ABE⊥平面EOD．（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)B，OD，OE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面ECD與平面ABE所成的銳二面角的大?。窘獯稹孔C明：（Ⅰ）∵AB=2CD，O是線段AB的中點，∴OB=CD，又∵OB∥CD，∴四邊形OBCD為平行四邊形，又∠BCD=90°，∴AB⊥OD，又∵O是等腰直角△EAB斜邊上的中點，∴EO⊥AB，∵EO∩DO=O，∴AB⊥平面EOD，∵AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面EOD．解：（Ⅱ）∵平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥OD，∴OB，OD，OE兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)B，O