概率和隨機變量及分布

1、第二章第二章 一維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布一、隨機變量及其分布一、隨機變量及其分布二、離散型隨機變量的分布函數(shù)二、離散型隨機變量的分布函數(shù)三、離散型隨機變量的概率函數(shù)三、離散型隨機變量的概率函數(shù)四、連續(xù)型隨機變量及其概率密度四、連續(xù)型隨機變量及其概率密度五、隨機變量的函數(shù)的分布五、隨機變量的函數(shù)的分布2.12.1隨機變量及其分布隨機變量及其分布2.1.12.1.1隨機變量的概念隨機變量的概念2.1.22.1.2隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù) 為了更好的揭示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)為了更好的揭示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律，引入隨機變量來描述隨機試驗的工具描述其規(guī)

2、律，引入隨機變量來描述隨機試驗的不同結(jié)果不同結(jié)果例例:電話總機某段時間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一電話總機某段時間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個變量個變量 X 來描述來描述例例: 拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果，也可以用拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果，也可以用一個變量來描述一個變量來描述反面向上正面向上, 0, 1)(X2.1 2.1 隨機變量及其分布隨機變量及其分布例例: (1)隨機地擲一顆骰子，隨機地擲一顆骰子，表示所有的樣本點表示所有的樣本點,: : 出現(xiàn)出現(xiàn)1 1點點 出現(xiàn)出現(xiàn)2 2點點 出現(xiàn)出現(xiàn)3 3點點 出現(xiàn)出現(xiàn)4 4點點 出現(xiàn)出現(xiàn)5 5點點 出現(xiàn)出現(xiàn)6 6點點 X X(): 1 2 3

3、4 5 6(): 1 2 3 4 5 6(2)某人接連不斷地對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊某人接連不斷地對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊,直至射中為直至射中為 止，止，表示射擊次數(shù)，則表示射擊次數(shù)，則:射擊射擊1 1次次 射擊射擊2 2次次 . . 射擊射擊n n次次 .X(): 1 2 . n . X(): 1 2 . n . (3) 某車站每隔某車站每隔10分鐘開出一輛公共汽車分鐘開出一輛公共汽車,旅客在任意旅客在任意時間到達(dá)車站時間到達(dá)車站,表示該旅客的候車時間表示該旅客的候車時間,: : 候車時間候車時間X(): 0, 10X(): 0, 102.1.1 2.1.1 隨機變量的概念隨機變量的概念定義定義: 設(shè)設(shè)

4、E是一隨機試驗，是一隨機試驗， 是它的樣本空間是它的樣本空間，若，若則稱則稱 上的單值實值函數(shù)上的單值實值函數(shù) X ( )為隨機變量為隨機變量隨機變量一般用隨機變量一般用 X, Y , Z ,或小寫希臘字母或小寫希臘字母 , , 表示表示.)(X實數(shù)按一定法則特別特別離散型離散型連續(xù)型連續(xù)型取值為有限個和至多可列個的取值為有限個和至多可列個的隨機變量隨機變量. .可以取區(qū)間內(nèi)一切值的隨機變量可以取區(qū)間內(nèi)一切值的隨機變量. .隨機變量是隨機變量是R上的映射，這個映射具有上的映射，這個映射具有如下的特點：如下的特點： 定義域定義域 : : 隨機性隨機性 : : 隨機變量隨機變量X X 的可能取值不

5、止一個，的可能取值不止一個， 試驗前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知試驗前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知 取哪個值取哪個值 概率特性概率特性 : : X X 以一定的概率取某個值或某些以一定的概率取某個值或某些 值值 引入隨機變量后，用隨機變量的等式或不引入隨機變量后，用隨機變量的等式或不 等式表達(dá)隨機事件等式表達(dá)隨機事件如，若用如，若用X 表示電話總機在表示電話總機在9:0010:00接到的接到的電話次數(shù)，電話次數(shù)，100X或或)100(X 表示表示“某天某天9:00 10:00 接到的電話次接到的電話次數(shù)超過數(shù)超過100次次”這一事件這一事件則則再如，用隨機變量再如，用隨機變量反面向上正

6、面向上, 0, 1)(X描述拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的結(jié)果描述拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的結(jié)果, 則則) 1)(X 表示正面向上表示正面向上也可以用也可以用反面向上正面向上, 1, 0)(Y描述這個隨機試驗的結(jié)果描述這個隨機試驗的結(jié)果例如，要研究某地區(qū)兒童的發(fā)育情況，往往需要例如，要研究某地區(qū)兒童的發(fā)育情況，往往需要多個指標(biāo)，例如，身高、體重、頭圍等多個指標(biāo)，例如，身高、體重、頭圍等 = = 兒童的發(fā)育情況兒童的發(fā)育情況 X X ( ( ) ) 身高身高Y Y ( ( ) ) 體重體重Z Z ( ( ) ) 頭圍頭圍各隨機變量之間可能有一定的關(guān)系，也可能沒有各隨機變量之間可能有一定的關(guān)系，也可能沒有關(guān)系

7、關(guān)系 即相互獨立即相互獨立定義了一個定義了一個 x x 的實值函數(shù)，稱為隨機變量的實值函數(shù)，稱為隨機變量X X 的的分布函數(shù)分布函數(shù)，記為，記為F ( x )F ( x ) , ,即即定義：定義：設(shè)設(shè) X X 為隨機變量為隨機變量, ,對每個實數(shù)對每個實數(shù) x ,x ,隨機事件隨機事件)(xX 的概率的概率)(xXPxxXPxF),()(注注: : 分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性，分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性，或者說，分布函數(shù)完整地表示了隨機變量的概率分或者說，分布函數(shù)完整地表示了隨機變量的概率分布情況布情況 . .2.1.22.1.2隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)

8、分布函數(shù)的性質(zhì)：分布函數(shù)的性質(zhì)：q F F ( ( x x ) ) 單調(diào)不減，即單調(diào)不減，即)()(,2121xFxFxxq 1)(0 xF且且0)(lim, 1)(limxFxFxxq F F ( ( x x ) ) 右連續(xù)，即右連續(xù)，即)()(lim)0(0 xFtFxFxt利用分布函數(shù)可以計算利用分布函數(shù)可以計算)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP（ a ab b （ )0()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP請請?zhí)钐羁湛绽?.1.1 設(shè)隨機變量的設(shè)隨機變量的分布律

9、為分布律為 :求求 的分布函數(shù)，并求的分布函數(shù)，并求:X),21( XP)32(),2523( XPXPkp-123414121的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為解解X:即即 )(xF xxxx31322141214110 )(xF xxxx313243214110 x214143)23()25()2523( FFXP41)21()21(, FXP又又)2()2()3()32( XPFFXP4321431 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: 31313210200)(xxxxxxF求求: :).3141()5(),1()4(),1()3(),2()2(),3()1( XPXPXPXPXP課

10、堂練習(xí)課堂練習(xí)2.2-2.32.2-2.3隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)一、離散型隨機變量的概念一、離散型隨機變量的概念二、離散型隨機變量的分布函數(shù)二、離散型隨機變量的分布函數(shù)三、常見的離散型隨機變量的概率分布三、常見的離散型隨機變量的概率分布定義定義: 若隨機變量若隨機變量 X 的可能取值是有限多個或無窮的可能取值是有限多個或無窮 可列多個，則稱可列多個，則稱 X 為為離散型隨機變量離散型隨機變量. .描述離散型隨機變量的概率特性常用它的描述離散型隨機變量的概率特性常用它的概率分布概率分布或或分布律分布律，即，即, 2 , 1,)(kpxXPkk概率分布的性質(zhì)概率分布的性質(zhì)一、離散型隨

11、機變量的概念一、離散型隨機變量的概念q , 2 , 1, 0kpk非負(fù)性非負(fù)性q 11kkp規(guī)范性規(guī)范性F( x) F( x) 是分段階梯函數(shù)，在是分段階梯函數(shù)，在 X X 的可能取值的可能取值 x xk k 處處發(fā)生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點發(fā)生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點. .二、離散型隨機變量的分布函數(shù)二、離散型隨機變量的分布函數(shù))()()(1kkkkxFxFxXPp) )()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(注意注意: :離散型隨機變量的概率分布分以下幾步來求離散型隨機變量的概率分布分以下幾步來求: : (1) (1)確定隨機變量的所有可能取值確定隨機變量

12、的所有可能取值; ; (2) (2)設(shè)法（如利用古典概率）計算取每個值的設(shè)法（如利用古典概率）計算取每個值的概率概率. . (3) (3)列出隨機變量的概率分布表（或?qū)懗龈怕柿谐鲭S機變量的概率分布表（或?qū)懗龈怕屎瘮?shù)）函數(shù)）. .例例2.2.12.2.1 從從1 11010這這1010個數(shù)字中隨機取出個數(shù)字中隨機取出5 5個數(shù)字，令個數(shù)字，令X X：取出的取出的5 5個數(shù)字中的最大值試求個數(shù)字中的最大值試求X X的分布律的分布律 kXP 具體寫出，即可得具體寫出，即可得 X X 的分布律：的分布律：X 5 6 7 8 9 10 P 2521 2525 25215 25235 25270 2521

13、26 解：解：X X 的可能取值為的可能取值為.1065， k5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1010 并且并且510C41 kC=求分布率一定要說求分布率一定要說明明 k k 的取值范圍！的取值范圍！例例2.2.22.2.2 袋內(nèi)有袋內(nèi)有5 5個黑球個黑球3 3個白球個白球, ,每次抽取一個不放每次抽取一個不放回回, ,直到取得黑球為止。記直到取得黑球為止。記X X為取到白球的數(shù)目為取到白球的數(shù)目,Y,Y為抽為抽取次數(shù)，求取次數(shù)，求X X、Y Y的概率分布及至少抽取的概率分布及至少抽取3 3次的概率。次的概率。 解解: : (1)X (1)X的可能取值為的可能取值為0,1,2,3,

14、0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3P(X=1)=(35)/(85)/(87)=15/56,7)=15/56,類似有類似有P(X=2)=(3P(X=2)=(32 25)/(8 5)/(8 7 7 6)=5/56, 6)=5/56, P(X=3)=1/56, P(X=3)=1/56,所以所以,X,X的概率分布為的概率分布為X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56 (2) Y(2) Y的可能取值為的可能取值為1,2,3,4,1,2,3,4,P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, P(Y=1)=5/8, P

15、(Y=2)=P(X=1)=15/56, 類似有：類似有：P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以所以Y Y的概率分布為：的概率分布為：(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56(1) (1) 0 0 1 1 分布分布X = xX = xk k 1 01 0P Pk k p p 1 1-p-p0 0 p p 1 11 , 0,)1 ()(1kppkXPkk 注注: :其分布律可寫成其分布律可寫成三、常見的離散型隨

16、機變量的概率分布三、常見的離散型隨機變量的概率分布 凡是隨機試驗只有兩個可能的結(jié)果，凡是隨機試驗只有兩個可能的結(jié)果，應(yīng)用場合應(yīng)用場合常用常用0 0 1 1分布描述，如產(chǎn)品是否格、人口性別統(tǒng)分布描述，如產(chǎn)品是否格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負(fù)荷等等計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負(fù)荷等等. .(2) (2) 離散型均勻分布離散型均勻分布 X1x2xnxkpn1n1n1如在如在“擲骰子擲骰子”的試驗中，用的試驗中，用 表示事件出現(xiàn)表示事件出現(xiàn) 點，點， 則隨機變量則隨機變量 是均勻分布是均勻分布 iX iXX14kp6123566161616161(3)(3) 二項分布二項分布),

17、(pnB背景：背景：n n 重重Bernoulli Bernoulli 試驗中，每次試驗感興試驗中，每次試驗感興趣的事件趣的事件A A 在在 n n 次試驗中發(fā)生的次數(shù)次試驗中發(fā)生的次數(shù) X X是一離散型隨機變量是一離散型隨機變量若若P P ( ( A A ) = ) = p p , , 則則nkppCkXPkPknkknn, 1 , 0,)1 ()()(稱稱 X X 服從服從參數(shù)為參數(shù)為n n, , p p 的二項分布的二項分布，記作，記作),(pnBX0 0 1 1 分布是分布是 n n = 1 = 1 的二項分布的二項分布. . 例例3.1.13.1.1 一大批產(chǎn)品的次品率為一大批產(chǎn)品的

18、次品率為0.10.1，現(xiàn)從中取，現(xiàn)從中取 出出1515件試求下列事件的概率：件試求下列事件的概率： B B = = 取出的取出的1515件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有2 2件次品件次品 C C = = 取出的取出的1515件產(chǎn)品中至少有件產(chǎn)品中至少有2 2件次品件次品 ,取取出出一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品為為次次品品 A . 1 . 0 AP則則 由于從一大批產(chǎn)品中取由于從一大批產(chǎn)品中取1515件產(chǎn)品，故可近似件產(chǎn)品，故可近似 看作是一看作是一1515重重BernoulliBernoulli試驗試驗解：解：所以，所以， 1322159 . 01 . 0 CBP CPCP 1141151500159 . 01

19、. 09 . 01 . 01 CC例例3.1.23.1.2 一個完全不懂英語的人去參加英語考試一個完全不懂英語的人去參加英語考試. .假設(shè)此考試有假設(shè)此考試有5 5個選擇題，每題有個選擇題，每題有n n重選擇，其中只重選擇，其中只有一個答案正確有一個答案正確. .試求：他居然能答對試求：他居然能答對3 3題以上而及題以上而及格的概率格的概率. . 解解: :由于此人完全是瞎懵，所以每一題，每一個答案由于此人完全是瞎懵，所以每一題，每一個答案 對于他來說都是一樣的，而且他是否正確回答各題對于他來說都是一樣的，而且他是否正確回答各題 也是相互獨立的也是相互獨立的. .這樣，他答題的過程就是一個這樣

20、，他答題的過程就是一個 BernoulliBernoulli試驗試驗 .)5 , 1 , 0(,)1()( kppknkmPpknkk:,4,1此此人人及及格格的的概概率率是是時時于于是是當(dāng)當(dāng)其其中中 nnp10. 041554341454341355423543 ppp)/1 , 5(nBm這這個個隨隨機機變變量量他他答答對對題題數(shù)數(shù)(4) (4) Poisson Poisson 分布分布)(或或)(P或或若若, 2 , 1 , 0,!)(kkekXPk其中其中0是常數(shù)，則稱是常數(shù)，則稱 X X 服從服從參數(shù)為參數(shù)為的的Poisson Poisson 分布分布，記作，記作)()(P在一定時間

21、間隔內(nèi)：在一定時間間隔內(nèi)：一匹布上的疵點個數(shù)；一匹布上的疵點個數(shù)； 大賣場的顧客數(shù)；大賣場的顧客數(shù)；應(yīng)用場合應(yīng)用場合: :電話總機接到的電話次數(shù)；電話總機接到的電話次數(shù)；一個容器中的細(xì)菌數(shù)；一個容器中的細(xì)菌數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)；一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)；某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù);市級醫(yī)院急診病人數(shù)；市級醫(yī)院急診病人數(shù)；等等等等.例例3.1.3 3.1.3 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的的PoissonPoisson分布，分布，且已知且已知 21 XPXP解：解：隨機變量隨機變量 X

22、X 的分布律為的分布律為 試試求求4 XP ，210! kekkXPk 由已知由已知 21 XPXP如果隨機變量如果隨機變量X 的分布律為的分布律為 ., 2 , 1! kkckXPk 為為常常數(shù)數(shù)其其中中0 試確定未知常數(shù)試確定未知常數(shù)c .例例3.1.4, 1!11 kkkkkckc 由分布率的性質(zhì)有由分布率的性質(zhì)有解：解： 1!kkk 而而1 e.11 ec所所以以1!0 kkk (5) (5) 幾何分布幾何分布 設(shè)用機槍射擊一次擊落飛機的概率為設(shè)用機槍射擊一次擊落飛機的概率為 , ,無限次地射擊，無限次地射擊，則首次擊落飛機時所需射擊的次數(shù)則首次擊落飛機時所需射擊的次數(shù) 服從參數(shù)為服從

23、參數(shù)為 的的幾幾何分布何分布，記，記 . .即即 pXp)(pGX,)1 ()(1ppkXPk, 2 , 1k 容易驗證，若在前容易驗證，若在前 m m 次射擊中未擊落飛機，那么次射擊中未擊落飛機，那么, ,在在 此條件下，為了等到擊落時刻所需要等待時間也服此條件下，為了等到擊落時刻所需要等待時間也服 從同一幾何分布，該分布與從同一幾何分布，該分布與 m m 無關(guān)，這就是所謂的無關(guān)，這就是所謂的 無記憶性無記憶性. . (6) (6) 超幾何分布超幾何分布 設(shè)有產(chǎn)品設(shè)有產(chǎn)品 件，其中正品件，其中正品 件，次品件，次品 件（件（ ），從中隨機地不放回抽取，從中隨機地不放回抽取 件，件， ，記，記

24、X X為抽到的為抽到的的正品件數(shù)，求的正品件數(shù)，求X X 的分布律的分布律. .此時抽到此時抽到 件正品的概率為件正品的概率為 sNMNMsnNn k k k=0=0，1 1， ， nsknMkNkXP)(n稱稱X X 服從服從超幾何分布超幾何分布. .記記 ),(nNMHX可以證明超幾何分布的極限分布就是二項分布，因此可以證明超幾何分布的極限分布就是二項分布，因此在實際應(yīng)用中，當(dāng)在實際應(yīng)用中，當(dāng) 都很大時，超幾何分布都很大時，超幾何分布可用下面式子近似可用下面式子近似 NMs, nsknMkNkXP)(,)()(knksMsNkn (7) (7) 負(fù)二項分布（負(fù)二項分布（PascalPasc

25、al分布分布) ) ( (自學(xué)自學(xué)) ) (8) (8) 截塔（截塔（ZipfZipf）分布）分布 ( (自學(xué)自學(xué)) ) 課堂練習(xí)課堂練習(xí)1. 將一枚均勻骰子拋擲將一枚均勻骰子拋擲3次，令次，令X 表示表示3次中次中出現(xiàn)出現(xiàn)“4”點的次數(shù)點的次數(shù)求求X的概率函數(shù)的概率函數(shù)3 , 2 , 1 , 0,)65()61(33kCkXPkkk提示：提示：. . 設(shè)生男孩的概率為設(shè)生男孩的概率為p p, ,生女孩的概率為生女孩的概率為q=1-pq=1-p，令，令X X表示隨機抽查出生的表示隨機抽查出生的4 4個嬰兒中個嬰兒中“男孩男孩”的個數(shù)的個數(shù). .求求X X的概率分布的概率分布. .4 , 3 ,

26、 2 , 1 , 0,)1 (44kppCkXPkkkX的概率函數(shù)是的概率函數(shù)是：男男 女女解解: :X X 表示隨機抽查的表示隨機抽查的4 4個嬰兒中男孩的個數(shù)，個嬰兒中男孩的個數(shù)，生男孩的概率為生男孩的概率為p p. .X=0X =1X =2X =3X =4X可取值可取值0,1,2,3,4.2.4 2.4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度2.4.1 2.4.1 連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)2.4.2.4. 常見的連續(xù)型隨機變量常見的連續(xù)型隨機變量2.4.1 2.4.1 連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)定義：定義

27、：設(shè)設(shè) X X 是一隨機變量，若存在一個非負(fù)是一隨機變量，若存在一個非負(fù) 可積函數(shù)可積函數(shù) f(x) f(x) 使得使得xttfxFxd)()(其中其中 F(x) 是它的分布函數(shù)是它的分布函數(shù)則稱則稱 X X 是是連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量，f ( x )f ( x )是它的是它的概率概率密度函數(shù)密度函數(shù)( p.d.f. )( p.d.f. )，簡稱為，簡稱為密度函數(shù)密度函數(shù)或或概率密概率密度度-10-550.020.040.060.08x xf f ( ( x x) )x xF F ( ( x x ) )分布函數(shù)分布函數(shù) F(x)F(x)與密度函數(shù)與密度函數(shù) f(x)f(x)的幾何意義的幾

28、何意義)(xfy 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)( p.d.f.)( p.d.f.) f(x)f(x)的性質(zhì)的性質(zhì)1 1、0)(xf2 2、1)(d)(Fxxf常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)隨機變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù). .3 3、在在 f(x)f(x) 的連續(xù)點處，的連續(xù)點處，)()(xFxff(x) f(x) 描述了描述了X X 在在 x x 附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率的概率. .注意注意: : 對于連續(xù)型隨機變量對于連續(xù)型隨機變量X X , , P P ( ( X

29、= aX = a) = 0) = 0這里這里 a a 可以是隨機變量可以是隨機變量 X X 的一個可能的的一個可能的取值取值. .)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(lim)(0000)( aXP命題命題: : 連續(xù)型隨機變量取任一常數(shù)的概率為零連續(xù)型隨機變量取任一常數(shù)的概率為零. .)(aX )(aXxa0 x 事實上事實上對于連續(xù)型隨機變量對于連續(xù)型隨機變量X X)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(d)(aFbFxxfbab bx xf f ( ( x x) )-10-550.020.040.060.08a a)()()(bFbXPbX

30、P)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a例例2.4.12.4.1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 具有概率密度函數(shù)具有概率密度函數(shù) 試確定常數(shù)試確定常數(shù)A A， 以及以及 的分布函數(shù)的分布函數(shù). . X . 0, 0; 0,)(3xxAexfxX解解: :由由,31)(103AdxAedxxfx 知知A A=3=3，即，即 . 0, 0; 0,3)(3xxexfx而而 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 X xxxxedttfxF. 0, 0; 0,1)()(3例例2.4.2 2.4.2 一個靶子是半徑為一個靶子是半徑為2 2米的圓盤，設(shè)擊中米的圓盤，設(shè)擊中靶上

31、任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X X表示彈著點與圓表示彈著點與圓心的距離，試求隨機變量心的距離，試求隨機變量X X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 解解: :0)()( xXPxF于于是是即即,4)0(2xxXP )()(xXPxF4)0()0(2xxXPXP 于于是是是是不不可可能能事事件件則則若若,)(, 0 xXx .,)0(, 202是某一常數(shù)是某一常數(shù)由題意由題意若若kkxxXPx 41, 12)20(, 22 kkXPx有有取取 1)()(xXPxF綜上所述，隨機變量綜上所述，隨機變量X

32、X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 2120400)(2xxxxxF于于是是是是必必然然事事件件由由題題意意若若,2 x2.4.2.1 2.4.2.1 均勻分布均勻分布( (a a , ,b b) )上的均勻分布上的均勻分布),(baUX記作記作2.4.2 2.4.2 常見的連續(xù)型隨機變量常見的連續(xù)型隨機變量若若 X X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 ，則稱，則稱 X X 服從服從區(qū)間區(qū)間)(xf其他, 0,1)(bxaabxf其中其中X X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為1, 0)(abaxxFbxbxaax,),(),(badcxabdXcPd1)(dcabcd即即 X X 的取值在的取值在(a,b)(a,

33、b)內(nèi)任何長為內(nèi)任何長為 d d c c 的小區(qū)間的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān)的概率與小區(qū)間的位置無關(guān), , 只與其長度成正比只與其長度成正比. .這正是幾何概型的情形這正是幾何概型的情形. .在進(jìn)行大量數(shù)值計算時，如果在小數(shù)點后第在進(jìn)行大量數(shù)值計算時，如果在小數(shù)點后第k k位位進(jìn)行四舍五入，則產(chǎn)生的誤差可以看作進(jìn)行四舍五入，則產(chǎn)生的誤差可以看作服從服從kkU1021,1021應(yīng)用場合應(yīng)用場合: :例例2.4.32.4.3 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X X服從服從(1,6)(1,6)上的均勻分布，上的均勻分布， 求一元兩次方程求一元兩次方程t t2 2+Xt+1=0+Xt+1=0有實根的概率有實

34、根的概率. . 解解: :.01,0422有有實實根根時時因因為為當(dāng)當(dāng) XttX故所求概率為故所求概率為: : )04(2XP)22( XXP或或而而X X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 : : ,0;61,51)(其其他他xxf, 0)2(,54)()2(62 XPdttfXP且且因此所求概率：因此所求概率： .54)04(2 XP 2.4.2.2 2.4.2.2 正態(tài)分布正態(tài)分布若若X X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為xexfx222)(21)(則稱則稱 X X 服從服從參數(shù)為參數(shù)為 , , 2 2 的正態(tài)分布的正態(tài)分布記作記作 X X N N ( ( , , 2 2 ) ),為為常數(shù)，常數(shù)，0f

35、(x) 的性質(zhì)：的性質(zhì)：(1) 圖形關(guān)于直線圖形關(guān)于直線 x = 對稱：對稱： f ( + x) = f ( - x) (2) 在在 x = 時時, f (x) 取得最大值取得最大值:21(3) 在在 x = 時時, 曲線曲線 y = f (x) 在對應(yīng)的點處有在對應(yīng)的點處有 拐點拐點(4) 曲線曲線 y = f (x) 以以x軸為漸近線軸為漸近線(5) 曲線曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀的圖形呈單峰狀.21)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3f(x)f(x)的兩個參數(shù)：的兩個參數(shù)： 位置參數(shù)位置參數(shù)即固定即固定 , , 對

36、于不同的對于不同的 , , 對應(yīng)的對應(yīng)的 f(x)f(x)的形狀不變的形狀不變化，只是位置不同化，只是位置不同. . 形狀參形狀參數(shù)數(shù)固定固定 ，對于不同的，對于不同的 ，f( x)f( x)的形狀不同的形狀不同. .若若 1 1 2 2 則則212121x=x= 2 2 所對應(yīng)的拐點更靠近直線所對應(yīng)的拐點更靠近直線x = x = . .附近值的概率更大附近值的概率更大. x = . x = 1 1 所對應(yīng)的所對應(yīng)的拐點拐點比比前者取前者取 應(yīng)用場合應(yīng)用場合: : 若隨機變量若隨機變量 X X 受到眾多相互獨立的隨機因素的受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些

37、影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加影響可以疊加, , 則則 X X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布. .可用正態(tài)變量描述的實例非常之多：可用正態(tài)變量描述的實例非常之多：各種測量的誤差；各種測量的誤差； 人的生理特征；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金屬線的抗拉強度；金屬線的抗拉強度；熱噪聲電流強度；熱噪聲電流強度； 學(xué)生們的考試成績；學(xué)生們的考試成績； 正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說明：以下情形加以說明： 正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中

38、最常見的分布正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分之一，大量的隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的可以證明，如果一個隨機指標(biāo)受到諸多因素布的可以證明，如果一個隨機指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，則該隨機指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布則該隨機指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布 正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的多分布所不具備的 正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布

39、的重要性: :標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計算：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計算： ，則則其其密密度度函函數(shù)數(shù)為為，如如果果隨隨機機變變量量10 NX ,2122xex xdtedttxxtx2221 其其分分布布函函數(shù)數(shù)為為.)(,值值由由此此可可得得態(tài)態(tài)分分布布表表教教科科書書上上都都附附有有標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正x 一種重要的正態(tài)分布一種重要的正態(tài)分布：N(0,1) N(0,1) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布5 . 0)0()(1)(xx1)(2)|(|aaXP5 . 0)0(-3-2-11230.10.20.30.4-xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.4對一般的正態(tài)分布對一般的正

40、態(tài)分布 ：X X N ( N ( , , 2 2) ) 其分布函數(shù)其分布函數(shù)xttexFd21)(222)(作變量代換作變量代換tsxxF)(abaFbFbXaP)()()(aaFaXP1)(1)( 設(shè)設(shè) X N(1,4) , 求求 P (0 X 1.6) 解解:210216 . 1)6 . 10(XP5 . 03 . 05 . 01 3 . 06915. 01 6179. 03094. 0P352 表2例例2.4.42.4.4例例2.4.5已知), 2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求求 P ( X 0 0 為常數(shù)為常數(shù)對于任意的對于任意的 0 a b, 0 a 3 3所以至少

41、要進(jìn)行所以至少要進(jìn)行 4 4 次獨立測量才能滿足要求次獨立測量才能滿足要求. . 課堂練習(xí)課堂練習(xí)2.5 2.5 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布2.5.1 2.5.1 離散型隨機變量函數(shù)的分布離散型隨機變量函數(shù)的分布2.5.2 2.5.2 連續(xù)性隨機變量函數(shù)的分布連續(xù)性隨機變量函數(shù)的分布問題問題：已知隨機變量：已知隨機變量 X X 的概率特性的概率特性 分布分布 函數(shù)函數(shù) 或密度函數(shù)（分布律）或密度函數(shù)（分布律）Y = g Y = g ( ( X X ) )求隨機因變量求隨機因變量Y Y 的概率特性的概率特性方法方法：將與：將與Y Y 有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成X X 的事件的事件

42、設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X X 的分布律為的分布律為, 2 , 1,)(kpxXPkk由已知函數(shù)由已知函數(shù) g g ( ( x x) ) 可求出隨機變量可求出隨機變量 Y Y 的所有的所有可能取值，則可能取值，則 Y Y 的概率分布為的概率分布為, 2 , 1,)()(:ipyYPikyxgkki2.5.1 2.5.1 離散型隨機變量函數(shù)的分布離散型隨機變量函數(shù)的分布第第 一一 種種 情情 形形: :如如果果，nyyy21兩兩兩兩不不相相同同，則則由由 ， 21 nxXPyYPnn的的分分布布律律為為可可知知隨隨機機變變量量 Y ,2,1 npyYPnn或或Y 1y 2y ， ny P 1p 2p ， np 第第 二二 種種 情情 形形: :如如果果，nyyy21有有相相同同的的項項， .的的分分布布律律機機變變量量的的概概率率相相加加，即即可可得得隨隨相相應(yīng)應(yīng)（看看作作是是一一項項），并并把把則則把把這這些些相相同同的的項項合合并并XgY 例例2.5.1 已知已知 X 的概率分布為的概率分布為X pk-1 0 1 221418181求求 Y 1= 2X 1 與與 Y 2= X 2 的分布