全概率公式與貝葉斯公式

§6.全概率公式與貝葉斯公式解：B=AB+āB且AB與āB互不相容。P(B)=P(AB+āB)=P(AB)+P(āB)=P(A)P(B|A)+P(ā)P(B|ā)=0.7×0.95+0.3×0.8=0.905例1市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70％，乙廠占30％，甲廠產(chǎn)品的合格率是95％，乙廠的合格率是80％若用事件A，ā分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，B表示產(chǎn)品為合格品。求市場上買一個(gè)燈泡的合格率，及買到合格燈泡是甲廠生產(chǎn)的概率。1全概率公式與貝葉斯公式定理1(全概率公式)若事件A1,A2,…構(gòu)成一個(gè)完備事件組并且都具有正概率，則對任何一個(gè)事件B,有證：A1,A2,…兩兩互斥，故A1B,A2B,…兩兩互斥由加法法則再由乘法法則2全概率公式與貝葉斯公式定理2(貝葉斯公式)若事件A1,A2,…構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且都具有正概率，則對任何一個(gè)概率不為零的事件B,有各原因下條件概率已知求事件發(fā)生概率求是某種原因造成得概率事件已發(fā)生全概率貝葉斯3全概率公式與貝葉斯公式例2設(shè)5支槍中有2支未經(jīng)試射校正，3支已校正。一射手用校正過的槍射擊，中靶率為0.9，用未校正過的槍射擊，中靶率為0.4。(1)該射手任取一支槍射擊，中靶的概率是多少？(2)若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，求該槍未校正的概率。解：設(shè)A表示槍已校正，B表示射擊中靶4全概率公式與貝葉斯公式例3有三個(gè)同樣的箱子，A箱中有4個(gè)黑球1個(gè)白球，B箱中有3個(gè)黑球3個(gè)白球，C箱中有3個(gè)黑球5個(gè)白球?，F(xiàn)任取一箱，再從中任取一球，求(1)此球是白球的概率(2)若取出的是白球，求它取自B箱的概率。解：用A、B、C表示A、B、C三個(gè)箱子取球用D表示取出的是白球。則A、B、C是完備事件組。5全概率公式與貝葉斯公式6全概率公式與貝葉斯公式例4(抽簽的公正性)設(shè)10支簽中有4支難簽。甲、乙、丙依次不放回的抽取。求各人抽到難簽的概率。解：分別用A、B、C表示甲、乙、丙抽到難簽。7全概率公式與貝葉斯公式例5設(shè)驗(yàn)血診斷某種疾病的誤診率僅為5％，即若用A表示驗(yàn)血陽性，B表示受驗(yàn)者患病，則若有10000人受檢，患病者僅50人，其中驗(yàn)血陽性約47.5人而9950健康人中，驗(yàn)血陽性者為9950×0.05＝497.5人8全概率公式與貝葉斯公式§7獨(dú)立試驗(yàn)概型(一)事件的獨(dú)立性故若A獨(dú)立于B，則B也獨(dú)立于A,稱事件A與事件B相互獨(dú)立。關(guān)于獨(dú)立性有如下性質(zhì)：定義1若事件發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的影響，即P(A|B)=P(A),則稱事件A獨(dú)立于事件B。定義2若n(n>2)個(gè)事件A1,…,An中任何一個(gè)事件發(fā)生的可能性都不受其它一個(gè)或幾個(gè)事件發(fā)生與否的影響，稱A1,A2,…,An相互獨(dú)立。9全概率公式與貝葉斯公式(1)事件A與B獨(dú)立的充分必要條件是P(AB)=P(A)P(B)證：必要性若A與B中有一個(gè)事件概率為零，結(jié)論成立。設(shè)A與B的概率都不為零，由獨(dú)立性P(B|A)=P(B)而由乘法法則可得P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)充分性設(shè)P(B)>0,則=P(A)即A與B獨(dú)立。10全概率公式與貝葉斯公式證：類似可證其它兩對事件獨(dú)立。11全概率公式與貝葉斯公式(3)若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則有P(A1…An)=P(A1)…P(An)證：P(A1…An)＝P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1…An-1)而P(A2|A1)=P(A2),…,P(An|A1…An-1)=P(An)故P(A1…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)12全概率公式與貝葉斯公式例1設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.9和0.8。求一次射擊中，目標(biāo)被擊中的概率。解：分別用A,B表示甲、乙擊中目標(biāo)。目標(biāo)被擊中，即至少有一人擊中，即A+BA與B獨(dú)立。故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98或由性質(zhì)(4)=0.98=1-0.1×0.213全概率公式與貝葉斯公式例2一名士兵用步槍射擊飛機(jī)，命中率為0.004。求：(1)若250名士兵同時(shí)射擊，飛機(jī)被擊中的概率。(2)多少名士兵同時(shí)射擊，才能使飛機(jī)被擊中的概率達(dá)到99％？解：用Ai表示第i名士兵擊中飛機(jī)，P(Ai)＝0.004＝0.99即0.996n＝0.0114全概率公式與貝葉斯公式例3甲、乙、丙3部機(jī)床獨(dú)立工作，由一個(gè)工人照管，某段時(shí)間內(nèi)它們不需要工人照管的概率分別為0.9，0.8及0.85。求在這段時(shí)間內(nèi)有機(jī)床需要工人照管的概率以及機(jī)床因無人照管而停工的概率。解：用A、B、C分別表示在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)床甲、乙、丙不需要照管。則A、B、C相互獨(dú)立，且P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.8515全概率公式與貝葉斯公式例4圖中開關(guān)a、b、c開或關(guān)的概率都是0.5，且各開關(guān)是否關(guān)閉相互獨(dú)立。求燈亮的概率以及若已見燈亮，開關(guān)a與b同時(shí)關(guān)閉的概率。解：令A(yù)、B、C分別表示開關(guān)a、b、c關(guān)閉，D表示燈亮P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)=P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)=0.5×0.5+0.5-0.5×0.5×0.5=0.625ABD=AB=0.4abc16全概率公式與貝葉斯公式例5甲、乙、丙三人獨(dú)立射擊一個(gè)目標(biāo)，命中率分別為0.4，0.5，0.7，若只有一人擊中，目標(biāo)被摧毀的概率是0.2，若二人擊中，則目標(biāo)被摧毀的概率是0.6，若三人都擊中，目標(biāo)一定被摧毀。若目標(biāo)被摧毀，求它是一人摧毀的概率。解：用Ai表示有i個(gè)人擊中目標(biāo)，i=0,1,2,3用B表示目標(biāo)被摧毀。P(B|A0)=0 P(B|A1)=0.2 P(B|A2)=0.6 P(B|A3)=1P(A0)=0.6×0.5×0.3=0.09P(A1)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36P(A2)=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14＝0.45817全概率公式與貝葉斯公式(二)獨(dú)立試驗(yàn)序列概型進(jìn)行n次試驗(yàn)，若任何一次試驗(yàn)中各結(jié)果發(fā)生的可能性都不受其它各次試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生情況的影響，則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。在同樣條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為獨(dú)立試驗(yàn)序列概型。若在每次試驗(yàn)中只關(guān)心某事件A發(fā)生或不發(fā)生，且每次試驗(yàn)結(jié)果與其它各次試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)，即在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率都是p(0<p<1)。這樣的n次重復(fù)試驗(yàn)稱為n重貝努里試驗(yàn)。18全概率公式與貝葉斯公式例6一批產(chǎn)品的廢品率為p,(0<p<1)重復(fù)抽取n次，求有k次取到廢品的概率。解：設(shè)所求事件的概率為P(B),事件B由下列m個(gè)互不相容的事件組成：B1=(廢，…，廢，正，…，正)B2=(廢，…，廢，正，廢，正，…，正)Bm=(正，…，正，廢，…，廢)P(B1)=P(B2)=…=P(Bm)=pk(1-p)n-k19全概率公式與貝葉斯公式一般地，有如下的定理：解：設(shè)B表示至少有兩件一級品＝1-P10(0)-P10(1)例7一條自動(dòng)生產(chǎn)線上產(chǎn)品的一級品率為0.6，現(xiàn)在檢查了10件，求至少有兩件一級品的概率。20全概率公式與貝葉斯公式例8某藥物對某病的治愈率為0.8，求10位服藥的病人中至少有6人治愈的概率。解：設(shè)A表示至少有6人治愈。＝P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)而正好有8人治愈的概率為=0.30221全概率公式與貝葉斯公式例9在四次獨(dú)立試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為0.59，求A至多出現(xiàn)一次的概率。解：設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p則A至少出現(xiàn)一次的概率為故 (1-p)4=0.411-p=0.8p=0.2A至多出現(xiàn)一次的概率為：P4(0)+P4(1)=0.8222全概率公式與貝葉斯公式例10(分賭注問題)甲、乙各下注a元，以猜硬幣方式賭博，五局三勝，勝者獲得全部賭注。若甲贏得第一局后，賭博被迫中止，賭注該如何分？解法一：應(yīng)按照比賽雙方最終獲勝的可能性分賭注。即在余下的四局中甲贏得2局以上即可。甲最終獲勝的概率為P4(2)+P4(3)+P4(4)23全概率公式與貝葉斯公式解法二：一般情況下不必比到第五局，有一方贏得三局即中止。甲方在第三局結(jié)束賭博獲得勝利的概率為甲方在第四局結(jié)束賭博獲勝的概率為甲方在第五局結(jié)束賭博獲勝的概率為故甲方最終獲勝的概率為P(B3+B4+B5)=P(B3)+P(B4)+P(B5)賭注應(yīng)按11：5的比例