寧夏回族自治區(qū)六盤山高級(jí)中學(xué) 2024年數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

寧夏回族自治區(qū)六盤山高級(jí)中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.2．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為（）A.-3 B.-2C. D.13．已知數(shù)列中，，()，則（）A. B.C. D.24．觀察：則第行的值為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，一條漸近線被圓截得的弦長為2b，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.6．在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的公差為（）A.1 B.2C.3 D.47．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.8．在三棱錐中，，D為上的點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.9．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B.2C. D.10．已知空間向量，，則（）A. B.19C.17 D.11．已知三棱錐，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，且，用表示，則等于()A. B.C. D.12．設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用表示，村外一小路所在直線方程可用表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.14．已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為____________.15．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；16．若直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，則l的斜率取值范圍為_________________；其傾斜角的取值范圍為_________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，E，F(xiàn)分別為AD和PB的中點(diǎn).請用空間向量知識(shí)解答下列問題：（1）求證：EF//平面PDC；（2）求平面EFC與平面PBD夾角的余弦值.18．（12分）分別求滿足下列條件的曲線方程（1）以橢圓的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓方程；（2）過點(diǎn)，且漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程19．（12分）自疫情爆發(fā)以來，由于黨和國家對抗疫工作高度重視，在人民群眾的不懈努力下，我國抗疫工作取得階段性成功，國家經(jīng)濟(jì)很快得到復(fù)蘇.在餐飲業(yè)恢復(fù)營業(yè)后，某快餐店統(tǒng)計(jì)了近天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)，將前天的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖.組別分組頻數(shù)頻率第組第組第組第組第組合計(jì)（1）求、、的值，并估計(jì)該快餐店在前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）已知該快餐店在前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的方差為，在后天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為、方差為，估計(jì)這家快餐店這天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)和方差.（）20．（12分）已知橢圓的長軸長與短軸長之比為2,、分別為其左、右焦點(diǎn)．請從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件,完成下面的問題:①過點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓E相切;②過且垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P,且的面積為．(只能從①②中選擇一個(gè)作為已知)（1）求橢圓E的方程;（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),與直線交于H點(diǎn),若,．證明:為定值21．（12分）已知函數(shù)在處的切線垂直于直線.（1）求（2）求的單調(diào)區(qū)間22．（10分）某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價(jià)值逐年減少，通常把它使用價(jià)值逐年減少的“量”換算成費(fèi)用，稱之為“失效費(fèi)”．某種機(jī)械設(shè)備的使用年限（單位：年）與失效費(fèi)（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費(fèi)（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0.01）（2）求出關(guān)于的線性回歸方程，并估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)參考公式：相關(guān)系數(shù)線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)計(jì)算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性即可【題目詳解】令，，令得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，，，，，故選：A2、B【解題分析】先畫出可行域，由，作出直線向下平移過點(diǎn)A時(shí)，取得最小值，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中可求得答案【題目詳解】由題可得其可行域?yàn)槿鐖D，l：，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，取到最小值，由，得，即，所以的最小值為故選：B3、A【解題分析】由已知條件求出，可得數(shù)是以3為周期的周期數(shù)列，從而可得，進(jìn)而可求得答案【題目詳解】因?yàn)椋?)，所以，所以數(shù)列的周期為3，，故選：A4、B【解題分析】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，利用等差數(shù)列求和，即可得到答案；【題目詳解】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，，故選：B5、A【解題分析】求出圓心到漸近線的距離，根據(jù)弦長建立關(guān)系即可求解.【題目詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，則點(diǎn)到漸近線的距離為，因?yàn)橄议L為，圓半徑為，所以，即，因?yàn)?，所以，則雙曲線的離心率為.故選：A.6、B【解題分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得.【題目詳解】在等差數(shù)列中，設(shè)公差為d，由，，得，解得.故選：B7、C【解題分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【題目詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，，所?故選：C8、B【解題分析】根據(jù)幾何關(guān)系以及空間向量的線性運(yùn)算即可解出【題目詳解】因?yàn)?，所以，即故選：B9、A【解題分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【題目詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，雙曲線的漸近線方程為：，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為：，故選：A10、D【解題分析】先求出的坐標(biāo)，再求出其?！绢}目詳解】因?yàn)?，，所以，故，故選：D.11、D【解題分析】連接，利用，化簡即可得到答案.【題目詳解】連接，如下圖.故選：D.12、B【解題分析】求出圓心到直線距離，減去半徑即為答案.【題目詳解】圓心到直線的距離，則從村莊外圍到小路的最短距離為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由題可得，求導(dǎo)可得的單調(diào)性，將的最小值代入，即得.【題目詳解】∵，，使得成立，∴由，得，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為又在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：.14、【解題分析】設(shè)，表示出，消去y，利用二次函數(shù)求最值即可.【題目詳解】設(shè)，則.所以當(dāng)x=1時(shí)，最小.故答案為：.15、（1）（2）詳見解析【解題分析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導(dǎo)后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【題目詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點(diǎn)處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，屬于?？碱}型.16、①.②.【解題分析】根據(jù)直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，利用斜率公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解；設(shè)其傾斜角為，，利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解.【題目詳解】因?yàn)橹本€l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，所以l的斜率為，所以l的斜率取值范圍為，設(shè)其傾斜角為，，則，所以其傾斜角的取值范圍為，故答案為：，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面的法向量，再求出，判斷是否與法垂直即可，（2）分別求出平面EFC與平面PBD的法向量，利用向量夾角公式求解即可【小問1詳解】因PD⊥底面ABCD，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD和PB的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?因?yàn)槠矫妫訣F//平面PDC；【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以，令，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?所以，令，則，設(shè)平面EFC與平面PBD夾角為，，則，所以平面EFC與平面PBD夾角的余弦值為18、（1）（2）【解題分析】（1）由題意得出的值后寫橢圓方程（2）待定系數(shù)法設(shè)方程，由題意列方程求解【小問1詳解】的短軸頂點(diǎn)為(0，－3)，(0，3)，∴所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c＝3又，∴a＝6．∴∴所求橢圓方程為【小問2詳解】根據(jù)雙曲線漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程，把代入得m＝1．所以雙曲線的方程為19、（1），，，平均數(shù)為；（2）平均數(shù)為，方差為.【解題分析】（1）計(jì)算出第組的頻數(shù)，可求得的值，利用頻數(shù)、頻率和總數(shù)的關(guān)系可求出的值，求出第組的頻率，除以組距可得的值，利用平均數(shù)公式可求得該快餐店在前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）設(shè)前天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，后天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，利用平均數(shù)公式和方差公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】解：由表可知第組的頻數(shù)為，所以，，，第組的頻率為，，前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為：.【小問2詳解】解：設(shè)前天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，后天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，則由（1）知前天的平均數(shù)，方差，后天的平均數(shù)，方差，故這天的平均數(shù)為，，同理，這天的方差，由以上三式可得.20、（1）（2）證明見解析【解題分析】(1)選①:直線與橢圓聯(lián)立,利用判別式為0求解;選②:利用通徑公式即可(2)用直線參數(shù)方程的幾何意義求解【小問1詳解】選①:由題知,過點(diǎn)且斜率為1的直線方程為聯(lián)立,得由,得所以橢圓的方程為選②:由題知,所以由,得所以橢圓的方程為【小問2詳解】證明:設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)A,B,H對應(yīng)的參數(shù)分別為,顯然將代入橢圓,得即.所以將代入直線,得由,得,所以由,得,所以所以所以為定值【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：直線的參數(shù)方程作為一種工具，要充分發(fā)揮它的作用，參數(shù)的幾何意義并不局限于加絕對值表示距離，還要注意方向性.請考生在22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分21、（1）；（2）在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增【解題分析】（1）由題意求導(dǎo)可得，代入可得（1），從而求，進(jìn)而求切線方程；（2）的定義域?yàn)?，，從而求單調(diào)性【題目詳解】解：（1）因?yàn)樵谔幥芯€垂直于，所以（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增