固體物理(第7課)晶格振動(dòng)一維單原子鏈

第3章晶格振動(dòng)和晶格的熱學(xué)性質(zhì)晶體原子不是靜止?fàn)顟B(tài)，而是在作熱運(yùn)動(dòng)。晶體中的粒子在其平衡位置附近作微振動(dòng)，而且由于晶體內(nèi)原子間存在相互作用力，因此各個(gè)原子的振動(dòng)不是孤立的，而是相互聯(lián)系的。整個(gè)晶格可以看作是一個(gè)互相耦合的振動(dòng)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)通常稱為晶格振動(dòng)。晶格振動(dòng)不僅對(duì)晶體的比熱、熱傳導(dǎo)、熱膨脹有影響，而且和晶體的電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、介電性質(zhì)也有密切聯(lián)系。利用晶格振動(dòng)理論可對(duì)它們進(jìn)行統(tǒng)一描述。1前言固體中熱現(xiàn)象研究能量守恒定律熱的本質(zhì)：大量微觀粒子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的宏觀表現(xiàn)。氣體熱能量的定量計(jì)算氣體的內(nèi)能就是氣體分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)體現(xiàn)的熱能量。固體熱能量：位置固定，晶格振動(dòng)。原子振動(dòng)對(duì)固體比熱容的貢獻(xiàn)是主要來源。其次金屬中的電子在接近0k時(shí)有重要作用，鐵磁體中的自旋波對(duì)比熱容也有影響。2愛因斯坦：固體比熱容理論，將n個(gè)原子的振動(dòng)簡(jiǎn)化為3n個(gè)諧振子，量子化假設(shè)，得到了比熱容溫度公式。玻恩和卡門：原子振動(dòng)以晶格波的形式存在，創(chuàng)立了晶格動(dòng)力學(xué)。德拜：簡(jiǎn)化了上述理論。晶格動(dòng)力學(xué)被應(yīng)用到熱力學(xué)性質(zhì)，熱傳導(dǎo)，電導(dǎo)、介電、光學(xué)和X射線衍射等方面。聲子：晶格振動(dòng)波的能量量子。3晶格動(dòng)力學(xué)原子振動(dòng)具有波料二象性，波動(dòng)形式是晶格振動(dòng)波，是一種機(jī)械波。粒子形式是聲子，不是實(shí)際粒子。晶格振動(dòng)波：一是分析晶體中晶格振動(dòng)的模式數(shù)，二是計(jì)算振動(dòng)波的色散關(guān)系，即波動(dòng)頻率—波數(shù)的關(guān)系。聲子的種類和晶格振動(dòng)波的模式數(shù)一一對(duì)應(yīng)。聲子的能量—?jiǎng)恿筷P(guān)系與晶格振動(dòng)波的色散關(guān)系也是一一對(duì)應(yīng)。4晶格振動(dòng)和聲子波的數(shù)學(xué)形式可以表示為波動(dòng)函數(shù)波動(dòng)函數(shù)形式復(fù)雜，某一種特殊的波，有一些基本的傳輸模式，對(duì)固體中的振動(dòng)模型，可以采用最簡(jiǎn)單的一維單原子鏈的振動(dòng)模型。一維晶體中長(zhǎng)度為a的原胞中只含有一個(gè)質(zhì)量為m的球，它們被彈性系數(shù)為k的彈簧聯(lián)起來，某一個(gè)球隨時(shí)間作縱向振動(dòng)，所有球都會(huì)振動(dòng)。5彈性波（縱波）的振動(dòng)上式是彈性波縱波的公式，ω是圓頻率，

v是波速，ρ是介質(zhì)密度，Y是揚(yáng)氏彈性模量。如果介質(zhì)無窮長(zhǎng)，q可取任意值，如果介質(zhì)有長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則將形成駐波，L=n·λ/2，即1/λ=n/2L。所以q只能取分立值，q=2π/λ=nπ/L。63.1一維單原子鏈（一維布喇菲晶格）1.運(yùn)動(dòng)方程:簡(jiǎn)諧近似下的振動(dòng)（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）71.簡(jiǎn)諧近似8簡(jiǎn)諧近似下的運(yùn)動(dòng)方程9運(yùn)動(dòng)方程的解在簡(jiǎn)諧近似下，一維單原子鏈中原子的振動(dòng)是頻率為的平面波，稱之為格波。10比較（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）利用歐拉公式可將三角函數(shù)表示為e指數(shù)形式。113.1.3晶格振動(dòng)的色散關(guān)系12色散曲線（振動(dòng)頻譜）13波長(zhǎng)不同，但是位移情況相同，即振動(dòng)模式是相同的，14長(zhǎng)波近似此時(shí)波長(zhǎng)比原子間隔大很多,此時(shí)格波可看成是在連續(xù)介質(zhì)中傳播的彈性波15短波當(dāng)q值較大時(shí)，即對(duì)于短波來說，晶體間隔相對(duì)于波長(zhǎng)已不具有連續(xù)性，晶體已不能作為連續(xù)介質(zhì)來處理，則ω是q的正弦函數(shù)．周期為２π/a。163.1.4周期性邊界條件波恩－卡門周期性邊界條件17在由N個(gè)原胞構(gòu)成的一維單原子鏈中，q只能取N個(gè)不同的分立值，這個(gè)數(shù)目等于鏈中含有的原胞數(shù)。18說明晶格的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧波，其波長(zhǎng)由q確定，而q又取決于倒易矢量，每個(gè)倒易矢量都與晶格點(diǎn)陣中的一族晶面垂直，且代表這族晶面的面間距。故q的取值為l×b/n，即l×2π/na時(shí)，意味著格波波長(zhǎng)為na/l，na代表了某方向的晶體的長(zhǎng)度，且格波與晶面垂直?？梢娋w邊長(zhǎng)是格波的l倍，這里采用了波恩-卡門周期性邊界條件。駐波一定要求格波在邊界處為0，相比之下，波恩-卡門周期性邊界條件比駐波的要求更加寬松。19例題例題1：試證明由N個(gè)質(zhì)量為m的相同原子組成的一維單原子晶格鏈，每單位頻率間隔的振動(dòng)模式數(shù)為例題2：已知由N個(gè)相同原子組成的一維單原子鏈，晶格格波為

為格波的