第五章考點平面向量的線性運算

考點21平面向量的線性運算第二章

不等式第1頁，共42頁第2頁，共42頁知識要點1．向量的加法

(1)已知向量a，b，在平面內任取一點A，作＝a，＝b，則向量

叫作a與b的________________，記作________________；

(2)向量加法的幾何意義

三角形法則：已知a，b，作＝a，＝b，則向量叫作a與b的和向量，如圖21-1所示．和向量第3頁，共42頁知識要點

平行四邊形法則：設A為任意一點，＝a，＝b，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則向量為a與b的和向量，如圖21-2所示．第4頁，共42頁知識要點2．向量的減法

(1)向量a加上b的相反向量，叫作a與b的________，即a－b＝a＋(－b).

(2)向量減法的幾何意義

已知向量a，b，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a－b，即差向量為連接兩個向量的終點(這兩個向量具有共同起點)，方向指向為差向量第5頁，共42頁知識要點______________________________，如圖21-3所示．減向量的終點指向被減向量的終點第6頁，共42頁知識要點3．數(shù)乘向量(1)實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作________，它的長度與方向規(guī)定如下：①|λa|＝________；②當λ>0時，λa的方向與a的方向________；當λ<0時，λa的方向與a的方向________；當λ＝0或a＝0時，λa＝________.③向量a與非零向量b共線的充要條件是____________.λa|λ||a|相同相反0a＝λb第7頁，共42頁知識要點(2)運算法則①λ(μa)＝________；②(λ＋μ)a＝________；③λ(a＋b)＝____________.λμaλa＋μaλa＋λb第8頁，共42頁知識要點4．平面向量的坐標運算(1)平面向量的坐標表示

在平面直角坐標系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j，根據(jù)平行四邊形法則，對平面上任一向量a，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，(x，y)叫作向量a在平面直角坐標系xOy中的坐標，記作___________.a＝(x，y)第9頁，共42頁知識要點(2)若O(0，0)，A(x，y)，則＝________.(3)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝________________.(4)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝______________，a－b＝______________.(5)若a＝(x，y)，λ為實數(shù)，則λa＝________．(6)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB的中點坐標為________________.(x，y)(x2－x1，y2－y1)(λx，λy)(x2+x1，y2+y1)(x1－x2，y1－y2)第10頁，共42頁基礎過關1．已知ABCD是正方形，下列關于向量的關系式中，一定成立的是()A．＋＝B．＋＝0C．－＝D．＝C123456【提示】∵＋＝，∴－＝.第11頁，共42頁基礎過關2．已知a＝(0，0)，b＝(1，－2)，且c＝2a－3b，則c等于()A．(－3，6)

B．(3，－6)

C．(－1，2)D．(0，3)A123456【提示】2a－3b＝2(0，0)－3(1，－2)＝(－3，6).第12頁，共42頁基礎過關3．化簡：4(a＋b)－3(a－b)＋3b等于()A．a－2bB．aC．a＋10bD．a－8bC123456【提示】4(a＋b)－3(a－b)＋3b＝a＋10b．第13頁，共42頁基礎過關4．平面向量a＝(3，1)，b＝(－9，x)，且b＝－3a，則x等于()A．3B．－3C．－9D．9B123456第14頁，共42頁基礎過關5．化簡：＋＋＋＋＝________.1234560【提示】＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.第15頁，共42頁基礎過關6．已知M(2，－3)，N(－4，7)兩點，則向量的坐標為________.123456(－6，10)【提示】＝(－4，7)－(2，－3)＝(－6，10).典例剖析例1變1例2例1如圖21-4所示，四邊形ABCD是平行四邊形，O為對角線交點，則－＝________，＋＝________.變2第16頁，共42頁例3變3【思路點撥】可把－轉化為，∵＝，∴可知－即＋.(2)∵＝，∴＋即＋.第17頁，共42頁變式訓練1

如圖21-5所示，ABCDEF為正六邊形，則＋＝______________________，＋＋＝________.典例剖析例1變1例2變2例30變3第18頁，共42頁例2如圖21-6所示，在平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，則等于()A．a－bB．b－aC．a＋bD．－a－b典例剖析例1變1例2變2例3B【思路點撥】可分解為＋，＝＝－.變3第19頁，共42頁典例剖析變式訓練2

已知兩個定點A(2，2)，B(4，4)，且P是A，B兩點連線的中點，O是坐標原點，求||.例1變1例2變2例3解：∵P是線段AB的中點，∴點P的坐標為＝(3，3).又∵點O的坐標為(0，0)，變3第20頁，共42頁典例剖析例1變1例2變2例3∴||＝＝.變3第21頁，共42頁典例剖析例1變1例2變2例3例3

已知A(3，－3)，B(3，6)兩點，＝，則點P的坐標為()A．(3，0)B．(1，5)C．(－1，4)D．(2，1)【思路點撥】設P(a，b)，由已知可得(a，b)－(3，－3)＝[(3，6)－(3，－3)].A變3第22頁，共42頁典例剖析變式訓練3(1)已知a＝(1，2)，b＝(2，3)，實數(shù)x，y滿足xa＋yb＝(3，4)，則x＝________，y＝________；例1變1例2變2例3－12【提示】∵x(1，2)＋y(2，3)＝(3，4)，∴?變3第23頁，共42頁典例剖析(2)已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(－5，－3)，B(3，－1)，C(5，4)，求點D的坐標．例1變1例2變2例3解：設D(x，y).∵＝，∴(3，－1)－(－5，－3)＝(5，4)－(x，y)，∴(x，y)＝(－3，2)，即點D的坐標為(－3，2).變3第24頁，共42頁回顧反思

1．向量的加法、減法的運算關鍵是數(shù)形結合思想，向量是一個幾何量，因此在研究向量時通常要結合圖形，靈活轉換向量的加減法，如把－轉化為.2．向量的坐標運算實質是向量的代數(shù)形式，但共線、垂直等向量關系及模長、中點坐標求解通過數(shù)形結合可理解得更為透徹．一、單項選擇題1．已知a＝，則|a|等于()

A．0B．1C．1或－1D．第25頁，共42頁B目標檢測123456789101112A組B組1312第26頁，共42頁2．在四邊形ABCD中，若＝a，＝b，則等于()A．a＋bB．a－bC．a＋

bD．

a－bD目標檢測123456789101112A組B組1312第27頁，共42頁【提示】設AC與BD相交于點O，則＝＋＝a－

b．目標檢測123456789101112A組B組1312第28頁，共42頁3．已知△ABC的三邊分別為3，4，5，則|＋＋|等于()A．2B．0C．0D．12目標檢測B123456789101112A組【提示】|＋＋|＝|0|＝0.12B組13第29頁，共42頁4．若a＝(x，1)，b＝(－3，y)，且3a＋4b＝(－6，19)，則x，y的值分別為()A．4，2B．－2，4C．2，4D．4，－2C目標檢測123456789101112A組B組1312第30頁，共42頁5．已知向量a＝(1，4)，b＝(3，2),則3a－2b等于()A．(－3，8)B．(3，8)C．(－2，2)D．(3，－8)A【提示】3a－2b＝3(1，4)－2(3，2)＝(3，12)－(6，4)＝(3－6，12－4)＝(－3，8).目標檢測123456789101112A組B組1312第31頁，共42頁6．設點A(2，5)，且B是A關于原點的對稱點，則的坐標是()A．(4，0)B．(－4，0)C．(－4，－10)D．(0，－10)【提示】B(－2，－5)，＝(－2，－5)－(2，5)＝(－4，－10).C目標檢測123456789101112A組B組1312第32頁，共42頁二、填空題7．化簡：(3a－2b)－(9a－6b)＝____________.0目標檢測123456789101112A組B組1312第33頁，共42頁8．如圖所示，已知D是BC邊的三等分點，＝2，－2＝________，－2－＝________.【提示】－2＝＋＝，－2－＝＋＋＝.目標檢測12345678910111212A組B組13第34頁，共42頁9．已知向量a＝(3，4)，則與a同向的單位向量是______．目標檢測123456789101112A組B組1312第35頁，共42頁10．設a＝(1，－1)，3a－2b＝(－1，－3)，則b的坐標為________.【提示】3(1，－1)－2b＝(－1，－3).目標檢測123456789101112A組B組1312(2,0)第36頁，共42頁三、解答題11．如圖所示，已知正方形ABCD對角線交點為O，令＝a，＝b，試用a和b來表示，，，.解：＝＋＝－a＋b，＝＋＝－a－b，＝＋＝a－b，＝＋＝a＋b．目標檢測123456789101112A組B組1312第37頁，共42頁12．已知A(0，1)，B(2，2)，C(1，1)，D(5，3)四點，求：(1)和的坐標；(2)3＋2的坐標．解：(1)＝(2，2)－(0，1)＝(2，1)，＝(5，3)－(1，1)＝(4，2).(2)3＋2＝3(1，0)＋2(3，1)＝(9，2).目標檢測123456789101112A組B組1312第38頁，共42頁13．設A(2，1)，B(－1，4)兩點，點P滿足＝2，求點P的坐標．