數(shù)列求和的常用方法

內(nèi)容索引主干梳理基礎(chǔ)落實(shí)題型突破核心探究課時精練ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基礎(chǔ)落實(shí)11.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知識梳理2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式3.一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝_________.(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝

.(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝

.(4)12＋22＋…＋n2＝

.n2n(n＋1)4.數(shù)列求和的常用方法(1)公式法等差、等比數(shù)列或可化為等差、等比數(shù)列的可直接使用公式求和.(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.(3)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).常見的裂項(xiàng)公式(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.(5)錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.(6)并項(xiàng)求和法一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn＝

.(

)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得.(

)√×基礎(chǔ)自測√題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(5)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(

)(6)如果數(shù)列{an}是周期為k的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk(m，k為大于1的正整數(shù)).(

)×√√題組二教材改編2.一個球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時，經(jīng)過的路程是A.100＋200(1－2－9) B.100＋100(1－2－9)C.200(1－2－9) D.100(1－2－9)√解析第10次著地時，經(jīng)過的路程為100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200(1－2－9).3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，當(dāng)n≥2時，an＋2Sn－1＝n，則S2021等于A.1011

B.1008

C.1009

D.1010√解析由an＋2Sn－1＝n得an＋1＋2Sn＝n＋1，兩式相減得an＋1－an＋2an＝1?an＋1＋an＝1?S2021＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2018＋a2019)＋(a2020＋a2021)＝1010×1＋1＝1011.4.1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝______________(x≠0且x≠1).解析設(shè)Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，

①則xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，

②①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn題組三易錯自糾5.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n－1·(4n－3)，則它的前100項(xiàng)之和S100等于A.200

B.－200

C.400

D.－400解析S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.√6.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝ncos

，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2024＝_______.1012解析因?yàn)閿?shù)列an＝ncos

呈周期性變化，觀察此數(shù)列規(guī)律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.又a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，故a5＋a6＋a7＋a8＝2，所以周期T＝4.TIXINGTUPOHEXINTANJIU2題型突破核心探究題型一

分組轉(zhuǎn)化法求和第1課時數(shù)列求和的常用方法例1

(2020·紹興模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝

，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1；a1也滿足an＝n，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n(n∈N*).(2)設(shè)bn＝

＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和.解由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.本例(2)中，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.引申探究解由(1)知bn＝2n＋(－1)nn.當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和.(2)通項(xiàng)公式為an＝

的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和.提醒：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2020·溫州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2，2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，nbn＋1＝anbn.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；解由2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，

①可得2Sn＋1＝(n＋2)2an＋1－(n＋1)2an＋2，

②②－①得2an＋1＝2(n2＋2n＋2)an＋1－(n＋1)2an＋2－(n＋1)2an，所以2(n＋1)2an＋1＝(n＋1)2an＋2＋(n＋1)2an，化簡得2an＋1＝an＋2＋an，所以{an}是等差數(shù)列.由2S1＝(1＋1)2a1－a2可得a2＝4，所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，故an＝2＋2(n－1)＝2n.故bn＝2×2n－1＝2n.(2)若數(shù)列{cn}滿足cn＝an＋bn(n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.解因?yàn)閏n＝an＋bn＝2n＋2n，所以Tn＝(2＋2)＋(4＋22)＋(6＋23)＋…＋(2n＋2n)＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝n2＋n＋2n＋1－2.題型二

錯位相減法求和師生共研例2

已知數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列，且a2＋a4＝90，a3＝27.在數(shù)列{bn}中，b1＝1，bn＋1＝

(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；解設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>1)，故an＝3×3n－1＝3n.所以Tn＝1×3＋2×32＋…＋n×3n，則3Tn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n＋n×3n＋1.錯位相減法求和時的注意點(diǎn)(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2020·杭州質(zhì)檢)已知各項(xiàng)均大于零的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝

＋an.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；又由題設(shè)知an＋an－1>0，所以an－an－1＝1，故數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，又a1＝1，所以an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)設(shè)bn＝

，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Hn，求使得Hn＋n·2n＋1>50成立的最小正整數(shù)n.解因?yàn)閎n＝

＝－an·＝－n·2n，所以Hn＝－(1×21＋2×22＋…＋n×2n)，則2Hn＝－(22＋2×23＋…＋n×2n＋1).將以上兩式作差化簡可得Hn＝－n·2n＋1＋2n＋1－2，于是，Hn＋n·2n＋1>50，即2n＋1>52，解得n≥5.故最小正整數(shù)n是5.題型三

裂項(xiàng)相消法求和多維探究例3

(2020·金麗衢十二校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，等比數(shù)列{bn}的公比為2，且anbn＝n·2n.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；解∵anbn＝n·2n，解得a1＝2，b1＝1，∴an＝2＋2(n－1)＝2n，bn＝2n－1.解∵an＝2n，bn＝2n－1，∴Tn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn－1＋cn解析由f(4)＝2，可得4α