2024屆江蘇省淮安市清江中學(xué)等四校數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆江蘇省淮安市清江中學(xué)等四校數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的上下頂點分別為，一束光線從橢圓左焦點射出，經(jīng)過反射后與橢圓交于點，則直線的斜率為（）A. B.C. D.2．橢圓的短軸長為（）A.8 B.2C.4 D.3．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將2至2021這2020個數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項數(shù)為（）A. B.C. D.4．在正四面體中，棱長為2，且E是棱AB中點，則的值為A. B.1C. D.5．已知，則點關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.6．若雙曲線與橢圓有公共焦點，且離心率，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.7．設(shè)、分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為（）A. B.C. D.8．?dāng)€（cuán）尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣或園林式建筑．下圖是一頂圓形攢尖，其屋頂可近似看作一個圓錐，其軸截面（過圓錐軸的截面）是底邊長為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)拿娣e約為（）A. B.C. D.9．如圖，在三棱錐中，，，，點在平面內(nèi)，且，設(shè)異面直線與所成角為，則的最大值為（）A. B.C. D.10．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的值是（）A. B.C. D.11．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程（）A.x2－＝1(x≤－1) B.x2－＝1C.x2－＝1(x1) D.－x2＝112．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓C：與圓D2的公共弦長為，則圓D的半徑為___________.14．如圖所示，高爾頓釘板是一個關(guān)于概率的模型，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間．小球每次下落時，將隨機的向兩邊等概率的落下．當(dāng)有大量的小球都落下時，最終在釘板下面不同位置收集到小球．現(xiàn)有5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率是______15．若橢圓的長軸是短軸的2倍，且經(jīng)過點，則橢圓的離心率為________.16．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為___________尺.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，且在處取得極值.（1）求的值；（2）當(dāng)，求的最小值.18．（12分）茶樹根據(jù)其茶葉產(chǎn)量可分為優(yōu)質(zhì)茶樹和非優(yōu)質(zhì)茶樹，某茶葉種植研究小組選取了甲，乙兩塊試驗田來檢驗?zāi)撤N茶樹在不同的環(huán)境條件下的生長情況．研究人員將100株該種茶樹幼苗在甲，乙兩塊試驗田中進(jìn)行種植，成熟后統(tǒng)計每株茶樹的茶葉產(chǎn)量，將所得數(shù)據(jù)整理如下表所示：優(yōu)質(zhì)茶樹非優(yōu)質(zhì)茶樹甲試驗田a25乙試驗田10b已知甲試驗田優(yōu)質(zhì)茶樹的比例為50%（1）求表中a，b的值；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，是否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩塊試驗田的環(huán)境差異對茶樹的生長有影響？附：，其中．0.100.050.01k2.7063.8416.63519．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值20．（12分）某學(xué)校為了調(diào)查本校學(xué)生在一周內(nèi)零食方面的支出情況，抽出了一個容量為的樣本，分成四組，，，，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出金額在元的學(xué)生有180人.（1）請求出的值；（2）如果采用分層抽樣的方法從，內(nèi)共抽取5人，然后從中選取2人參加學(xué)校的座談會，求在，內(nèi)正好各抽取一人的概率為多少.21．（12分）已知定點，動點滿足，設(shè)點的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）若點分別是圓和軌跡上的點，求兩點間的最大距離.22．（10分）已知直線，以點為圓心的圓C與直線l相切（1）求圓C的標(biāo)方程；（2）過點的直線交圓C于A，B兩點，且，求的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據(jù)給定條件借助橢圓的光學(xué)性質(zhì)求出直線AD的方程，進(jìn)而求出點D的坐標(biāo)計算作答.【題目詳解】依題意，橢圓的上頂點，下頂點，左焦點，右焦點，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，反射光線AD必過右焦點，于是得直線AD的方程為：，由得點，則有，所以直線的斜率為.故選：B2、C【解題分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，進(jìn)而得出短軸長.【題目詳解】由，可得，所以短軸長為.故選：C.3、C【解題分析】由題設(shè)且，應(yīng)用不等式求的范圍，即可確定項數(shù).【題目詳解】由題設(shè)，且，所以，可得且.所以此數(shù)列的項數(shù)為.故選：C4、A【解題分析】根據(jù)題意，由正四面體的性質(zhì)可得：，可得，由E是棱中點，可得，代入，利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出.【題目詳解】如圖所示由正四面體的性質(zhì)可得：可得：是棱中點故選：【題目點撥】本題考查空間向量的線性運算，考查立體幾何中的垂直關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題型.5、C【解題分析】根據(jù)對稱性求得坐標(biāo)即可.【題目詳解】點關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)是，故選：C6、A【解題分析】首先求出橢圓的焦點坐標(biāo)，然后根據(jù)可得雙曲線方程中的的值，然后可得答案.【題目詳解】橢圓焦點坐標(biāo)為所以雙曲線的焦點在軸上，，因為，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A7、A【解題分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義可得出，再利用勾股定理可求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得，所以，，設(shè)，因為，則，由勾股定理得，即，整理得，故.故選：A.8、B【解題分析】由軸截面三角形，根據(jù)已知可得圓錐底面半徑和母線長，然后可解.【題目詳解】軸截面如圖，其中，，所以，所以，所以圓錐的側(cè)面積.故選：B9、D【解題分析】設(shè)線段的中點為，連接，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，證明出平面，然后以點為坐標(biāo)原點，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，且，求出的最大值，利用空間向量法可求得的最大值.【題目詳解】設(shè)線段的中點為，連接，，為的中點，則，，則，，同理可得，，，平面，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為，所以，為等邊三角形，故為的中點，平面，平面，則，，，平面，以點為坐標(biāo)原點，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，則、、、，由于點在平面內(nèi)，可設(shè)，其中，且，從而，因為，則，所以，，故當(dāng)時，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.【題目點撥】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.10、B【解題分析】模擬程序運行后,可得到輸出結(jié)果,利用裂項相消法即可求出答案.【題目詳解】模擬程序運行過程如下:0),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),1),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),2),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),3),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),……9),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),10),判斷為是,故輸出,故選:B.【題目點撥】本題主要考查程序框圖,考查裂項相消法,難度不大.一般遇見程序框圖求輸出結(jié)果時,常模擬程序運行以得到結(jié)論.11、A【解題分析】根據(jù)雙曲線定義求解【題目詳解】,則根據(jù)雙曲線定義知的軌跡為的左半支故選：A第II卷（非選擇題12、D【解題分析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】首先根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到公共弦方程，再根據(jù)弦長求解即可.【題目詳解】根據(jù)得公共弦方程為：.因為公共弦長為，所以直線過圓的圓心.所以，解得.故答案為：14、【解題分析】先研究一個小球從正上方落下的情況，從而可求出一個小球從正上方落下落到2號位置的概率，進(jìn)而可求出5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率【題目詳解】如圖所示，先研究一個小球從正上方落下的情況，11，12，13，14指小球第2層到第3層的線路圖，以此類推，小球所有的路線情況如下：01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16種情況，其中落入2號位置的有4種，所以每個球落入2號位置的概率為，所以5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率為，故答案為：15、【解題分析】分類討論焦點在軸與焦點在軸兩種情況.【題目詳解】因為橢圓經(jīng)過點，當(dāng)焦點在軸時，可知，，所以，所以，當(dāng)焦點在軸時，同理可得.故答案為：16、【解題分析】利用等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差，然后求出其中某一項.【題目詳解】解：由題意得從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，解得故立夏的日影子長為尺.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，則極值點為導(dǎo)函數(shù)的零點，進(jìn)而建立方程組解出a,b，然后討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行驗證，最后確定答案；（2）根據(jù)（1）得到函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最小值.【小問1詳解】，因為在處取得極值，所以，則，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，故為函數(shù)的極值點.于是.【小問2詳解】結(jié)合（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，所以.因為，所以.綜上：的最小值為.18、（1）；（2）有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩塊試驗田的環(huán)境差異對茶樹的生長有影響【解題分析】（1）根據(jù)即可求出，從而可得到；（2）根據(jù)獨立性檢驗的基本思想求出的觀測值，與6.635比較，即可判斷【小問1詳解】甲試驗田優(yōu)質(zhì)茶樹比例為50%，即，解得【小問2詳解】，因為，故有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩塊試驗田的環(huán)境差異對茶樹的生長有影響19、（1）+1；（2）單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間是和，極大值為，極小值為【解題分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率，求出后利用點斜式即可得解；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后，解一元二次不等式分別求出、時的取值范圍即可得解.【題目詳解】（1）因為，所以，∴切線方程為，即+1；（2），所以當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和，極大值為，極小值為20、（1）；（2）.【解題分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出[50，60]的頻率，180除以該頻率即為n的值；(2)將的樣本編號為a、b，將的樣本編號為A、B、C，利用列舉法即可求概率.【小問1詳解】由于支出金額在的頻率為，∴.【小問2詳解】采用分層抽樣抽取的的人數(shù)比應(yīng)為2：3，∴5人中有2人零食支出位于，記為、；有3人零食支出在，記為A、B、C.從這5人中選取2人有，，，，，，，，，，共10種情況；其中內(nèi)正好各抽取一人有，，，，，，共6種情況.∴在內(nèi)正好各抽取一人的概率為.21、（1）（2）【解題分析】（1）設(shè)動點,根據(jù)條件列出方程，化簡求解即可；（2）設(shè)，求出圓心到軌跡上點的距離，配方求最值即可得解.【小問1