初中數(shù)學(xué)滬科版八年級下冊四邊形19．2平行四邊形“十市聯(lián)賽”一等獎

中物理滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊第19章四邊形19.2.2三角形的中位線及平行線等分線段定理知識回顧ABDCO平行四邊形的對邊平行平行四邊形的對角相等，且相等.鄰角互補.平行四邊形的對角線互相平分對角線的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)共有哪些？邊的性質(zhì)角的性質(zhì)□ABCD(1)AB∥CD，BC∥AD(2)AB∥CD，AB=CD(4)∠A=∠C，∠B=∠D(5)AO=OC，BO=OD(3)AB=CD，BC=ADABCDO平行四邊形的判定方法知識回顧從邊考慮兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形從角考慮從對角線考慮平行四邊形的判定方法兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

(平行四邊形的定義)(判定定理1)（定義拓展）(判定定理3)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(判定定理2)判定平行四邊形的證明思路：已知一組對邊相等②證明另一組對邊也相等①證明這組對邊平行已知一組對邊平行②證明這組對邊相等①證明另一組對邊也平行已知一組對角相等證明另一組對角也相等已知對角線相交證明對角線互相平分證明思路

例6

已知，直線l1、l2、l3互相平行，直線AC和直線A1C1分別交直線l1、l2、l3于點A、B、C和點A1、B1、C1，且AB=BC.求證：A1B1=B1C1.探究新知平行線等分線段定理l1l2l3ABCA1B1C1EF證明：過點B1作EF∥AC，分別交直線l1、l3于點E、F.∴四邊形ABB1E和四邊形BCFB1都是平行四邊形∴

AB=EB1，∵AB=BC∴EB1=B1F∵

l1∥l3∴△A1B1E≌△C1B1F∴A1B1=B1C1∴∠A1EB1=∠C1FB1在△A1B1E和△C1B1F中∵∠A1B1E=∠C1FB1EB1=FB1∠A1EB1=∠B1FC1(ASA)BC=B1Fl1l2l3ABCA1B1C1EFl1l2l3ABCA1B1C1由此得到如下結(jié)論：那么在其他直線上截得的線段也相等.平行線等分線段定理推論：經(jīng)過三角形一邊中點

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，平行線等分線段定理與另一邊平行的直線必平分第三邊.對應(yīng)練習(xí)1、如圖，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，A1B1=B1C1=C1D1=D1E1，則A2B2=

=

=

，A2C2=

=

.l1l2l3A1B1C1l4l5D1E1A2B2C2D2E2B2C2C2D2D2E2B2D2C2E2對應(yīng)練習(xí)2、如圖，F(xiàn)是AB的中點，F(xiàn)G∥BC，EG∥CD，則AG=

，AE=

.GCEDABCFDEG探究新知

三角形中，連接一個

和它

的

叫做.

線段DE是三角形的什么呢？

它就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的三角形的中位線.頂點對邊中點線段三角形的中線ABCFED中點中點中點什么叫三角形的中線？三角形的中位線概念學(xué)習(xí)2、一個三角形有幾條中位線？1、你能給“三角形中位線”下個定義嗎？ABCFED中點中點中點連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.一個三角形有三條中位線3、三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？答：中線中位線是連接三角形是連接兩邊中點的線段.一個頂點和它的對邊中點的線段.理解定義ABCED中點中點連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.∵

AE=CE∴

DE是△ABC的中位線【幾何語言】AD=BD，反過來∴AD=BD，∵DE是△ABC的中位線AE=CE觀察猜想在△ABC中，中位線DE和邊BC什么關(guān)系?DE和邊BC關(guān)系數(shù)量關(guān)系:位置關(guān)系:DE=

ABCED12DE∥BCBC

三角形猜想：你能證明嗎？并且等于等三邊的一半兩邊中點的連線平行于第三邊，ABCED(E′)證明：由例6知，點E′與點E重合.同理，過點D作DF∥AC交BC于點F∴

四邊形DFCE是平行四邊形∴

DE//BC∴DE=FC=BC過點D作DE′∥BC交AC于點E′.

則點F為BC的中點.F驗證猜想求證：已知：如圖，點D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點.DE=

12DE∥BC，BC

且驗證猜想求證：已知：如圖，點D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點.DE=

12DE∥BC，BC

且ABCED連結(jié)CF.證明：延長DE到F，使EF=DE，F(xiàn)在△ADE和△CFE中∵AE=CE∠AED=∠CEFDE＝EF∴△ADE≌△CFE(SAS)∵點D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點∴

AE=CE，∴AD=CF，∠ADE=∠F∴BDCF

∴四邊形BCFD是平行四邊形∴

DFBC

又∵

DE=

12DF∴

DE∥BC，

且DE=

BC12∴BD=CF，AB∥CFAD=BD證明：延長DE到F，使連接AF,CF,DC.∵

AE=CE，∴四邊形ADCF是平行四邊形∴四邊形BCFD是平行四邊形ABCEDF求證：已知：如圖，點D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點.DE=

12DE∥BC，BC

且驗證猜想EF=DE∴ADCF

∴BDCF

∴DFBC

又∵

DE=

12DF∴

DE∥BC，

且DE=

BC12DE=EF

驗證猜想求證：已知：如圖，點D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點.DE=

12DE∥BC，BC

且ABCED證明：過點C作CF∥AB，F(xiàn)在△ADE和△CFE中∵∠AED=∠CEFAE=CE∠A=∠ECF∴△ADE≌△CFE(ASA)交DE延長線于點F∴AD=CF∴BDCF

∴四邊形BCFD是平行四邊形∴

DFBC

又∵

DE=

12DF∴

DE∥BC，

且DE=

BC12∴BD=CF則

∠A=∠ECF(數(shù)量關(guān)系)(位置關(guān)系)主要用途：(2)證明一條線段是另一條線段的2倍或三角形并且等于等三邊的一半兩邊中點的連線平行于第三邊，歸納總結(jié)三角形中位線定理∵

DE是△ABC的中位線∴

DE∥BC，【幾何語言】(或AD=BD，AE=CE)且DE=

BC12(1)證明兩條線段平行12ABCED1、如圖，在ABCD中，AC與BD相交于點O，點E是邊AB的中點，且AD=10cm，則OE的長是

.5cm對應(yīng)練習(xí)BCADOE原三角形面積的.2、如圖，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，若△ABC的面積為20cm2，則△DEF的面積

.對應(yīng)練習(xí)ABCFED5cm2因而每個小三角形的面積為方法技巧：三角形的三條中位線把原三角形分成了4個全等的小三角形，143、如圖，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，若△ABC的周長為10cm，求△DEF的周長？對應(yīng)練習(xí)ABCFED解：∵

D，E分別是AB、AC的中點

∴DE是△ABC的中位線DE=

BC12∴同理可得DF=

AC，21EF=

AB12∴△DEF的周長為DE+DF+EF=BC12+AC12+AB12(BC+AC+AB)12=5(cm)=

每個小三角形的面積為每個小三角形的周長為方法技巧：三角形的三條中位線把原三角形分成了4個全等的小三角形，原三角形周長的，12原三角形面積的.14CABDFEGHI

變式練習(xí)：如下圖，D、E、F、G、H、I都是各自所在線段的中點，若△GHI的周長是5cm,則△ABC的周長是

cm.204、如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點，G為對角線BD的中點.求證：△EFG是等腰三角形.DCBGAFE∴

△EFG是等腰三角形.對應(yīng)練習(xí)證明：∵

在△ABD中,E，G分別是邊AB，BD的中點GE=

AD12∴同理可得FG=

BC21又∵

AD=BC∴GE=FG5、如圖,在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，CD，AC，BD的中點.求證：四邊形EGFH是平行四邊形.DCBGAFHE∴

四邊形GFHE是平行四邊形證明：∵

在△ADC中，F(xiàn)，G分別是邊DC，AC的中點FG∥AD

∴同理可得HE∥AD，

FH∥BC，

GE∥BC

∴

FG∥HE，F(xiàn)H∥GE（平行于同一條直線的兩直線平行)6、已知：如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.ABCDEFGH證明：∵

在△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點同理可得∴

四邊形EFGH是平行四邊形①有中點連線而無三角形，要作輔助線產(chǎn)生三角形②有三角形而無中位線，要連結(jié)兩邊中點得中位線方法技巧：連接AC

順次連接四邊形各邊中點的線段組成一個平行四邊形1、

如圖：如果AD=AC，AE=AB，DE=2cm，那么BC=

cm.ABDCEHG8鞏固練習(xí)2、在△ABC中，E、F、G、H分別為AC、CD、BD、AB的中點，若AD=3，BC=8，則四邊形EFGH的周長是

.ABDCEFGH11鞏固練習(xí)3、已知：點E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線上一點，且CE=DC，連結(jié)AE，分別交BC、BD于點F、G，連接AC交BD于O，連結(jié)OF.求證:AB=2OFADBCEGFO

且題中出現(xiàn)中點時，注意：由于三角形的中位線等于三角形第三邊的一半，因此，需要證明某一線段是另一線段的一半或兩倍，?？紤]三角形中位線定理.

已知：如圖，△ABC是銳角三角形。分別以AB，AC為邊向外側(cè)作