第三節(jié) 曲面方程

第三節(jié)曲面方程第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡(jiǎn)得即說明:動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程.

第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個(gè)基本問題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四故所求方程為例1.

求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:

設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例2.

研究方程解:配方得可見此方程表示一個(gè)球面說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡.第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四定義2.一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)曲線稱為此旋轉(zhuǎn)曲面的母線。例如:第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四建立yOz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yOz

面上曲線

C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例3.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z

軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yOz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例4.求坐標(biāo)面zOx

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四三、柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在

xOy面上，表示圓C,沿圓周C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四定義3.平行定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xOy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線xOz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線xOy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線yOz面上的曲線l2.母線第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四四、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四1.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線.①第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四2.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b

時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c

時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四虛軸平行于x軸）時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓雙曲線P18第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四4.拋物面(1)橢圓拋物面(2)雙曲拋物面（馬鞍面）特別,當(dāng)a=b時(shí)為繞

z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.第二十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y

軸的直線平行于yOz面的平面圓心在(0,0)半徑為3