第七章 時(shí)變電磁場(chǎng)

第七章時(shí)變電磁場(chǎng)第一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四通過(guò)位移電流的引入，導(dǎo)出全電流定律，說(shuō)明時(shí)變電場(chǎng)可以產(chǎn)生時(shí)變磁場(chǎng)。詳細(xì)講解麥克斯韋方程的積分形式和微分形式，說(shuō)明時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋有散的，時(shí)變電場(chǎng)的方向與時(shí)變磁場(chǎng)的方向處處相互垂直，以及麥克斯韋對(duì)于人類(lèi)文明和進(jìn)步的偉大貢獻(xiàn)。重點(diǎn)和難點(diǎn)講解時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件時(shí)，應(yīng)與靜態(tài)場(chǎng)進(jìn)行比較，尤其要介紹理想導(dǎo)電體的邊界條件。第二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四講解位函數(shù)時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)羅倫茲條件的重要性。詳細(xì)講解位函數(shù)解的物理意義，強(qiáng)調(diào)沒(méi)有滯后效應(yīng)就不可能有輻射。指出位函數(shù)的積分解僅適用于均勻線性各向同性的介質(zhì)。

能量密度容易理解，著重講解能流密度矢量。時(shí)變電磁場(chǎng)的惟一性定理證明可以略去，但是其物理意義及其重要性必須介紹。第三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)于復(fù)能流密度矢量，應(yīng)著重介紹其實(shí)部和虛部的物理意義，以及電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的相位差對(duì)于復(fù)能流密度矢量的影響講解正弦電磁場(chǎng)的復(fù)矢量表示方法時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)僅適用于頻率相同的場(chǎng)量之間的運(yùn)算。此外，還應(yīng)指出該教材使用的時(shí)間因子是，而不是。同時(shí)指出使用不同的時(shí)間因子，將導(dǎo)致麥克斯韋方程的形式不同。第四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四1.位移電流位移電流不是電荷的運(yùn)動(dòng)，而是一種人為定義的概念。對(duì)于靜態(tài)場(chǎng)，因，由此導(dǎo)出電流連續(xù)性原理電荷守恒定律：

第五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四上式中的具有電流密度量綱。將代入，得

對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)，因，不可能根據(jù)電荷守恒定律推出電流連續(xù)性原理。位移電流電流連續(xù)是客觀存在的物理現(xiàn)象，例如真空電容器中的電流。第六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四麥克斯韋將稱(chēng)為位移電流密度，以Jd

表示，即求得上式稱(chēng)為全電流連續(xù)性原理。它包括了傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流及位移電流。位移電流密度是電通密度的時(shí)間變化率，或者說(shuō)是電場(chǎng)的時(shí)間變化率。第七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)于靜電場(chǎng)，由于，自然不存在位移電流。對(duì)于時(shí)變電場(chǎng)，電場(chǎng)變化越快，產(chǎn)生的位移電流密度也越大。在良導(dǎo)體中已知傳導(dǎo)電流密度，因此在電導(dǎo)率較低的介質(zhì)中

麥克斯韋認(rèn)為位移電流也可產(chǎn)生磁場(chǎng)，因此前述安培環(huán)路定律變?yōu)?/p>

動(dòng)畫(huà)第八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四即上兩式稱(chēng)為全電流定律。它表明時(shí)變磁場(chǎng)是由傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流以及位移電流共同產(chǎn)生的。位移電流是由時(shí)變電場(chǎng)形成的，由此可見(jiàn)，時(shí)變電場(chǎng)可以產(chǎn)生時(shí)變磁場(chǎng)。電磁感應(yīng)定律表明，時(shí)變磁場(chǎng)可以產(chǎn)生時(shí)變電場(chǎng)。因此，麥克斯韋引入位移電流以后，預(yù)見(jiàn)時(shí)變電場(chǎng)與時(shí)變磁場(chǎng)相互轉(zhuǎn)化的特性可能會(huì)在空間形成電磁波。第九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.麥克斯韋方程

靜態(tài)場(chǎng)中的高斯定律及磁通連續(xù)性原理對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)仍然成立。那么，對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)，麥克斯韋歸納為如下4個(gè)方程：積分形式微分形式全電流定律電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理高斯定律第十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四時(shí)變電場(chǎng)是有旋有散的，時(shí)變磁場(chǎng)是有旋無(wú)散的。但是，時(shí)變電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)與磁場(chǎng)是不可分割的，因此，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋有散場(chǎng)。在無(wú)源區(qū)中，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋無(wú)散的。積分形式微分形式第十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四電場(chǎng)線與磁場(chǎng)線相互交鏈，自行閉合，從而在空間形成電磁波。時(shí)變電場(chǎng)與時(shí)變磁場(chǎng)處處相互垂直。為了完整地描述時(shí)變電磁場(chǎng)的特性，麥克斯韋方程還應(yīng)包括電荷守恒方程以及說(shuō)明場(chǎng)與介質(zhì)關(guān)系的方程，即式中代表電流源或非電的外源。第十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四麥克斯韋方程組中各個(gè)方程不是完全獨(dú)立的。可以由第①、②方程導(dǎo)出第③、④方程，或反之。

對(duì)于靜態(tài)場(chǎng)，則

那么，上述麥克斯韋方程變?yōu)殪o電場(chǎng)方程和恒定磁場(chǎng)方程，電場(chǎng)與磁場(chǎng)不再相關(guān)，彼此獨(dú)立。

①④③②第十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

“在簡(jiǎn)單的形式下隱藏著深?yuàn)W的內(nèi)容，這些內(nèi)容只有仔細(xì)的研究才能顯示出來(lái)，方程是表示場(chǎng)的結(jié)構(gòu)的定律。它不像牛頓定律那樣，把此處發(fā)生的事件與彼處的條件聯(lián)系起來(lái)，而是把此處的現(xiàn)在的場(chǎng)只與最鄰近的剛過(guò)去的場(chǎng)發(fā)生聯(lián)系。”

愛(ài)因斯坦（1879–1955）對(duì)于麥克斯韋方程的評(píng)述：“這個(gè)方程的提出是牛頓時(shí)代以來(lái)物理學(xué)上的一個(gè)重要事件，它是關(guān)于場(chǎng)的定量數(shù)學(xué)描述，方程所包含的意義比我們指出的要豐富得多。”

“假使我們已知此處的現(xiàn)在所發(fā)生的事件，藉助這些方程便可預(yù)測(cè)在空間稍微遠(yuǎn)一些，在時(shí)間上稍微遲一些所發(fā)生的事件。”第十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四麥克斯韋方程除了對(duì)于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展具有重大意義外，對(duì)于人類(lèi)歷史的進(jìn)程也起了重要作用。正如美國(guó)著名的物理學(xué)家弗曼所述：“從人類(lèi)歷史的漫長(zhǎng)遠(yuǎn)景來(lái)看──即使過(guò)一萬(wàn)年之后回頭來(lái)看──毫無(wú)疑問(wèn)，在19世紀(jì)中發(fā)生的最有意義的事件將判定是麥克斯韋對(duì)于電磁定律的發(fā)現(xiàn)，與這一重大科學(xué)事件相比之下，同一個(gè)十年中發(fā)生的美國(guó)內(nèi)戰(zhàn)（1861–1865）將會(huì)降低為一個(gè)地區(qū)性瑣事而黯然失色”。第十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四處于信息時(shí)代的今天，從嬰兒監(jiān)控器到各種遙控設(shè)備、從雷達(dá)到微波爐、從地面廣播電視到太空衛(wèi)星廣播電視、從地面移動(dòng)通信到宇宙星際通信、從室外無(wú)線廣域網(wǎng)到室內(nèi)藍(lán)牙技術(shù)、以及全球衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)等，無(wú)不利用電磁波作為信息載體。無(wú)線信息高速公路使人們能在任何地點(diǎn)、任何時(shí)間同任何人取得聯(lián)系。

如此廣泛的應(yīng)用說(shuō)明了麥克斯韋和赫茲對(duì)于人類(lèi)文明和進(jìn)步的偉大貢獻(xiàn)。目前中國(guó)已有5億多移動(dòng)通信用戶，一億多因特網(wǎng)用戶。

第十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件

①在任何邊界上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，即

或?qū)懗墒噶啃问?/p>

因?yàn)橹灰磐芏鹊臅r(shí)間變化率是有限的，那么由電磁感應(yīng)定律的積分形式即可獲得上面結(jié)果。對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，得①②en第十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

②在任何邊界上，磁通密度的法向分量是連續(xù)的，或?qū)懗墒噶啃问?/p>

③電通密度的法向分量邊界條件與介質(zhì)特性有關(guān)。

在一般情況下，由高斯定律求得

或?qū)懗墒噶啃问?/p>

式中,S為邊界表面上自由電荷的面密度。對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，得上式由磁通連續(xù)性原理求得。

即第十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

兩種理想介質(zhì)的邊界上不可能存在表面自由電荷，因此④

磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量邊界條件也與介質(zhì)特性有關(guān)。在一般情況下，由于邊界上不可能存在表面電流，根據(jù)全電流定律，只要電通密度的時(shí)間變化率是有限的，可得或?qū)懗墒噶啃问?/p>

對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，得第十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

在理想導(dǎo)電體表面上可以形成表面電流，此時(shí)磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量不再連續(xù)。在理想導(dǎo)電體內(nèi)部不可能存在時(shí)變電磁場(chǎng)及時(shí)變的傳導(dǎo)電流，它們只可能分布在理想導(dǎo)電體的表面。E(t),B(t),J(t)

=0E≠0J=EH≠0E≠0J≠0H≠0第二十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四已知在任何邊界上，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量及磁通密度的法向分量是連續(xù)的，因此理想導(dǎo)體表面上不可能存在電場(chǎng)切向分量及磁場(chǎng)法向分量，即時(shí)變電場(chǎng)必須垂直于理想導(dǎo)電體的表面，而時(shí)變磁場(chǎng)必須與其表面相切。EH,

enet①②第二十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四因，由前式得

或由于理想導(dǎo)電體表面存在表面電流JS

，令表面電流密度的方向與積分回路構(gòu)成右旋關(guān)系，因，求得或EH,

enet①②H1tH2tJS第二十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例已知內(nèi)截面為ab

的矩形金屬波導(dǎo)中的時(shí)變電磁場(chǎng)的各分量為

其坐標(biāo)如圖所示。試求波導(dǎo)中的位移電流分布和波導(dǎo)內(nèi)壁上的電荷及電流分布。波導(dǎo)內(nèi)部為真空。

azyxb第二十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四解

①由前式求得位移電流為

②在y=0的內(nèi)壁上

在y=b

的內(nèi)壁上

azyxb第二十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四在x=0

的側(cè)壁上，

在x=a

的側(cè)壁上，在x=0及x=a

的側(cè)壁上，因，所以。zyx內(nèi)壁電流第二十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四4.標(biāo)量位與矢量位

設(shè)介質(zhì)是線性均勻且各向同性的，那么由麥克斯韋方程可得利用矢量恒等式，同時(shí)考慮到及 ，那么上述兩式變?yōu)?/p>

場(chǎng)與源的關(guān)系比較復(fù)雜。第二十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四式中，A稱(chēng)為矢量位。將上式代入式中，得已知，因此B可以表示為矢量場(chǎng)A

的旋度。引入標(biāo)量位與矢量位作為兩個(gè)輔助函數(shù),可以簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)的求解。

即第二十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四上式又可改寫(xiě)為可見(jiàn)，矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)。因此可以表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)

的梯度，式中

稱(chēng)為標(biāo)量位。當(dāng)A

與時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí)因此，標(biāo)量位

–標(biāo)量電位；矢量位A

–矢量磁位。即求得第二十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四將位函數(shù)代入麥克斯韋方程，求得

再利用矢量恒等式，上兩式又可表示為第二十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四已定義了矢量場(chǎng)A的旋度，，必須再規(guī)定其散度。則前兩式可以簡(jiǎn)化為洛倫茲條件為了簡(jiǎn)化計(jì)算，令僅與電荷

有關(guān)僅與電流

J有關(guān)原來(lái)兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的方程變?yōu)閮蓚€(gè)獨(dú)立方程。第三十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四原來(lái)電磁場(chǎng)的矢量方程為在三維空間中僅需求解4個(gè)坐標(biāo)分量。位函數(shù)方程為一個(gè)矢量方程和一個(gè)標(biāo)量方程在直角坐標(biāo)系中，實(shí)際上等于求解1個(gè)標(biāo)量方程。在三維空間中需要求解6個(gè)坐標(biāo)分量。第三十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四根據(jù)靜態(tài)場(chǎng)結(jié)果，采用類(lèi)比方法推出其解。5.位函數(shù)方程的求解當(dāng)時(shí)變點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其場(chǎng)分布與

及無(wú)關(guān)。那么，在除坐標(biāo)原點(diǎn)以外整個(gè)無(wú)源空間，位函數(shù)滿足的方程式為先求解時(shí)變點(diǎn)電荷的矢量位，再利用疊加原理導(dǎo)出分布的時(shí)變體電荷的矢量位。式中rzyx(r,t)O第三十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四上式為函數(shù)(r)的齊次波動(dòng)方程，其通解為式中的第二項(xiàng)不符合實(shí)際的物理?xiàng)l件，應(yīng)該舍去。因此，求得位于原點(diǎn)的時(shí)變點(diǎn)電荷產(chǎn)生的標(biāo)量電位為已知位于原點(diǎn)的靜止點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位為可見(jiàn)函數(shù)f1

為第三十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四因此位于原點(diǎn)的時(shí)變點(diǎn)電荷的標(biāo)量位為式中r

為體元dV

至場(chǎng)點(diǎn)的距離。

位于V

中的體電荷在r

處產(chǎn)生的電位為r'rzyx(r,t)V'dV'r'-rO第三十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四將矢量位方程在直角坐標(biāo)系中展開(kāi)，則矢量位A各個(gè)分量均滿足結(jié)構(gòu)相同的非齊次標(biāo)量波動(dòng)方程式，每個(gè)分量的解結(jié)構(gòu)同前。三個(gè)分量合成后，矢量位A的解為式中，V'為電流J的分布區(qū)域。即第三十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

空間某點(diǎn)在時(shí)刻t

產(chǎn)生的位必須根據(jù)時(shí)刻的源分布進(jìn)行求積。這就表明，位于r處的源產(chǎn)生的場(chǎng)傳到r

處需要一段時(shí)間，這段時(shí)差就是。

為源點(diǎn)至場(chǎng)點(diǎn)的距離，因此v

代表電磁波的傳播速度。第三十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四由可見(jiàn)，電磁波的傳播速度與介質(zhì)特性有關(guān)。這就是光速，通常以c表示。

若某一時(shí)刻源已消失，只要前一時(shí)刻源還存在，它們?cè)瓉?lái)產(chǎn)生的空間場(chǎng)仍然存在，這就表明源已將電磁能量釋放到空間，這種現(xiàn)象稱(chēng)為電磁輻射。在真空中靜止電荷或恒定電流一旦消失，它們產(chǎn)生的場(chǎng)也隨之失去，因而靜態(tài)場(chǎng)稱(chēng)為束縛場(chǎng)，沒(méi)有輻射作用。第三十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四源變化越快，空間滯后越大，即使在源附近也有顯著的電磁輻射。所以似穩(wěn)場(chǎng)和輻射場(chǎng)的區(qū)域劃分不僅取決于空間距離，也和源的變化快慢有關(guān)。時(shí)變?cè)吹母浇?，時(shí)差很小，場(chǎng)強(qiáng)的變化基本上與源同步，所以近處的時(shí)變場(chǎng)稱(chēng)為似穩(wěn)場(chǎng)。離開(kāi)時(shí)變?cè)吹倪h(yuǎn)處，由于時(shí)差很大，輻射效應(yīng)顯著，所以遠(yuǎn)處的時(shí)變場(chǎng)稱(chēng)為輻射場(chǎng)。為了向空間輻射電磁能量，必須使用高頻電流激勵(lì)發(fā)射天線，而通常50Hz的交流電不可能有效地輻射電磁能量。第三十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四由于和A

隨時(shí)間的變化總是比源落后，因此，位函數(shù)

及A

通常稱(chēng)為滯后位。前式第二項(xiàng)中的因子意味著場(chǎng)比源導(dǎo)前，這就不符合先有源后有場(chǎng)的因果關(guān)系。那么，它又可理解為向負(fù)

r

方向傳播的波，也就是來(lái)自無(wú)限遠(yuǎn)處的反射波。因子又可寫(xiě)為對(duì)于點(diǎn)電荷所在的無(wú)限大自由空間，這種反射波不可能存在。第三十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四面分布及線分布的電荷及電流產(chǎn)生的標(biāo)量位和矢量位分別如下：注意，上述公式僅可用于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)。第四十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四6.能量密度與能流密度矢量

靜態(tài)場(chǎng)的能量密度公式及損耗功率密度公式可以推廣到時(shí)變電磁場(chǎng)。電場(chǎng)能量密度磁場(chǎng)能量密度損耗功率密度因此，時(shí)變電磁場(chǎng)的能量密度為

對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)第四十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四時(shí)變場(chǎng)的能量密度是空間及時(shí)間的函數(shù)，而且時(shí)變電磁場(chǎng)的能量還會(huì)流動(dòng)。能流密度矢量的方向表示能量流動(dòng)方向，其大小表示單位時(shí)間內(nèi)垂直穿過(guò)單位面積的能量，或者說(shuō)垂直穿過(guò)單位面積的功率，所以該矢量又稱(chēng)為功率流密度矢量。能量流動(dòng)密度矢量在英美書(shū)刊中稱(chēng)為坡印廷矢量，在俄羅斯書(shū)刊中稱(chēng)為烏莫夫矢量。為了衡量時(shí)變場(chǎng)的能量流動(dòng)的方向及強(qiáng)度，引入能量流動(dòng)密度矢量，或簡(jiǎn)稱(chēng)為能流密度矢量。第四十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四利用矢量恒等式，將上式代入，整理后求得,,E,HV

在無(wú)外源

()

的區(qū)域V

中，若介質(zhì)是線性且各向同性的，則此區(qū)域中麥克斯韋方程為第四十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四將上式兩邊對(duì)區(qū)域V

求積，得

考慮到，那么根據(jù)能量密度的定義，上式又可表示為該式稱(chēng)為時(shí)變電磁場(chǎng)的能量定理。第四十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

矢量()代表垂直穿過(guò)單位面積的功率，因此，就是前述的能流密度矢量S

，單位為W/m2，,,E,HS即SEH可見(jiàn)，，。又知，因此，S，E及H

三者相互垂直，且由E

至H與

S

構(gòu)成右旋關(guān)系。第四十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四能流密度矢量的瞬時(shí)值為可見(jiàn)，能流密度矢量的瞬時(shí)值等于電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值的乘積。只有當(dāng)兩者同時(shí)達(dá)到最大值時(shí)，能流密度才達(dá)到最大。若某一時(shí)刻電場(chǎng)強(qiáng)度或磁場(chǎng)強(qiáng)度為零，則在該時(shí)刻能流密度矢量為零。第四十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四7.時(shí)變電磁場(chǎng)惟一性定理

在閉合面S包圍的區(qū)域

V

中，當(dāng)t=0時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度及磁場(chǎng)強(qiáng)度的初始值給定時(shí)，又在

t>0

的時(shí)間內(nèi)，只要邊界

S

上的電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量給定后，那么在t>0

的任一時(shí)刻，體積V

中任一點(diǎn)的電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程惟一地確定。采用反證法即可證明這個(gè)定理。VSEt(r,t)

或

Ht

(r,t)E(r,0)及H(r,0)E(r,t),H(r,t)第四十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四8.正弦電磁場(chǎng)

正弦電磁場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向與時(shí)間無(wú)關(guān)，但其大小隨時(shí)間的變化規(guī)律為正弦函數(shù)，式中，Em(r)為正弦時(shí)間函數(shù)的振幅；

為角頻率；e(r)為正弦函數(shù)的初始相位。任一周期性或非周期性的時(shí)間函數(shù)在一定條件下均可分解為很多正弦函數(shù)之和。因此，著重討論正弦電磁場(chǎng)是具有實(shí)際意義的。

正弦電磁場(chǎng)又稱(chēng)為時(shí)諧電磁場(chǎng)。即第四十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四已知場(chǎng)的變化落后于源，但是場(chǎng)與源的時(shí)間變化規(guī)律相同，所以正弦電磁場(chǎng)的場(chǎng)和源的頻率相同。對(duì)于頻率相同的正弦量之間的運(yùn)算可以采用復(fù)矢量方法，即僅考慮正弦量的振幅和空間相位

，而略去時(shí)間相位t

。瞬時(shí)矢量和復(fù)矢量的關(guān)系為正弦電磁場(chǎng)是由正弦的時(shí)變電荷與電流產(chǎn)生的。電場(chǎng)強(qiáng)度可用一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的復(fù)矢量表示為第四十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四實(shí)際中使用有效值，以表示有效值，則式中最大值復(fù)矢量和有效值復(fù)矢量的之間的關(guān)系為復(fù)矢量?jī)H為空間函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)。只有頻率相同的正弦量之間才能使用復(fù)矢量的方法進(jìn)行運(yùn)算。第五十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四9.麥克斯韋方程的復(fù)矢量形式

已知正弦電磁場(chǎng)的場(chǎng)與源的頻率相同，因此可用復(fù)矢量形式表示麥克斯韋方程?？紤]到正弦時(shí)間函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為或因此，麥克斯韋第一方程可表示為第五十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四上式對(duì)于任何時(shí)刻均成立，虛部符號(hào)可以消去，即同理可得

上述方程稱(chēng)為麥克斯韋方程的復(fù)矢量形式，式中各量均為有效值。第五十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四瞬時(shí)形式(r,t)復(fù)數(shù)形式(r)例已知某真空區(qū)域中的時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為試求磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量形式。第五十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四解根據(jù)時(shí)變電場(chǎng)瞬時(shí)值，求得其有效值的復(fù)矢量形式為由于電場(chǎng)僅有y分量，且。那么又知第五十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四10.位函數(shù)的復(fù)矢量形式

對(duì)于正弦函數(shù)，時(shí)間滯后因子表現(xiàn)的相位滯后為 。令則第五十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四洛倫茲條件的復(fù)矢量形式正弦電磁場(chǎng)與位函數(shù)的關(guān)系第五十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四11.復(fù)能流密度矢量時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)及磁場(chǎng)能量密度的瞬時(shí)形式為其最大值復(fù)矢量形式為

或者表示為式中，及分別為復(fù)矢量及的共軛值。

第五十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四正弦量的有效值為瞬時(shí)值的均方根值，所以正弦電磁場(chǎng)的能量密度的周期平均值為

即式中E(r)及H(r)

均為有效值。或以最大值表示為或者表示為上式又可寫(xiě)為第五十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四損耗功率密度也可用復(fù)矢量表示。平均值為已知能流密度矢量S的瞬時(shí)值為

其周期平均值為

其最大值為

第五十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四復(fù)能流密度矢量Sc

為式中,及均為有效值。又可用最大值表示為那么，復(fù)能流密度矢量Sc的實(shí)部及虛部分別為可見(jiàn)，復(fù)能流密度矢量的實(shí)部及虛部與電場(chǎng)及磁場(chǎng)的相位密切相關(guān)。平均值第六十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四tttt電場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度當(dāng)