第七章數(shù)值積分

第七章數(shù)值積分第一頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四內(nèi)容提綱（Outline)求積公式的代數(shù)精度插值型求積公式

復(fù)化求積法第二頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

為什么要數(shù)值積分？在微積分里，按Newton-Leibniz公式求定積分要求被積函數(shù)f(x)?有解析表達(dá)式；?

f(x)的原函數(shù)F(x)為初等函數(shù)．Whydowedonumericalintegral?第三頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

問題?f(x)沒有解析表達(dá)式，只有數(shù)表形式e.g.?

f(x)有表達(dá)式，但原函數(shù)不是初等函數(shù)e.g.，它們的原函數(shù)都不是初等函數(shù).x12345f(x)44.5688.5第四頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

求定積分就得通過近似計(jì)算－數(shù)值積分求得積分近似值基本思想是對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行近似，給出數(shù)值積分，同時(shí)考慮近似精度。下面首先給出代數(shù)精確度的概念第五頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四7.1代數(shù)精確度本章討論的是形如的定積分的數(shù)值計(jì)算，其中為權(quán)函數(shù)，要滿足5.4節(jié)中所提的條件.

第六頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四一般把積分區(qū)間n個(gè)點(diǎn){xk}上的函數(shù)值f(xk)加權(quán)Ak的和作為積分I(f)的近似,

即或記

(2)

第七頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四上式中xk，Ak分別稱為求積節(jié)點(diǎn)、求積系數(shù).求積系數(shù)與被積函數(shù)f(x)無關(guān),而與求積節(jié)點(diǎn)、求積區(qū)間、權(quán)函數(shù)有關(guān)．稱公式(2)為n點(diǎn)求積公式，有時(shí)也稱為一個(gè)n點(diǎn)求積公式，為求積公式的誤差．用此公式)求積分近似值的計(jì)算稱為數(shù)值積分或數(shù)值微分．第八頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

構(gòu)造或確定一個(gè)求積公式，要討論解決的問題有

(i)確定求積系數(shù)Ak和求積節(jié)點(diǎn)n；

(ii)求積公式的誤差估計(jì)和收斂性．用什么標(biāo)準(zhǔn)來判定兩個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)相同的求積公式的“好”與“差”呢？通常用“代數(shù)精確度”的高低作為求積公式“好”與“差”的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)．在后面的討論中我們將看到，節(jié)點(diǎn)相同的求積公式，代數(shù)精確度越高，求出的積分近似值精確度一般越好．下面給出代數(shù)精確度的定義．第九頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四定義１若對(duì)任意的，求積公式(2)的誤差都滿足，則稱該求積公式具有n次代數(shù)精確度．驗(yàn)證一個(gè)求積公式所具有的代數(shù)精確度用定義１是極不方便的，為此給出另一個(gè)定義．第十頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四定義2若對(duì)函數(shù)，求積公式(2)精確成立，即而，則稱其具有n次代數(shù)精確度．因?yàn)楹瘮?shù)組是的一組基函數(shù)，所以兩個(gè)定義是等價(jià)的，但在具體應(yīng)用時(shí)，定義2比定義1要方便的多．第十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四例１驗(yàn)證求積公式

具有3次代數(shù)精確度．解：當(dāng)而

有第十二頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四（1）當(dāng)

（2）當(dāng)（3）當(dāng)?shù)谑?yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四（1）當(dāng)

故求積公式具有三次代數(shù)精確度．第十四頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四7.2插值型求積公式這一節(jié)所討論的求積公式，都是用在區(qū)間[a,b]上對(duì)被積函數(shù)f(x)作插值所得插值多項(xiàng)式Pn(x)代替被積函數(shù)f(x)導(dǎo)出的公式．這一類求積公式的求積節(jié)點(diǎn)

xk，就是對(duì)f(x)作插值時(shí)的插值節(jié)點(diǎn)，所以這類求積公式稱為插值型求積公式．為簡(jiǎn)便起見，這節(jié)討論節(jié)點(diǎn)分布為等距并且權(quán)函數(shù)時(shí)的插值型求積公式的構(gòu)造等問題．

第十五頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四7.2.1Newton-Cotes求積公式一、公式的推導(dǎo)設(shè)將積分區(qū)間[a,b]n等分，求積節(jié)點(diǎn)為，那么，令x=a+th，則t=(x-a)/h，且由可知．由Lagrange插值基函數(shù)有而，所以第十六頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四將n次Lagrange插值多項(xiàng)式Ln(x)代替被積函數(shù)f(x)得

記稱為Cotes求積系數(shù)．它與(3)式中的求積系數(shù)Ak相差一個(gè)常數(shù)b-a即第十七頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四把Ak代入到(3)式中，得到Newton-Cotes求積公式．例如當(dāng)n=4,5時(shí)，Newton-Cotes公式分別為

n=0,1,2三種情形，在討論(3)式中的余項(xiàng)R(1,f)后再詳細(xì)討論．第十八頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、誤差估計(jì)求積公式(3)計(jì)算出的積分I(f)的近似值In+1(f)的誤差多大？若被積函數(shù)，記，對(duì)n次Lagrange插值余項(xiàng)求積，可得n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes求積公式的誤差估計(jì)式為

(5)第十九頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四驗(yàn)證求積公式(3)的代數(shù)精確度，不用誤差估計(jì)的(4)式，而用直接對(duì)插值余項(xiàng)求積的形式，即(5)由(5)式，顯而易見，當(dāng)時(shí)，因可知，R(1,f)=0，所以我們所n+1點(diǎn)的求積公式(3)至少具有n次的代數(shù)精確度．進(jìn)一步可以證明，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求積公式(3)的代數(shù)精確度可以達(dá)到n+1次．第二十頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、幾種常見的Newton-Cotes求積公式對(duì)n=0,1,2,按公式(3)可以得出下面三種常見的Newton-Cotes求積公式.1.n=0時(shí)的矩形求積公式分別以積分區(qū)間[a,b]的左、右端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，即x=a，b，(a+b)/2為求積節(jié)點(diǎn)得到：左矩形求積公式：右矩形求積公式：中矩形求積公式：三個(gè)求積公式的誤差估計(jì)，可將函數(shù)f(x)分別在處展開到含f(x)的一階導(dǎo)數(shù)的Taylor公式在區(qū)間[a,b]上積分推得．第二十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.n=1時(shí)的梯形求積公式按Cotes系數(shù)公式計(jì)算得故求積系數(shù)A0,A1為 ，梯形求積公式為記(6)式的幾何意義如圖7-2所示（見p327）容易驗(yàn)證公式(6)的代數(shù)精確度的次數(shù)為1.考慮梯形求積公式(6)的誤差估計(jì)R(1,f)．假定時(shí)，用推廣的積分中植定理，將過(a,f(a)),(b,f(b))點(diǎn)的線性插值的余項(xiàng)在[a,b]上積分，可得其中也稱為梯形求公式第二十二頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.n=2時(shí)的Simpson求積公式按Cotes系數(shù)公式可以計(jì)算出為此，，所以

(8)公式(8)稱為Sim