第一節(jié) 映射與函數(shù)

第一節(jié)映射與函數(shù)第一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四高等數(shù)學聯(lián)系地點長春工業(yè)大學基礎學院電子郵件qinxiwen@第二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四

初等數(shù)學研究對象：常量初等方法：有限的方法初等數(shù)學是用有限的方法研究常量的數(shù)學

高等數(shù)學

研究對象：變量（函數(shù)）

研究方法：極限的方法

高等數(shù)學是用極限的方法研究變量的數(shù)學緒第三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四一元微分學一元積分學多元微分學空間解析幾何多元積分學級數(shù)常微分方程高等數(shù)學第四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四第一章函數(shù)與極限第一節(jié)映射與函數(shù)第二節(jié)數(shù)列的極限第三節(jié)函數(shù)的極限第四節(jié)無窮小與無窮大第五節(jié)極限運算法則第六節(jié)極限存在準則兩個重要極限第五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四第七節(jié)無窮小的比較第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四第一節(jié)映射與函數(shù)一、集合二、映射三、函數(shù)第七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四

一、集合集合與元素之間的關系a∈M：若x是集合的元素；1.集合概念(1)集合：具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，集合的元素通常用A，B，S，T等表示.元素:組成這個集合的事物集合的元素通常用a，b，x，y等表示.集合分為有限集和無限集.a

M:若x不是集合的元素.(2)集合的表示法列舉法:將集合的元素一一列舉出來,描述法:如:第八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四N={全體自然數(shù)}，Z={全體整數(shù)}，Q={全體有理數(shù)}，R={全體實數(shù)}.(3)常用的集合記號

如果，必有,則稱A是B的子集，記為

不含任何元素的集合，則稱為空集記為Φ.Φ是任何集合的子集.(4)集合的關系集合:集合A內(nèi)排除0的集.集合:集合B內(nèi)排除0與負數(shù)的集.若，且,則稱A是B的真子集,記為.若，且,則稱A與B相等,記為.第九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四2.集合的運算設A、B是二個集合，定義(A與B的并集)(A與B的交集)(A與B的差集)設I表示我們研究某個問題的全體,則其他集合A都是I的子集,稱I為全集或基本集.A的余集或補集記為:例如:在實數(shù)集R中則有第十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四設A、B、C為任意三個集合，則有下列法則成立：（1）交換律（2）結(jié)合律（3）分配律（4）對偶律以上這些法則都可以根據(jù)集合相等的定義驗證.集合的運算法則第十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四3.區(qū)間和鄰域設a,b∈R,且a<b,開區(qū)間閉區(qū)間半開區(qū)間稱a,b為區(qū)間的端點，稱b－a為這些區(qū)間的長度.以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間.第十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四無限區(qū)間用數(shù)軸可以表示區(qū)間,區(qū)間常用I表示.引進記號：

+∞

－∞

∞（讀作正無窮大）(讀作負無窮大）（讀作無窮大）第十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四(2)點a的去心鄰域：注若不強調(diào)δ的大小，點a的去心鄰域記為U(a)鄰域點a的左δ鄰域:開區(qū)間(a-δ,a)點a的右δ鄰域:開區(qū)間(a,a+δ)(1)設δ是任一正數(shù)，稱開區(qū)間(a-δ,a+δ)為點a的δ鄰域，記為U(a,δ)，即點a稱為該鄰域的中心，稱δ為該鄰域的半徑.a第十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四二、映射1、映射的概念定義

設X、Y是二個非空集合，如果存在一個法則f,使得對X中每個元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應,則稱f為從X到Y(jié)的映射,記為

其中y稱為元素x(在映射f下)的像,記作f(x),即y=f(x),元素x稱為元素y(在映射f下)的一個原像;集合X稱為映射f的定義域,記作D

f,即D

f=X;X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域,記作Rf或f(X),即第十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四注意:(1)

一個映射必須具備以下三個要素:集合X,即定義域D

f=X集合Y,即值域的范圍:對應法則f,使對每個有唯一確定的y=f(x)與之對應.(2)對每個,元素x的像y是唯一的;對每個,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域是Y的一個子集,即,不一定.第十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四例1設,對每個,.顯然,f是一個映射,f的定義域,值域

它是R的一個真子集.對于Rf中的元素y,除y=0外,它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2兩個.例2設對每個,有唯一確定的

與之對應.顯然,f是一個映射,f的定義域,值域Oxy-11這個映射表示將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到x軸的區(qū)間[-1,1]上.第十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四例3設對每個,這里f是一個映射,其定義域,值域

f稱為X到Y(jié)上的滿射：若Rf=Y.即Y中任一元素y

f為X到Y(jié)上的單射:若對X中任意兩個不同元素滿射單射一一映射都是X中某元素的像.f為一一映射(或雙射):若映射f既是單射又是滿射.如:例1既非單射,又非滿射;例2不是單射,是滿射;例3既是單射,又是滿射,因此是一一映射.它們的像第十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四映射又稱為算子.根據(jù)集合X、Y的不同情形,在不同的數(shù)學分支中,映射又有不同的慣用名稱.如:從非空集合X到數(shù)集Y的映射又稱為X上的泛函.從非空集合X到它自身的映射又稱為X上的變換.從實數(shù)集(或其子集)X到實數(shù)集Y的映射稱為定義在X上的函數(shù).第十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四2.逆映射與復合映射設f是X到Y(jié)上的單射,定義一個從Rf到X的新映射g即對每個規(guī)定g(y)=x,這x滿足f(x)=y.這個映射g稱為f的逆映射,記作其定義域值域注意:只有單射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:第二十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四設有兩個映射其中則可以確定一個從X到Z的映射,稱為復合映射記作即注意:(1)映射g和f構(gòu)成復合映射的條件:兩者也不同時有意義.第二十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四例4設有映射對每個對每個第二十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四三、函數(shù)1.函數(shù)概念因變量自變量對每個,按對應法則f,總有唯一確定的值y與之對應,這個值稱為函數(shù)f在x處的函數(shù)值,記作f(x),即y=函數(shù)值f(x)的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域,定義設數(shù)集,則稱映射為定義D上的函數(shù)，通常簡記為f(x).D稱為定義域,記作,即

記作或f(D),即第二十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射,其值域總在R內(nèi).函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則f.如果兩個函數(shù)的定義域相同,對應法則也相同,那么這兩個函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.約定:定義域是自變量所能取的使算式有(實際)意義的一切實數(shù)值.如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．例如:第二十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四對于多值函數(shù),往往只要附加一些條件,就可以將它化為單值函數(shù),這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.例如,在由方程給出的對應法則中,附加“”的條件,就可得到一個單值分支表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法（公式法）.定義:點集稱為函數(shù)的圖形.第二十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四常見的幾種函數(shù)例5函數(shù)y=2它的定義域值域它的圖形是一條平行于x軸的直線.Oxyy=2例6函數(shù)定義域D=(－∞,+∞),值域=[0,+∞).這個函數(shù)稱為絕對值函數(shù).Oxy第二十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四1-1xyo例7函數(shù)稱為符號函數(shù),定義域D=(－∞,+∞),值域={1,0,－1}.注:對任意的x,有第二十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線[x]表示不超過x的最大整數(shù)例8取整函數(shù)y=[x]如[-3.4]=-4,[－1]=－1,定義域D=(－∞,+∞),值域=Z.第二十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四例9函數(shù)是一個分段函數(shù).它的定義域D=[0,+∞).如:yxO1第二十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四2.函數(shù)的幾種特性(1)函數(shù)的有界性:oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX無界則稱函數(shù)若有成立，f(x)在X上有界.否則稱為無界.(2)有界與否是和X有關的.(1)當一個函數(shù)有界時，它的界是不唯一的.注意:使(3)證明無界的方法:對于任意正數(shù)M,總存在第三十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四(2)函數(shù)的單調(diào)性:xyo設函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間如果對于區(qū)間I上任意兩點x1和x2,當x1<x2時,恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的(單調(diào)減少的);xyo第三十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四(3)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x設函數(shù)f(x)的定義域為D關于原點對稱,對于有f(-x)=f(x)恒成立,則稱f(x)為偶函數(shù);偶函數(shù)的圖形關于y軸對稱.函數(shù)y=cosx是偶函數(shù).第三十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四奇函數(shù)yxox-x設函數(shù)f(x)的定義域為D關于原點對稱,對于有f(-x)=-f(x)恒成立,則稱f(x)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關于原點對稱.函數(shù)y=sinx是偶函數(shù).函數(shù)y=sinx+cosx既非奇函數(shù),又非偶函數(shù).第三十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四(4)函數(shù)的周期性:函數(shù)sinx,cosx的周期是函數(shù)tanx的周期是（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.有對于任一且恒成立,設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個正數(shù)l,使得第三十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo例10狄利克雷函數(shù)

它是一個周期函數(shù),任何有理數(shù)都是它的周期,但它沒有最小正周期.第三十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四3.反函數(shù)與復合函數(shù)反函數(shù)的定義:設函數(shù)是單射,則它存在如:函數(shù)是單射,其反函數(shù)為若函數(shù)f(x)在D上是單調(diào)函數(shù),則f-1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).DD)(xfy=函數(shù)稱此映射為函數(shù)f的反函數(shù).逆映射第三十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于直線y=x對稱.相對于反函數(shù)原來的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù).第三十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四復合函數(shù)定義:設函數(shù)y=f(u)的定義域為D1,函數(shù)u=g(x)在D上有定義,且則由下式確定的函數(shù)稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)y=f(u)構(gòu)成的復合函數(shù),它的定義域為D,變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復合函數(shù)通常記為函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成復合函數(shù)的條件是:函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域內(nèi),即第三十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四

注:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構(gòu)成.如:如:第三十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四4.函數(shù)的運算設函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為則可以定義這兩個函數(shù)的下列運算：和(差)

積商第四十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四例11設函數(shù)f(x)的定義域為(-l,l),證明必存在(-l,l)上的偶函數(shù)g(x)和奇函數(shù)h(x),使得證先分析如下:假若這樣的g(x)、h(x)存在,使得(1)且于是有(2)利用(1)、(2)式,就可作出g(x),h(x).作則證畢.第四十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期四5.初等函數(shù)(1)冪函數(shù)(