第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度

第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四問題的提出考慮二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)僅反映函數(shù)在水平方向（橫軸方向）上的變化率。同理，偏導(dǎo)數(shù)僅反映函數(shù)在垂直方向上的變化率。在實(shí)際問題中，還需要考慮函數(shù)在斜方向上的變化率問題，如冷熱空氣的流動(dòng)，溫度場的變化等。第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四實(shí)例：一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比．在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？答案：應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的方向爬行．問題：如何確定上述變化最劇烈的方向？問題的實(shí)質(zhì)：要研究溫度在各個(gè)方向上的變化率。第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四一、方向?qū)?shù)的定義函數(shù)在某一方向上的變化率，稱為函數(shù)在該方向上的方向?qū)?shù)。與l同方向的單位向量為則射線l

的參數(shù)方程為動(dòng)點(diǎn)從沿方向l

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)，函數(shù)產(chǎn)生的增量第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四稱之為函數(shù)在l方向上的增量。稱之為函數(shù)在l方向上的平均變化率。如果極限存在l的參數(shù)方程為則稱它為

f(x,y)在點(diǎn)處沿方向

l

的方向?qū)?shù)。第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四記為問題1：方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系？問題2：函數(shù)沿任意方向的方向?qū)?shù)均存在的條件是什么？如何計(jì)算方向?qū)?shù)？如果極限存在，則稱它為

f(x,y)在點(diǎn)處沿方向

l

的方向?qū)?shù)。方向?qū)?shù)就是函數(shù)在點(diǎn)處沿方向l的變化率。第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四（1）在

x

軸的正方向上，假設(shè)

z=f(x,y)在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在問題1：方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系？第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四假設(shè)

z=f(x,y)在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在（2）在

x

軸的負(fù)方向上，問題1：方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系？第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四（3）同理，在

y

軸的兩個(gè)方向上正方向：負(fù)方向：則函數(shù)在該點(diǎn)處沿水平和垂直方向的方向?qū)?shù)均存在.偏導(dǎo)數(shù)均存在，結(jié)論1：如果函數(shù)

z=f(x,y)在點(diǎn)的兩個(gè)即：偏導(dǎo)數(shù)是一種特殊的方向?qū)?shù)。結(jié)論2：偏導(dǎo)數(shù)存在不能保證斜方向的方向?qū)?shù)存在。第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四思考：若函數(shù)沿任意方向的方向?qū)?shù)均存在，是否保證偏導(dǎo)數(shù)一定存在？例1：解：不存在。第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四定理如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)可微分，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l的方向?qū)?shù)存在，且有其中是方向l的方向余弦.問題2：函數(shù)沿任意方向的方向?qū)?shù)均存在的條件是什么？如何計(jì)算方向?qū)?shù)？結(jié)論3：即使函數(shù)沿任意方向的方向?qū)?shù)均存在，也不能保證偏導(dǎo)數(shù)一定存在。第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四考慮函數(shù)在方向l上的增量令證明：設(shè)其中第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四計(jì)算可微函數(shù)方向?qū)?shù)的步驟：（1）確定給定方向l的方向余弦：即與l同方向的單位向量。（2）計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)（3）利用公式計(jì)算或第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四例1求函數(shù)在點(diǎn)P(1,0)處沿從點(diǎn)P(1,0)到點(diǎn)Q(2,?1)的方向的方向?qū)?shù).解:這里方向l即向量的方向，與l同向的單位向量為所求方向?qū)?shù)為第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四例2.

求函數(shù)在點(diǎn)P(2,3)沿曲線朝x增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點(diǎn)P的切向量為第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四解由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知故例3求函數(shù)在點(diǎn)（1，1）沿與

x軸方向夾角為的方向射線l的方向?qū)?shù),

并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四對于三元函數(shù)u=f(x,y,

z),它在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)定義為如果u=f(x,y,

z)在點(diǎn)處可微，則第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,且有例4.求函數(shù)

在點(diǎn)P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).解:向量l的方向余弦為第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四例5

設(shè)是曲面在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向的方向?qū)?shù).在點(diǎn)P處沿求函數(shù)對于封閉的曲面，上述兩個(gè)法向量中，一個(gè)指向曲面的外側(cè)，另一個(gè)則指向曲面的內(nèi)側(cè)。令則曲面上任意一點(diǎn)

P(x,y,z)處的法向量可取為

指向外側(cè)，則指向內(nèi)側(cè)，第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四令故又解：的方向余弦，即與同方向的單位向量為故第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四定義：設(shè)函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則對于每一點(diǎn)都可定出一個(gè)向量這向量稱為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)的梯度，記作，即二、梯度

問題：引進(jìn)梯度概念的意義是什么？并稱為z=f(x,y)在D內(nèi)的梯度場。第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四（1）梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系是l的方向余弦，為最大值。第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四為最大值。

即：函數(shù)在梯度方向上的方向?qū)?shù)最大，或者說函數(shù)在梯度方向上的增加速度（變化率）最快（最大）；而沿梯度的反方向函數(shù)減少最快。

結(jié)論：函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值．第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在空間區(qū)域G具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)，都可定出一個(gè)向量這向量稱為函數(shù)f(x,y,z)在點(diǎn)的梯度，將它記作，即梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)

類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四解：由梯度計(jì)算公式得故第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四例7.證:試證處矢徑r的模,第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四解:故例8.設(shè)在xoy平面上，各點(diǎn)的溫度與點(diǎn)的位置關(guān)系為第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四解:解:

沿梯度方向溫度變化率最大，最大值為沿負(fù)梯度方向最小，最小值為第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四梯度的基本運(yùn)算公式第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線),稱為函數(shù)f的等值線.則L*上點(diǎn)P處的法向量為同樣,對應(yīng)函數(shù)有等值面(等量面)當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí),其上點(diǎn)P處的法向量為指向函數(shù)增大的方向.第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四等值線與梯度為z=f(x,y)的一條等值線當(dāng)平面

z=c

上下移動(dòng)時(shí)，得到一簇互不相交的等值線。第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四內(nèi)容小結(jié)1.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點(diǎn)沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點(diǎn)的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四2.梯度?三元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為?二元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為3.關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在??可微梯度在方向l上的投影.第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四思考與練習(xí)設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)在點(diǎn)M(1,1,1)處沿曲線在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù);(2)求函數(shù)在M(1,1,1)處的梯度與(1)中切線方向

的夾角

.第三十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四曲線(1)在點(diǎn)解答提示:函數(shù)沿l的方向?qū)?shù)M(1,1,1)處切線的方向向量第三十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第三十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四備用題1.函數(shù)在點(diǎn)處的梯度解:則