空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算第一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一oxyz

從空間某一個(gè)定點(diǎn)０引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系０－xyz．

點(diǎn)Ｏ叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別稱為xoy平面、yoz平面、和

Zox平面．第二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一空間直角坐標(biāo)系的畫法:oxyz1.X軸與y軸、x軸與z軸均成1350,而z軸垂直于y軸．135013502.y軸和z軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸（或z軸）的單位長度的一半．第三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一

有了空間直角坐標(biāo)系，那空間中的任意一點(diǎn)Ａ怎樣來表示它的坐標(biāo)呢？oxyzＡabc(a,b,c)經(jīng)過A點(diǎn)作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于三點(diǎn)，三點(diǎn)在相應(yīng)的坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)a,b,c組成的有序?qū)崝?shù)對（a,b,c)叫做點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)記為：Ａ（a,b,c)第四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一

在空間直角坐標(biāo)系中,x軸上的點(diǎn)、xoy坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)？１．x軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)就是與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都是０．２．xoy坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的豎坐標(biāo)為０，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別是點(diǎn)向兩軸作垂線交點(diǎn)的坐標(biāo)．第五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)．如圖，已知長方體ABCD-A`B`C`D`的邊長為AB=12,AD=8,AA`=5.以這個(gè)長方體的頂點(diǎn)Ａ為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB,AD,AA`分別為x軸、y軸和z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求長方體各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．xyzAOA`BB`CC`DD`第六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一單位正交基底：

如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且大小都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用來表示.因此我們可以類似平面直角坐標(biāo)系,建立空間直角坐標(biāo)系第七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一

在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O—xyz.x

軸、y

軸、z軸，都叫做叫做坐標(biāo)軸,點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量都叫做坐標(biāo)向量.通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面.xyzOkij

對空間任一向量,由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使空間直角坐標(biāo)系第八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一以

建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2-x1

,

y2-y1

,

z2-z1)第九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一規(guī)定：（0，0，0）第十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一2.空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：設(shè)空間兩個(gè)非零向量4.空間兩點(diǎn)間的距離公式已知、，則注：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。第十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一注意：（1）當(dāng)時(shí)，同向；（2）當(dāng)時(shí)，反向；（3）當(dāng)時(shí)，。思考：當(dāng)及時(shí)，的夾角在什么范圍內(nèi)？6.空間兩非零向量垂直的條件第十二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一練習(xí):已知

求解:第十三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)：2.求下列兩個(gè)向量的夾角的余弦：1.求下列兩點(diǎn)間的距離：第十四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一例題：例1已知、，求：（1）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；解：設(shè)是的中點(diǎn)，則∴點(diǎn)的坐標(biāo)是.第十五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一（2）到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件。解：點(diǎn)到的距離相等，則化簡整理，得即到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件是第十六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一第十七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一解：設(shè)正方體的棱長為1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

例3如圖,在正方體中，，求與所成的角的余弦值.

第十八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一第十九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點(diǎn)，求證：D1F例5.在正方體中，E、F分別是BB1,，平面ADE

證明：設(shè)正方體棱長為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，則可得：所以第二十頁，共二十二頁，編輯于2023年，