第一章 數(shù)學(xué)模型概論

第一章數(shù)學(xué)模型概論第一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四§1.1

數(shù)學(xué)不可勿缺的作用

數(shù)學(xué)科學(xué)（MathematicalSciences，簡稱數(shù)學(xué)(Mathematics)）是研究數(shù)、量和空間形式的一個龐大的科學(xué)體系，它包含純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)以及這兩者與其它學(xué)科的交叉部分。第二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四

自古以來，數(shù)學(xué)的發(fā)展始終與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展緊密相連，反之亦然。數(shù)學(xué)研究的成果往往是重大科學(xué)發(fā)明的催生素（相對論、量子力學(xué)、電磁理論、流體力學(xué)、計算機(jī)、信息論、控制論、現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、CT等）第三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第二十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四

20世紀(jì)上半世紀(jì)：數(shù)學(xué)雖然也直接為工程技術(shù)提供一些工具，但基本方式是間接的；先促進(jìn)其他科學(xué)的發(fā)展，再由這些科學(xué)提供工程原理和設(shè)計的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)是幕后的無名英雄.第二十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四

21世紀(jì):計算機(jī)無處不在，數(shù)學(xué)無處不在，數(shù)學(xué)和工程技術(shù)之間，在更廣泛的范圍內(nèi)和更深刻的程度上，直接地相互作用著，極大地推動了科學(xué)和工程科學(xué)的發(fā)展，也極大地推動了技術(shù)的發(fā)展.**高技術(shù)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)技術(shù)**21世紀(jì)是科學(xué)和工程數(shù)學(xué)化（Mathematization）的世紀(jì)第二十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學(xué)不僅是幕后的無名英雄，很多方面開始走向“前臺”.1.密碼、電子商務(wù)、DNA研究的一部分問題，完全是數(shù)學(xué)問題2.數(shù)學(xué)建模和相伴的計算正成為工程設(shè)計的關(guān)鍵工具；大批數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)系畢業(yè)生在科技部門工作，以數(shù)學(xué)為主要工具與科技、工程人員結(jié)合進(jìn)行由此及彼、由表及里的解決實際問題的努力.3.數(shù)學(xué)已經(jīng)成為科技工程人員必備的知識，數(shù)學(xué)軟件及其工具箱的越來越重要的作用。數(shù)學(xué)技術(shù)的重要性日益顯示。第二十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第二十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四MathematicalModelling數(shù)學(xué)的塑造藝術(shù)——數(shù)學(xué)建模第二十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號模型模型:模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征我們常見的模型：第二十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。

數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling）

應(yīng)用知識從實際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程?！?.2

數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模第二十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四

例你碰到過的數(shù)學(xué)模型——航行問題

甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少？x=20y=5答：船速每小時20千米第二十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第二十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四問題：某倉庫要存放n種化學(xué)藥品，其中有些藥品彼此不能存放在一起，因為相互之間可能發(fā)生化學(xué)或藥物反應(yīng)導(dǎo)致危險，所以必須把倉庫分成若干區(qū)，各區(qū)之間相互隔離。問至少應(yīng)把倉庫分成多少個隔離區(qū)，才能確保安全？

例圖的簡單應(yīng)用第三十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四問題分析及假設(shè)：為簡單起見，考慮僅有7種藥品，分別用

v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7表示，已知不能存放到一起的藥品組合是：（v1,v2）,(v1,v4),(v2,v3),(v2,v5),(v2,v7),(v3,v4),(v3,v6),(v4,v5),(v4,v7),(v5,v6),(v5,v7),(v6,v7).第三十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四先把各種藥品作為一個圖的頂點，即頂點集為V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}。然后把不能存放在一起的藥品用邊相連，構(gòu)成的無向圖如下：問題的求解v2v1v4v7v6v5v3第三十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四設(shè)想把倉庫劃分為若干隔離區(qū)，分別用Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,…表示，根據(jù)題意，圖中各邊的兩個頂點表示不能存入同一區(qū)內(nèi)的藥品。為了決定分區(qū)，要對藥品進(jìn)行分區(qū)編號，規(guī)則如下：（1）各邊的兩個頂點不能編在同一區(qū)號；（2）為使分區(qū)數(shù)最小，從Ⅰ,Ⅱ,…順次編號，且優(yōu)先使用小的區(qū)號。第三十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四V2(Ⅱ)v1（Ⅰ）v4v7v6v5v3現(xiàn)任取一個頂點，如v1，編在Ⅰ區(qū)，因v2與v1有邊相連，所以把v2編在Ⅱ區(qū)，(如圖所示)第三十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四v2(Ⅱ)v1（Ⅰ）v4(Ⅱ)v7v6(Ⅱ)v5(Ⅰ)v3（Ⅰ）v3與v2有邊相連但與v1無邊相連，根據(jù)第（2）條規(guī)則應(yīng)把v3編在Ⅰ區(qū)，如此方法可得到v4,v5,v6所屬的區(qū)，如右圖第三十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四v2(Ⅱ)v1（Ⅰ）v4(Ⅱ)v7(Ⅲ)v6(Ⅱ)v5(Ⅰ)v3（Ⅰ）v7與v6,v5,v2,v4均有連接所以即不能編在Ⅰ也不能編在Ⅱ,將其編為Ⅲ。如右圖。第三十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四最后得到，至少要將倉庫分為3個區(qū)Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ，各種藥品在3個區(qū)的分布如下：（Ⅰ）v1,v3,v5（Ⅱ）v2,v4,v6（Ⅲ）v7經(jīng)驗證這個結(jié)果滿足題目要求，問題解決。第三十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四論文作者：中國科技大學(xué)代表隊指導(dǎo)教師：孫廣中

例DNA序列的分類模型第三十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四第三十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四問題的提出：脫氧核糖核酸全序列是由A，T，C，G四種堿基按一定順序排成長約30億的序列。分析序列結(jié)構(gòu)對于研究人類的生老病死遺傳進(jìn)化具有非常重大的作用。本文作為研究脫氧核糖核酸序列結(jié)構(gòu)的嘗試，提出如下對序列集合進(jìn)行分類的問題：給出20個已知類別的人工序列，1－10個A類11－20個B類，從中提取A，B兩類特征進(jìn)行分類，并構(gòu)造判別函數(shù)對新樣本進(jìn)行判斷。（具體序列實例見下頁）第四十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四人工序列樣本舉例A1:aggcacggaaaacgggaataacggaggaggacttggcacacggcattacacggaggacgaggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttggB1:gtattatattttttattttattattttagaatataatttgaggtatgtgtttaaaaattttttttttttaaaatttataaatttaaA2:cggctggcggacaacggactggcggattccaaaacggaggaggaggcggacggaggctacaccaccgtttcggcggaaaggcggagggctggcaggaggctcattacgggagB2:gttatttttaaatttaattttaattttaaaatacaaaatttttactttctaaaattggtctctggatcgataatgtaaacttattgaatctatagaattacattattgat易見A類g，c含量高，B類a，t含量高第四十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四由于DNA同時具有局部性質(zhì)和全局性質(zhì)特征。算法不但要對已知的A，B組能分開而且對新序列也要具有良好的區(qū)分性能。因此要求分類辦法具有良好的區(qū)分性能和魯棒性（一）從字母出現(xiàn)的頻率出發(fā)（二）從字母出現(xiàn)的周期性角度出發(fā)可以從以下兩個角度考慮第四十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四方法（一）蛋白質(zhì)編碼DNA中g(shù)，c的含量偏高；非編碼DNA中a，t含量偏高，因此可見a，t，c，g出現(xiàn)的頻率含有很多分類信息。為了能做定量化的分析引入內(nèi)積的概念，將a，t，c，g四種堿基出現(xiàn)頻率作為四維向量的分量構(gòu)造出（Pa，Pt，Pc，Pg）A、B兩組每個序列分別對應(yīng)一個向量Ai，Bi（i=1，2…10）將未知序列定義為新的向量C建立判據(jù),將C判給A或者B這里將向量在Hilbert空間意義下進(jìn)行歸一化，然后求C與A，B的組的平均距離。從而確定分組第四十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四為歸一化后的向量定義內(nèi)積為歐式距離意義下的普通向量內(nèi)積從而計算內(nèi)積和內(nèi)積小的兩個序列有理由認(rèn)為其相關(guān)性小，相應(yīng)的內(nèi)積大相關(guān)性強(qiáng)；從而有：當(dāng)時認(rèn)為C歸于A類反之歸于B類據(jù)此我們得出一種判別準(zhǔn)則，即比較兩個內(nèi)積和的大小；可以歸為一個目標(biāo)函數(shù)表達(dá)為：第四十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四方法1的模型討論本方法是從統(tǒng)計的角度考慮的，采用頻率趨向概率的思想。1、計算每個字母出現(xiàn)的頻率2、找出A，B兩類脫氧核糖核酸鏈中的頻率特性，3、建立四維向量空間，4、通過內(nèi)積計算量化關(guān)聯(lián)性5、建立判別函數(shù)F進(jìn)行分類模型缺陷：只考慮了單個字母的特性。忽略了字母所在位置以及字母間的相互關(guān)系，因此對于頻率特性不明顯的情況本方法不理想。因此考慮下述方法2第四十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四方法（二）從字母的周期性來考慮，例如字母“a”可設(shè)其在序列的第t1，t2……t

k＋1個位置。由于我們研究的是脫氧核糖核酸的片斷所以不同的片斷選擇會導(dǎo)致同一個“a”對應(yīng)不同的ti。因此為了抵消這種線性位移的影響考慮如下表達(dá)：si＝ti＋1－ti。它表達(dá)了“a”出現(xiàn)的間距。即序列s1，s2，…，sn表達(dá)了“a”的稠密度。考慮s1，s2，…，sn的波動幅度，認(rèn)為幅度越小si（i＝1，…，n）的值越統(tǒng)一，而“a”的出現(xiàn)周期性越大。為此我們考慮方差。第四十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四同理可以求出Varg、Vart、Varc根據(jù)計算經(jīng)驗，Varg、Vart具有很高的區(qū)分力，因此建立判別函數(shù)表達(dá)式如下：F＝Varg/Vart間隔方差計算結(jié)果的分布圖第四十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四方法二討論本方法從字母的周期性進(jìn)行分析，它統(tǒng)計了字母在序列中兩次出現(xiàn)的間隔，并且用方差來度量間隔的波動大小由此也得到了較好的判別函數(shù)。本法的最大特點就是考慮了全局和局部的性質(zhì)?？偨Y(jié)：本文用兩種方法從不同角度來考慮同樣的脫氧核糖核酸分類問題。兩種方法都用到了統(tǒng)計的思想但法一從單個字母的出現(xiàn)頻率考慮局部性質(zhì)，法二則在前者基礎(chǔ)上考慮到了全局性質(zhì)。二者差別在于不同的特征提取角度，從而實現(xiàn)了不同的分類辦法。第四十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四問題分析：模型假設(shè)：通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地。四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。

例椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎?第四十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四建立模型：用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性第五十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(),g()是連續(xù)函數(shù)對任意,f(),g()至少一個為0數(shù)學(xué)問題：已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地第五十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定第五十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四

例（萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)）

十五世紀(jì)中期，哥白尼提出了震驚世界的日心說。丹麥著名的實驗天文學(xué)家第谷花了二十多年時間觀察紀(jì)錄下了當(dāng)時已發(fā)現(xiàn)的五大行星的運動情況。第谷的學(xué)生和助手開普勒對這些資料進(jìn)行了九年時間的分析計算后得出著名的Kepler三定律。牛頓根據(jù)開普勒三定律和牛頓第二定律，利用微積分方法推導(dǎo)出牛頓第三定律即萬有引力定律。1.行星軌道是一個橢圓，太太陽位于此橢圓的一個焦點上。2.行星在單位時間內(nèi)掃過的面積不變。3.行星運行周期的平方正比于橢圓長半軸的三次方，比例系數(shù)不隨行星而改變（絕對常數(shù)）開普勒三大定律

這其中必定是某一力學(xué)規(guī)律的反映，哼哼，我要找出它。。。。

第五十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四如圖，有橢圓方程:矢徑所掃過的面積A的微分為:由開普勒第二定律:常數(shù)立即得出:即:橢圓面積由此得出常數(shù)簡單推導(dǎo)如下：行星r太陽第五十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四我們還需算出行星的加速度，為此需要建立兩種不同的坐標(biāo)架。第一個是固定的，以太陽為坐標(biāo)原點，沿長軸方向的單位向量記為i,沿短軸方向的單位向量記為j，于是：進(jìn)而有加速度以行星為坐標(biāo)原點建立活動架標(biāo)，其兩個正交的單位向量分別是因此得出由于第五十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四也就是說行星的加速度為由開普勒第三定律知為常數(shù)。若記那么就導(dǎo)出著名的萬有引力定律：再將橢圓方程

兩邊微分兩次，得將前面得到的結(jié)果和焦參數(shù)代入，即得第五十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四

1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡化，提出若干符合