第三章 離散傅立葉變換

第三章離散傅立葉變換第一頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四本章目錄引言離散傅里葉變換（DFT）的定義離散傅里葉變換的基本性質(zhì)頻率域采樣Matlab實(shí)現(xiàn)離散傅里葉變換（DFT)的應(yīng)用第二頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.1引言各種形式的傅里葉變換CTFT:時(shí)域連續(xù)，頻域連續(xù)CFS:時(shí)域連續(xù)，頻域離散DTFT:時(shí)域離散，頻域連續(xù)DFS:時(shí)域離散，頻域離散第三頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四離散傅里葉變換的導(dǎo)出由于數(shù)字計(jì)算機(jī)只能計(jì)算有限長離散的序列，因此有限長序列在數(shù)字信號(hào)處理中就顯得很重要。任一有限長序列頻域連續(xù)，使得無法利用計(jì)算機(jī)直接進(jìn)行頻域數(shù)字計(jì)算，因此頻域需要離散化。DFT第四頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.2離散傅里葉變換DFT離散傅里葉變換的定義DFT和z變換、DTFT的關(guān)系DFT的隱含周期性(和DFS的關(guān)系）第五頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.2.1序列與周期延拓序列任何周期為N的周期序列都可以看作長度為N的有限長序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)則是的一個(gè)周期.第六頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四運(yùn)算符((n))N例如，N=8，，則有x(7)如果

n=n1+MN，0≤n1≤N-1，M為整數(shù)則((n))N=n1

2、表示n對(duì)N求余數(shù)1、表示序列以N為周期延拓第七頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.2.2主值區(qū)間，主值序列主值區(qū)間：通常把的第一個(gè)周期n=0到N-1定義為“主值區(qū)間”主值序列：把x(n)稱為的“主值序列”第八頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.2.3DFT的導(dǎo)出對(duì)和分別取一個(gè)周期，剛好對(duì)應(yīng)和，而剛好為一個(gè)有限長序列，從而得到其離散的頻域。時(shí)域離散、頻域離散第九頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四

3.2.4離散傅里葉變換的定義離散傅里葉正變換(DFT)定義0≤k≤N-1

0≤n≤N-1

x(n)長度為M離散傅里葉反變換(IDFT)定義條件：N≥M第十頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.2.5DFT和Z變換、序列的傅里葉變換的關(guān)系

設(shè)序列x(n)的長度為N，其Z變換、DFT和傅里葉變換分別為0≤k≤N-1第十一頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四三種變換的關(guān)系

0≤k≤N-10≤k≤N-1比較三式可得第十二頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四DFT和Z變換的關(guān)系0≤k≤N-1單位圓上的8個(gè)等間隔取樣點(diǎn)示意圖N＝8序列x(n)的N點(diǎn)DFT相當(dāng)于是在x(n)的z變換的單位圓上進(jìn)行N點(diǎn)等間隔取樣，同時(shí)第一個(gè)取樣點(diǎn)取在z=1處。第十三頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四DFT和DTFT的關(guān)系物理意義：X(k)是x(n)的傅里葉變換X(ejω)在區(qū)間[0，2π]上的N點(diǎn)等間隔取樣。0≤k≤N-1第十四頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四設(shè)有限長序列為x(n)=R4(n)，求x(n)的傅里葉變換(DTFT)，以及4點(diǎn)、8點(diǎn)、16點(diǎn)DFT。

解：（1）x(n)的傅里葉變換

例3.2.1第十五頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四（3）x(n)的8點(diǎn)DFT（N＝8）k=0，1，…，7

（4）x(n)的16點(diǎn)DFT（N＝16）k=0，1，…，15（2）x(n)的4點(diǎn)DFT（N＝4）第十六頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四例3.2.1的圖形顯示DFT實(shí)現(xiàn)了頻域離散化。DFT與N有關(guān)，N越大（對(duì)原序列尾部補(bǔ)零），對(duì)X(ejw)采樣的點(diǎn)數(shù)越多，越接近原連續(xù)信號(hào)的譜。N＝4N＝8N＝16第十七頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.2.6DFT的隱含周期性（和DFS的關(guān)系）

DFT變換對(duì)，雖然在形式上是N點(diǎn)序列的時(shí)頻變換，但它蘊(yùn)含著首先把N點(diǎn)的信號(hào)作周期延拓然后進(jìn)行DFS，最后從DFS中各取主值。DFS:DFT:第十八頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.3離散傅里葉變換的基本性質(zhì)

線性性質(zhì)循環(huán)移位性質(zhì)循環(huán)卷積定理復(fù)共軛序列的DFTDFT的共軛對(duì)稱性第十九頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.3.1線性性質(zhì)設(shè)x1(n)和x2(n)長度分別為N1和N2，且取N=max[N1，N2]，則y(n)的N點(diǎn)DFT為

0≤k≤N－1

注意：如果N1和N2不相等，則以N為DFT變換長度時(shí)，其中相對(duì)較短的序列就通過補(bǔ)零增加到長度為N。

第二十頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.3.2循環(huán)移位性質(zhì)序列的循環(huán)移位設(shè)x(n)長度為N，則x(n)的循環(huán)移位定義：循環(huán)移位取主值特點(diǎn)：從左移出，從右移入見書P80第二十一頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，y(n)為x(n)的循環(huán)移位，即：則其中，0≤k≤N－1，時(shí)域循環(huán)移位定理有限長序列的循環(huán)移位導(dǎo)致頻譜線性相移，而對(duì)頻譜幅度無影響。第二十二頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四時(shí)域循環(huán)移位定理證明證明令n+m=n'，則有第二十三頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四頻域循環(huán)移位定理頻域循環(huán)移位定理如果：時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的循環(huán)移位則：第二十四頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.3.3循環(huán)卷積定理序列N點(diǎn)循環(huán)卷積x

(n)和h(n)的長度分別為N1和N2，N=max[N1,N2]。

NNN第二十五頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四循環(huán)卷積過程對(duì)序列x(m)：x(0),x(1),…,x(N-1）先循環(huán)再反褶再移位，取主值，得到其循環(huán)倒相序列[x((n-m))N]RN(n)n=0時(shí)：x(0),x(N-1),x(N-2),…,x(2),x(1)

n=1時(shí)：x(1)x(0),x(N-1),x(N-2),…,x(2)得到循環(huán)卷積矩陣，見書P82式3.2.6再和h(m)相乘求和圖示說明第二十六頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四序列循環(huán)卷積結(jié)果：序列x(n)的N點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣見書P82例3.2.1第二十七頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四時(shí)域循環(huán)卷積定理x1(n)和x2(n)的長度分別為N1和N2，N=max[N1,N2]。

則：X(k)=X1(k)·X2(k)NN時(shí)域作循環(huán)卷積頻域作乘法若：第二十八頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四循環(huán)卷積定理證明證明令n－m=n'第二十九頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四頻域循環(huán)卷積定理則x(n)=x1(n)?x2(n)

若

NN時(shí)域作乘法頻域作循環(huán)卷積第三十頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.3.4復(fù)共軛序列的DFT復(fù)共軛序列的DFT設(shè)x*(n)是x(n)的復(fù)共軛序列，長度為N，

0≤k≤N-1則且第三十一頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四復(fù)共軛序列的DFT的證明證明：第三十二頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四任意序列可表示為：3.3.5DFT的共軛對(duì)稱性1.任意序列的共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量特點(diǎn):關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱第三十三頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四2.有限長序列的共軛對(duì)稱和共軛反對(duì)稱分量共軛反對(duì)稱序列：共軛對(duì)稱序列：關(guān)于N/2對(duì)稱第三十四頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.有限長序列的分解任意有限長序列：其中：第三十五頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.有限長序列的分解同樣有：第三十六頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四4.有限長序列共軛對(duì)稱性1其中:時(shí)域作實(shí)、虛部分解，頻域作共軛對(duì)稱、反對(duì)稱分解第三十七頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四4.有限長序列共軛對(duì)稱性2其中:時(shí)域作共軛對(duì)稱、反對(duì)稱分解，頻域作實(shí)、虛部分解第三十八頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四5.實(shí)序列共軛對(duì)稱性即：當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，只需計(jì)算N/2+1個(gè)點(diǎn)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，只需計(jì)算（N＋1)/2個(gè)點(diǎn)減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率第三十九頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四實(shí)序列共軛對(duì)稱性的應(yīng)用

例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，試用一次

N點(diǎn)DFT運(yùn)算來計(jì)算它們各自的DFT。

1、4、3、2、一次N點(diǎn)DFT第四十頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.3.6DFT形式下的Parseval定理第四十一頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.4頻域抽樣理論

頻域抽樣指對(duì)序列的傅里葉變換X(ejω)進(jìn)行抽樣。對(duì)有限長序列而言，由DFT的討論可知，DFT是在頻域內(nèi)對(duì)序列傅里葉變換X(ejω)的等間隔取樣，即實(shí)現(xiàn)了頻域抽樣。第四十二頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四要解決的問題：x(n)x(t)fs≥2fm、g(t)X(k)X(ejw)

?、?？時(shí)域抽樣定理：在滿足奈奎斯特定理?xiàng)l件下，時(shí)域抽樣信號(hào)可以不失真地還原原連續(xù)信號(hào)。頻域抽樣呢？X(K)能恢復(fù)X(ejw)嗎？抽樣條件？內(nèi)插公式？第四十三頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.4.1頻域取樣

設(shè)任意序列x(n)存在Z變換，且收斂域包括單位圓在單位圓上對(duì)X(z)進(jìn)行N點(diǎn)等間隔取樣，得到第四十四頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四推導(dǎo)：將X(k)看成是長度為N的有限長序列的DFT，即0≤n≤N-1定義由于所以第四十五頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四代入頻率取樣值，得式中，x(m)＝x(n)由于

所以推導(dǎo)：第四十六頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四

的意義

是原序列x(n)以N為周期的周期延拓序列。時(shí)域的取樣造成頻域的周期延拓，頻域上的取樣，同樣也造成時(shí)域的周期延拓，這正是傅里葉變換時(shí)域和頻域之間對(duì)稱關(guān)系的反映。當(dāng)序列x(n)的長度為M，當(dāng)N<M當(dāng)頻域取樣點(diǎn)數(shù)N≥M時(shí)產(chǎn)出時(shí)域混疊第四十七頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四頻率采樣定理若序列長度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N:時(shí)，可由頻域采樣X(k)不失真地恢復(fù)X(ejw)，否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。注意：對(duì)任意序列作DFT時(shí)，作DFT時(shí)的條件也是N≥M第四十八頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.4.2X(z)的內(nèi)插公式X(z)的內(nèi)插公式即用頻域取樣X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)。

長度為N的序列x(n)，在X(z)單位圓上等間隔取樣N點(diǎn)，得X(k)，則可以從X(k)無失真地恢復(fù)X(ejw)，因而這N個(gè)也應(yīng)該能完全表達(dá)整個(gè)X(z)函數(shù)及頻響X(ejw)

。

把x(n)代入X(z)第四十九頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四X(z)的內(nèi)插公式令內(nèi)插函數(shù)稱為內(nèi)插公式稱為第五十頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四用頻域采樣表示的內(nèi)插公式3.4.3X(ejw)的內(nèi)插公式第五十一頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四第五十二頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.5離散傅里葉變換的應(yīng)用

用DFT計(jì)算線性卷積用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析用DFT對(duì)離散序列進(jìn)行譜分析第五十三頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.5.1用DFT計(jì)算線性卷積設(shè)x1(n)和x2(n)都是長度為L的有限長因果序列，它們的循環(huán)卷積為0≤k≤L-1

LL第五十四頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四用DFT計(jì)算循環(huán)卷積方框圖用L點(diǎn)DFT計(jì)算循環(huán)卷積方框圖*在時(shí)域和頻域都可以計(jì)算循環(huán)卷積，但是當(dāng)L很大時(shí)，在頻域的計(jì)算速度要快得多，因而常用DFT計(jì)算循環(huán)卷積。L點(diǎn)L點(diǎn)第五十五頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四線性卷積計(jì)算？DFT只能直接計(jì)算循環(huán)卷積，不能直接計(jì)算線性卷積，那么線性卷積怎么算？用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積!第五十六頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四兩卷積相等條件的推導(dǎo)假設(shè)h(n)長度為N，x(n)長度為M，則線性卷積為循環(huán)卷積為其中，L≥max[N，M]，L第五十七頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四由上可得因此第五十八頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四

意義yc(n)是yl(n)以L為周期的周期延拓序列的主值序列。

討論：

由于卷積yl(n)的長度為N+M-1，因此當(dāng)循環(huán)卷積的長度L≥N+M-1時(shí)，以L為周期的周期延拓才不會(huì)出現(xiàn)時(shí)域混疊現(xiàn)象，此時(shí)取主值序列顯然滿足yc(n)＝y(tǒng)l(n)。因此：兩個(gè)長度分別為N和M的序列，其線性卷積可用長度為L的循環(huán)卷積來代替，但必須滿足條件

L≥N+M-1第五十九頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件條件：兩個(gè)長度分別為N和M的序列，其線性卷積可用長度為L的循環(huán)卷積來代替，但必滿足條件L≥N+M-1第六十頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四用DFT計(jì)算線性卷積方框圖條件

L≥N+M-1用DFT計(jì)算線性卷積方框圖第六十一頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)N和M相差很大時(shí)當(dāng)N和M相差很大時(shí)，短序列需要補(bǔ)充很多的零點(diǎn)，使得L很大，要求的存儲(chǔ)容量大，運(yùn)算時(shí)間長，很難實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理，特別是序列長度不定或者認(rèn)為是無限長時(shí)，實(shí)時(shí)處理幾乎行不通，此時(shí)，需要用其他的方法來處理，通常采取將長序列分段的方法計(jì)算。具體有重疊相加法和重疊保留法。（自學(xué)）第六十二頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.5.2用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜分析,即求其傅里葉變換：借助計(jì)算機(jī)分析其頻譜時(shí)，需要在時(shí)域和頻域離散化。解析解第六十三頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四原連續(xù)信號(hào)頻譜與對(duì)應(yīng)序列頻譜的關(guān)系：0≤k≤N-1第六十四頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四ΩΩmax連續(xù)信號(hào)譜采樣信號(hào)譜序列的連續(xù)譜序列離散譜Ω第六十五頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四近似譜分析xa(t):持續(xù)時(shí)間有限長，Xa(jΩ)：頻譜無限寬xa(t):持續(xù)時(shí)間無限長，Xa(jΩ)：頻譜有限寬問題：DFT時(shí)域有限長，頻域有限長時(shí)域無限的信號(hào)：截?cái)嗵幚眍l域無限的信號(hào)：先低通濾波，濾除高于折疊頻率的部分處理辦法：無法精確分析！第六十六頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四一、DFT作譜分析時(shí)的過程對(duì)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的DFT逼近過程

1）時(shí)域抽樣 2）時(shí)域截?cái)?3）頻域抽樣第六十七頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四二、用DFT計(jì)算信號(hào)頻譜原理時(shí)域抽樣第六十八頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四用DFT計(jì)算信號(hào)頻譜原理時(shí)域截?cái)嗟诹彭?，共一百一十頁，編輯?023年，星期四N點(diǎn)DFT用DFT計(jì)算信號(hào)頻譜原理頻域采樣第七十頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四近似逼近：Xa(k)是對(duì)Xa(jΩ)的N點(diǎn)的抽樣第七十一頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四三、譜分析的參數(shù)（1）fc：已知信號(hào)最高頻率定義如下參數(shù)：（2）fs：取樣頻率，譜分析的范圍，fs≥2fc（6）F：譜分辨率，指頻域取樣中兩相鄰點(diǎn)的頻率間隔，F(xiàn)越小，譜分辨率越高（3）T：取樣周期（5）Tp：信號(hào)的最小記錄長度（4）N：頻域取樣點(diǎn)數(shù)見圖第七十二頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四四、譜分析參數(shù)選擇原則

總的原則：譜分辨率高（F）譜分析的范圍大（fs）第七十三頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四譜分析參數(shù)間的關(guān)系1參數(shù)間的關(guān)系：fs≥2fc分析：（1）如果保持取樣點(diǎn)數(shù)N不變，要提高譜的分辨率，必須降低取樣頻率，取樣頻率的降低會(huì)引起譜分析范圍減少,還可能引起頻譜混疊。（2）如維持fs不變，為提高譜的分辨率只能增加取樣點(diǎn)數(shù)N。提高譜的分辨率和譜分析的范圍是一對(duì)矛盾。第七十四頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四tp和N可按照下式選擇：≥

總之，為了提高譜分辨率，同時(shí)又照顧到譜分析范圍不減少，必須增長記錄時(shí)間，增加取樣點(diǎn)數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，這種提高譜分辨率的條件是時(shí)域取樣必須滿足取樣定理，甚至選取樣速率fs為信號(hào)最高頻率fc的3-5倍更好。譜分析參數(shù)間的關(guān)系2第七十五頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四（1）時(shí)域取樣間隔(T)應(yīng)足夠小；（2）頻域取樣間隔(F)應(yīng)足夠?。?/p>

（3）DFT的點(diǎn)數(shù)N應(yīng)足夠大；為提高近似精度：（4）截取長度(Tp)應(yīng)足夠大，Tp=NT。第七十六頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四例1：第七十七頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四第七十八頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四練習(xí)若將頻率分辨率提高一倍，同樣分別計(jì)算各參數(shù)？提示：頻率分辨率提高一倍，相當(dāng)于F減少一半。即F＝5HZ第七十九頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四例2：已知某模擬信號(hào)由1.5kHz，2.5kHz和2.75kHz三個(gè)頻率分量組成，采樣頻率fs=8kHz，試求由DFT分析能夠區(qū)分三個(gè)頻率分量的最小采樣長度。解：最小頻率分辨率為：F＝2.75-2.5=0.25kHz第八十頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四例N=30N=20第八十一頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四例3：已知某模擬信號(hào)由三個(gè)幅值為1的正弦信號(hào)組成，頻率分別為1kHz，2.5kHz和3kHz，采樣頻率fs=10kHz，試分別用DFT變換求N＝10，N=20時(shí)信號(hào)的頻譜。分析：要區(qū)分1kHz和2.5kHzN≥fs/1.5=6.6要區(qū)分2.5kHz和3kHzN≥fs/0.5=20第八十二頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四例4有一調(diào)幅信號(hào)

用DFT做頻譜分析，要求能分辨的所有頻率分量，問(1)抽樣頻率應(yīng)為多少赫茲（Hz）?(2)抽樣時(shí)間間隔應(yīng)為多少秒（Sec）?(3)抽樣點(diǎn)數(shù)應(yīng)為多少點(diǎn)？

第八十三頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四（1）抽樣頻率應(yīng)為解：（2）抽樣時(shí)間間隔應(yīng)為第八十四頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四第八十五頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四五、DFT作譜分析時(shí)誤差分析(1)為避免混疊，由抽樣定理可知,須滿足其中，為抽樣頻率；為信號(hào)的最高頻率分量；或者

用DFT計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅氏變換可能造成的誤差：1.混疊現(xiàn)象由時(shí)域采樣產(chǎn)生(2)作抗混疊濾波第八十六頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四如果我們事先不知道信號(hào)的最高頻率，可以根據(jù)信號(hào)的時(shí)域波形圖來估計(jì)它。例如，某信號(hào)的波形如下圖所示。先找出相鄰的波峰與波谷之間的距離，如圖中t1，t2，t3，t4。然后，選出其中最小的一個(gè)如t4。這里,t4可能就是由信號(hào)的最高頻率分量形成的。峰與谷之間的距離就是周期的一半。因此，最高頻率為知道fh后就能確定采樣頻率第八十七頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四圖估算信號(hào)最高頻率fh

第八十八頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四2.截?cái)嘈?yīng)頻譜泄漏N=32N=641）造成頻譜泄漏2）增加信號(hào)的長度不能減少頻譜泄露3）改變窗型可減少頻譜泄露第八十九頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四頻譜泄露、譜間干擾2.截?cái)嘈?yīng)矩形窗N=50哈明窗N=50改變窗型可減少頻譜泄露、譜間干擾第九十頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四頻譜泄漏、譜間干擾2.截?cái)嘈?yīng)例:N=30N=20增加窗口長度可以提高譜的分辨率第九十一頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四改善方法：1）增加窗長度2）改變窗形2.截?cái)嘈?yīng)第九十二頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.柵欄效應(yīng)改善方法：增加頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N（時(shí)域補(bǔ)零），使譜線更密DFT只計(jì)算離散點(diǎn)（基頻F的整數(shù)倍處）的頻譜，而不是連續(xù)函數(shù)第九十三頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.5.3用DFT對(duì)序列進(jìn)行譜分析

直接對(duì)序列作DFT.第九十四頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.6Matlab實(shí)現(xiàn)

DFT物理意義的Matlab實(shí)現(xiàn)用DFT計(jì)算線性卷積的Matlab實(shí)現(xiàn)頻域取樣定理的Matlab實(shí)現(xiàn)高密度譜與高分辨率譜差異的Matlab實(shí)現(xiàn)第九十五頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.6.1DFT物理意義的Matlab實(shí)現(xiàn)序列的N點(diǎn)DFT的物理意義:對(duì)X(ejω)在[0，2π]上進(jìn)行N點(diǎn)的等間隔取樣。函數(shù)fft用于快速計(jì)算離散傅里葉變換，調(diào)用方式為>>y=fft(x);>>y=fft(x,N);y=fft(x)利用FFT算法計(jì)算序列x的離散傅里葉變換。y=fft(x,N)采用N點(diǎn)FFT。當(dāng)序列x長度小于N時(shí)，函數(shù)fft自動(dòng)對(duì)序列尾部補(bǔ)零，構(gòu)成N點(diǎn)數(shù)據(jù)；當(dāng)x長度大于N時(shí)，函數(shù)fft自動(dòng)截取序列前面N點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT。第九十六頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四例1：計(jì)算R4(n)的頻譜。clear;xn=[1111];Xk=fft(xn,512);Xk16=fft(xn,16);Xk32=fft(xn,32);k=0:15;wk=2*k/16;subplot(3,2,1);stem(wk,abs(Xk16),'.');以下為繪圖程序略第九十七頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.6.2頻域采樣定理的驗(yàn)證M=26;N=32;n=0:M;xa=0:M/2;xb=ceil(M/2)-1:-1:0;xn=[xa,xb];Xk=fft(xn,512);X32k=fft(xn,32);X16k=X32k(1:2:N);x32n=ifft(X32k);x16n=ifft(X16k,N/2);subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.')以下是繪圖程序略第九十八頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四結(jié)果圖第九十九頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四3.6.3用DFT計(jì)算線性卷積的Matlab實(shí)現(xiàn)函數(shù)ifft用于快速計(jì)算向量或矩陣的離散傅里葉逆變換，與函數(shù)fft的調(diào)用規(guī)則基本相同。調(diào)用方式為>>y=ifft(x);>>y=ifft(x,N);第一百頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四例：利用FFT實(shí)現(xiàn)線性卷積例利用FFT實(shí)現(xiàn)線性卷積。已知序列x(n)=R4(n)，求：（1）用conv函數(shù)求x(n)與x(n)的線性卷積y(n)，并繪出圖形；（2）用FFT求x(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積y1(n)，并繪出圖形；（3）用FFT求x(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積y2(n)，并將結(jié)果與（1）比較，說明線性卷積與循環(huán)卷積之間的關(guān)系。

解程序如下：

第一百零一頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四>>N1=4;N2=8;n1=0:1:N1-1;n2=0:1:N2-1;x=[1,1,1,1];%構(gòu)造序列x(n)x1=[1,1,1,1,0,0,0,0];%在序列x(n)后補(bǔ)4個(gè)零figure(1)subplot(2,2,1)stem(n1,x),gridon;title('序列x(n)')y1=conv(x,x);%y1為x(n)與x(n)的線性卷積subplot(2,2,2)stem(0:1:length(y1)-1,y1),gridon;title('x(n)與x(n)線性卷積')第一百零二頁，共一百一十頁，編輯于2023年，星期四X2=fft(x);%計(jì)算x(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積Y2=X2.*X2;y2=ifft(Y2);subplot(2,2,3)stem(n1,y2),gridon;title('x(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積')X3=fft(x1);%計(jì)算x(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積Y3=X3.*X3;y3=ifft(Y3)subplot(2,2,4)stem(n2,y