第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性

第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性考試要求1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性.知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識(shí)梳理1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有____________，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于______對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有_______________，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于______對(duì)稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點(diǎn)(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的______正周期.2.函數(shù)的周期性最小常用結(jié)論1.(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.3.函數(shù)周期性常用結(jié)論4.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論 (1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱. (2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱. (3)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.×診斷自測(cè)解析(1)由于偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)錯(cuò)誤.(2)由奇函數(shù)定義可知，若f(x)為奇函數(shù)，且在x＝0處有意義時(shí)才滿足f(0)＝0，(2)錯(cuò)誤.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)×√√BA.y＝x2sinx B.y＝x2cosxC.y＝|lnx| D.y＝2－x2.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(

)解析根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A選項(xiàng)為奇函數(shù)；B選項(xiàng)為偶函數(shù)；C選項(xiàng)的定義域?yàn)?0，＋∞)，不具有奇偶性；D選項(xiàng)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).BA.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1解析因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，C解析設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－x－3.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝x＋3.5.(易錯(cuò)題)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x－3，則函數(shù)

f(x)的解析式為___________________.解析∵f(x)＝ex＋eax是偶函數(shù)，∴f(1)＝f(－1)，得e＋ea＝e－1＋e－a，則a＝－1，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝－1時(shí)，符合題意.6.(2022·西安質(zhì)檢)已知f(x)＝ex＋eax是偶函數(shù)，則f(x)的最小值為________.2當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào).故函數(shù)f(x)的最小值為2.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷例1

判斷下列函數(shù)的奇偶性：解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∵x<0時(shí)，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；∵x>0時(shí)，－x<0，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝f(x).綜上，f(x)為偶函數(shù).判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.感悟提升解析A中，y＝xsinx為偶函數(shù).B中，函數(shù)y＝xlnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，非奇非偶函數(shù).訓(xùn)練1

(1)(2021·百校聯(lián)盟質(zhì)檢)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(

)B解析令F1(x)＝f(x)g(x)，∴F1(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F1(x)，∴F1(x)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；令F2(x)＝|f(x)g(x)|，∴F2(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝F2(x)，∴F2(x)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；(2)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域?yàn)镽，有f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)g(x)是偶函數(shù)

B.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)C.|f(x)|g(x)是偶函數(shù)

D.f(|x|)g(x)是奇函數(shù)C令F3(x)＝|f(x)|g(x)，∴F3(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F3(x)，∴F3(x)為偶函數(shù)，故C正確；令F4(x)＝f(|x|)g(x)，∴F4(－x)＝f(|－x|)g(－x)＝f(|x|)g(x)＝F4(x)，∴F4(x)為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.角度1求函數(shù)值考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用A.8 B.－8 C.4 D.－4DA.e－x－1 B.e－x＋1C.－e－x－1 D.－e－x＋1例3

設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex－1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝(

)角度2求函數(shù)解析式D解析當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.解析法一因?yàn)閒(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域?yàn)镽，且是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)對(duì)任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)對(duì)任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0對(duì)任意的x∈R恒成立，所以a＝1.例4

(2021·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝________.角度3求參數(shù)的值1法二因?yàn)閒(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域?yàn)镽，且是偶函數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數(shù)，所以a＝1.利用函數(shù)的奇偶性可以解決以下問(wèn)題：(1)求函數(shù)值；(2)求解析式；(3)求參數(shù)值；(4)畫函數(shù)圖象；(5)求一些特殊結(jié)構(gòu)式的值.感悟提升解析因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，則f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.訓(xùn)練2

(1)已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋m，則f(－3)＝________.-7(2)已知函數(shù)f(x)＝asinx＋btanx＋1，若f(a)＝－2，則f(－a)＝________.4解析令g(x)＝asinx＋btanx，則g(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝g(x)＋1.∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.考點(diǎn)三函數(shù)的周期性及其應(yīng)用C解析因?yàn)閒(x＋2π)＝f(x)，所以f(x)的周期為2π，解析∵f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)的周期為4，f(2024)＝f(0)＝－f(2)＝－(22＋log22)＝－5.2.(2022·成都診斷)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－f(x＋2)，當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，f(x)＝2x＋log2x，則f(2024)等于(

)D1解析因?yàn)楫?dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)＝0，則f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)有7個(gè).4.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.71.求解與函數(shù)的周期有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題.感悟提升角度1單調(diào)性與奇偶性考點(diǎn)四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用解析易知g(x)＝xf(x)在R上為偶函數(shù)，∵奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，則c>a>b.例5

(1)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(

) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<aC解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)f(x－1)的大致圖象如圖(2)所示.(2)(2020·新高考卷)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是(

)A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]D當(dāng)x≤0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當(dāng)x>0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪[1，3].1.比較函數(shù)值的大小問(wèn)題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?.對(duì)于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1<x2(或x1>x2)求解.感悟提升解析當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝lnx＋ex為增函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則a＝f(－π)＝f(π).又π>3>log23>1>2－0.2>0，∴f(π)>f(log23)>f(2－0.2)，∴a>b>c.訓(xùn)練3

(1)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝lnx＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，則a，b，c的大小關(guān)系為(

) A.b>a>c B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>bC(2)(2021·汕頭聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝0，則不等式f(log2x)>0的解集為________________.解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(x)＝f(|x|).又f(2)＝0，所以不等式f(log2x)>0等價(jià)于f(|log2x|)>f(2).又函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以|log2x|>2，所以log2x>2或log2x<－2，解析依題意，知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，則f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函數(shù)，且周期為4.又2<log25<3，則－1<2－log25<0，所以f(log220)＝f(2＋log25)＝f(log25－2)＝－f(2－log25)＝－(22－log25－1)例6(1)(2021·貴陽(yáng)調(diào)研)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＝f(x)，且當(dāng)－1≤x<0時(shí)，f(x)＝2x－1，則f(log220)＝(

)角度2奇偶性與周期性B解析∵f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期為4.由f(－x)＝f(2＋x)，令x＝0，得f(0)＝f(2)＝0，∴f(4)＝f(0)＝0.又f(1)＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3，∴f(－1＋4)＝f(3)＝f(－1)＝－3，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝3.(2)(2022·長(zhǎng)春模擬)已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(－x)＝f(2＋x)，若f(1)＝3，則f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝________.3周期性與奇偶性結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.感悟提升解析∵f(0)＝20＋a＝0，∴a＝－1.∵f(x＋4)＝f(x－4)，∴f(x＋4＋4)＝f(x＋4－4)＝f(x)，∴f(x)的周期為8，f(15)＝f(7＋8)＝f(7)＝f(－1＋8)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，解析由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4.又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，A解析∵f(x－1)為奇函數(shù)，∴f(x－1)的圖象關(guān)于(0，0)對(duì)稱，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，0)對(duì)稱.例7

函數(shù)f(x)滿足f(x－1)為奇函數(shù)，f(x＋1)為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是________(填序號(hào)).①f(x)的周期為8；②f(x)關(guān)于點(diǎn)(－1，0)對(duì)稱；③f(x)為偶函數(shù)；④f(x＋7)為奇函數(shù).角度3奇偶性與對(duì)稱性①②④又f(x＋1)為偶函數(shù)，∴f(x＋1)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，0)和直線x＝1對(duì)稱，∴f(x)的周期為8，∴①②正確，③不正確.∵T＝8，∴f(x＋7)＝f(x－1)，又f(x－1)為奇函數(shù)，∴f(x＋7)為奇函數(shù)，故④正確.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.感悟提升解析由函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故f(x)為偶函數(shù).由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函數(shù)，所以f(2021)＝f(5＋252×8)＝f(5)＝f(－5)＝2.訓(xùn)練5

已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f(x＋4)＝－f(x)，若函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，f(－5)＝2，則f(2021)＝________.2解析f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－3對(duì)稱，則f(－x)＝f(x－6).又f(x＋3)＝f(x－3)，則f(x)的周期T＝6，∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，故①正確；例8

已知f(x)的定義域?yàn)镽，其函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝－3對(duì)稱，且f(x＋3)＝f(x－3)，若當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)＝2x＋1，則下列結(jié)論正確的是________(填序號(hào)).①f(x)為偶函數(shù)；②f(x)在[－6，－3]上單調(diào)遞減；③f(x)關(guān)于直線x＝3對(duì)稱；④f(100)＝5.角度4奇偶性、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用①③④當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)＝2x＋1單調(diào)遞增，∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也單調(diào)遞增，故②不正確；f(x)關(guān)于直線x＝－3對(duì)稱且T＝6，∴f(x)關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，故③正確；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝5，故④正確.函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性來(lái)確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題.感悟提升解析依題意，f(x)的周期為8，且f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，∴f(x)在[－2，2]上單調(diào)遞增.又f(－80)＝f(0)，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝f(1)，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(－80)<f(11).訓(xùn)練6

函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足f(x－4)＝－f(x)，f(x－4)＝f(－x)，且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x＋log2x，則f(－80)，f(－25)，f(11)的大小關(guān)系為____________________.f(－25)<f(－80)<f(11)抽象函數(shù)微點(diǎn)突破

我們把不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特殊的性質(zhì)稱為抽象函數(shù)，一般用y＝f(x)表示，抽象函數(shù)問(wèn)題可以全面考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，將函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖象集于一身，是考查函數(shù)的良好載體.解析對(duì)于函數(shù)y＝f(2x)，－1≤x≤1，例1

若函數(shù)f(2x)的定義域是[－1，1]，則f(log2x)的定義域?yàn)開_______.(1)求f(1)，f(－1)的值；例2

已知函數(shù)f(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立.解令a＝1，b＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.令a＝b＝－1，∴f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝0.解令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p，令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均為常數(shù))，求f(36)的值.(1)求f(1)的值；例3

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0}，且滿足對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).解因?yàn)閷?duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.解f(x)為偶函數(shù)，證明如下：f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).解依題設(shè)有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函數(shù)，所以f(x－1)<2等價(jià)于f(|x－1|)<f(16).又f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴0<|x－1|<16，∴－15<x<17且x≠1，∴x的取值范圍為(－15，1)∪(1，17).(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，求x的取值范圍.函數(shù)性質(zhì)中的二級(jí)結(jié)論拓展視野函數(shù)這一章，常見的二級(jí)結(jié)論比較多，如果我們能夠靈活地運(yùn)用這些結(jié)論解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程，提高解題速度和準(zhǔn)確性.一、奇函數(shù)的最值性質(zhì)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，則f(0)＝0.解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，2所以g(x)為奇函數(shù).由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.二、函數(shù)的周期性解析由函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故f(x)為偶函數(shù).2所以f(x)是最小正周期為8的偶函數(shù)，所以f(17)＝f(1＋2×8)＝f(1)＝2.三、函數(shù)的對(duì)稱性①f(4)＝0；②f(x)是以4為周期的函數(shù)；③f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱；④f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱.A.1 B.2 C.3 D.4例3

設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，則下面關(guān)于f(x)的判定中正確命題的個(gè)數(shù)為(

)C解析因?yàn)閒(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，f(4)＝f(0)＝0.因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，所以f[(x＋1)＋1]＝f(－x)，令t＝x＋1，則f(t＋1)＝f(1－t)，所以f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，而f(2＋x)＝f(2－x)顯然不成立.故正確的命題是①②③.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固A.y＝|log3x| B.y＝x3 C.y＝e|x| D.y＝cos|x|1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0，1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是(

)C解析對(duì)于A，函數(shù)定義域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函數(shù)，對(duì)于B，y＝x3是奇函數(shù).對(duì)于C，函數(shù)的定義域是R，是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故在(0，1)上單調(diào)遞增，對(duì)于D，y＝cos|x|在(0，1)上單調(diào)遞減.A.－3 B.0 C.1 D.32.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，則f(2022)＝(

)B解析由于f(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝f(3－x)，∴f(3＋x)＝f(－x)＝－f(x)，從而知周期T＝6，∴f(2022)＝f(0)＝0.A.－2 B.0 C.1或－1 D.2CA.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<cA解析∵f(x＋1)為偶函數(shù)，∴f(x＋1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.∵x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，∴x∈(－∞，1)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，DA.(－3，0) B.(－1，0) C.(0，3) D.(1，2)6.(2022·成都診斷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)＋2x－a，則滿足f(x2－3x－1)＋2<0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(

)C解析函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則有f(0)＝0，即f(0)＝log21＋20－a＝0，解得a＝1，則當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)＋2x－1，則有f(1)＝log22＋21－1＝2.而函數(shù)y＝log2(x＋1)和函數(shù)y＝2x－1都是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)＋2x－1在[0，＋∞)上單調(diào)遞增.又函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(－∞，0]上也單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).f(x2－3x－1)＋2<0?f(x2－3x－1)＋f(1)<0?f(x2－3x－1)<－f(1)?f(x2－3x－1)<f(－1)?x2－3x－1<－1?x2－3x<0，解得0<x<3，即x的取值范圍為(0，3).解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，則有f(x)＝f(6－x).又由函數(shù)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，則f(x)＝－f(－x)＝－f(6＋x)，則f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.7.已知奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)＝－x，則f(－16)＝________.2解析由題意，f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)，f(8)＝f(9－1)＝f(－1)＝－f(1).又∵f(－2)＝2f(8)＋1，8.(2022·西安模擬)已知f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(－2)＝2f(8)＋1，則f(2023)＝________.解析由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[(x＋1)－1]＝f(x)，所以f(x)是周期為2的周期函數(shù).又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，解得a＝2.5.2.5(1)求實(shí)數(shù)m的值；解設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.解要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.所以1<a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，3].(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；11.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x).當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－x2.證明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù).解∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－