第04章 計算機輔助設(shè)計-2

第4章計算機輔助

設(shè)計(2)ⅣComputerAidedDesign(CAD)4.3.4

數(shù)據(jù)的公式擬合方法

在實際工程問題中，時常需要用一定的數(shù)學(xué)方法將一系列測試數(shù)據(jù)或統(tǒng)計數(shù)據(jù)擬合成近似的經(jīng)驗公式，這種建立經(jīng)驗公式的過程也稱為曲線擬合，或稱數(shù)據(jù)公式化。

工程應(yīng)用中，一般采用最小二乘法多項式擬合。所求曲線并不要求嚴格通過所有結(jié)點，而是盡可能反映所給數(shù)據(jù)的趨勢。下面介紹：

曲線擬合，目前一般采用最小二乘法擬合。

擬合公式的類型通?？梢赃x取線性方程、代數(shù)多項式或一些初等函數(shù)。這一工作由編程人員根據(jù)線圖或?qū)嶒灁?shù)據(jù)分布形態(tài)來決定?！?/p>

最小二乘法的多項式擬合●

最小二乘法的其他函數(shù)的擬合1.最小二乘法的多項式擬合已知：由線圖或?qū)嶒炈胢

個點的值：圖4-12

最小二乘法多項式擬合用一個n

次多項式

y(x)

來擬合，如圖4-12所示，設(shè)擬合公式為：（4-10）

而且m>>n

，則每一結(jié)點處的偏差為：

為獲得最佳擬合曲線，根據(jù)最小二乘法原理，即要求每一結(jié)點的偏差Di

的平方和最小，則結(jié)點偏差的平方和為：（4-11）這表明偏差平方和是系數(shù)

的函數(shù)。為使其最小，取對各自變量的偏導(dǎo)數(shù)等于零：求各偏導(dǎo)數(shù)并經(jīng)整理得到：（4-12）令得即（4-13）亦可寫成下面的方程組：（4-13）

上式中待求的系數(shù)

共有(n+1)

個，

方程也是(n+1)個，因此組成線性聯(lián)立方程組，

解此線性聯(lián)立方程，即可求得多項式

y(x)

中的各項系數(shù)。

在求得多項式y(tǒng)(x)

中的各項系數(shù)后，

n

次多項式(4-10)便確定：

例4-4有一組實驗數(shù)據(jù)，如下表

4-c

所示，它有7個點，現(xiàn)要求用二次多項式擬合。表4-c

一組實驗數(shù)據(jù)

點號1234567Xi-3-2-10123Yi4230-1-2-5解：

設(shè)經(jīng)驗公式為：

根據(jù)上述實驗數(shù)據(jù)及經(jīng)驗公式可知：m＝7，n＝2

，代入式(4-12)，得以下三個方程：

j＝0時

j＝1時

j＝2時把Xi，Yi

用上表中的值代入，得求解得：最后得到擬合的經(jīng)驗公式為

工程中設(shè)計資料中的很多經(jīng)驗公式，就是對實驗獲得的數(shù)據(jù)數(shù)表通過曲線擬合的方法得來的。2.最小二乘法的其他函數(shù)的擬合除代數(shù)多項式外，根據(jù)情況還可采用：

(1)冪函數(shù)

(2)指數(shù)函數(shù)

(3)對數(shù)函數(shù)（4-14）（4-15）（4-16）

例如，若已知m

組數(shù)據(jù)

，i＝1，2，…，m，假設(shè)所擬合的指數(shù)函數(shù)曲線形式為：lgy=lga+blgx（2-17）令：（2-19）（2-18）對上式指數(shù)函數(shù)兩邊取對數(shù)，得

先將已知數(shù)據(jù)

代入式(2-19)中，求得相應(yīng)的值，再代入式得到在對數(shù)坐標系中的一個線性方程。與多項式曲線擬合相似，采用最小二乘法就可以得到上式中的系數(shù)

v

和b，再由lga

＝v

求得系數(shù)

a

。代入上式，得（2-20）4.3.5

數(shù)據(jù)文件及其應(yīng)用

將數(shù)據(jù)以數(shù)組的形式存入計算機內(nèi)存中，雖然解決了數(shù)表和線圖在CAD計算程序中的存儲和檢索問題，但存在下列不足：

(1)需要占用大量的內(nèi)存。

(2)前述數(shù)據(jù)的存取方法，包括公式化處理，其處理后的數(shù)表和線圖與特定的CAD計算程序相聯(lián)，使得這些數(shù)表和線圖只能在該程序中使用，不能被其他程序共享。因此，前述數(shù)據(jù)的處理方法一般只適用于使用數(shù)表和線圖較少的簡單程序。為了克服這種方法的不足，較為完善的方法是將數(shù)據(jù)與計算程序分開、單獨建立數(shù)據(jù)文件。

文件是信息（數(shù)據(jù)與字符）的集合。將數(shù)表和線圖中的數(shù)據(jù)按指定的文件名存放在計算機外存儲裝置（磁盤、磁帶等）上，就可建立用戶的數(shù)據(jù)文件，當CAD計算程序需要使用到某一個數(shù)表或線圖中的數(shù)據(jù)時，只需用適當?shù)某绦蛘Z句（文件操作語句）將它們從外存中調(diào)入計算機內(nèi)存。

建立數(shù)據(jù)文件的方法不僅解決了前述方法存儲數(shù)據(jù)時需要占用大量內(nèi)存的問題，而且可使數(shù)據(jù)文件獨立于計算程序，且一個數(shù)據(jù)文件可供不同的計算程序調(diào)用，較好地解決了數(shù)據(jù)的共享問題。圖4-f

數(shù)據(jù)文件的調(diào)用示意圖4.4

機械工程數(shù)據(jù)庫的創(chuàng)建與應(yīng)用

數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)是在文件系統(tǒng)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一門新型數(shù)據(jù)管理技術(shù)。它是一種能夠“管理大量的、持久的、可靠的、共享的數(shù)據(jù)的工具”。

數(shù)據(jù)庫技術(shù)不僅可以處理CAD系統(tǒng)的大量工程數(shù)據(jù)，而且大大完善和提高了CAD系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理的效率和可靠性。因此，數(shù)據(jù)庫已經(jīng)成為現(xiàn)代CAD系統(tǒng)不可缺少的重要組成部分。4.4.1

數(shù)據(jù)庫與數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)在現(xiàn)代CAD系統(tǒng)中，為了適應(yīng)CAD作業(yè)的需要，須把各類工程數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和文件組織方式建立起數(shù)據(jù)庫及其管理系統(tǒng)。下面簡要介紹一下數(shù)據(jù)庫與數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)。

?

數(shù)據(jù)庫及其特點

?常用的數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)

所謂數(shù)據(jù)庫就是一個存儲著關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集合。它由一系列各種組織形式的數(shù)據(jù)文件組成。1.

數(shù)據(jù)庫及其特點圖4-g

數(shù)據(jù)庫與應(yīng)用程序

數(shù)據(jù)庫是在文件系統(tǒng)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。與文件系統(tǒng)不同，數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)的工作模式如下圖4-b所示，即在數(shù)據(jù)系統(tǒng)中，應(yīng)用程序并不直接操作數(shù)據(jù)庫，而是通過數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)(DBMS)對數(shù)據(jù)庫進行操作。

與文件系統(tǒng)相比，數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)具有以下特點：

（1）實現(xiàn)了數(shù)據(jù)共享，減少了數(shù)據(jù)冗余。

（2）數(shù)據(jù)存儲結(jié)構(gòu)化。

（3）增強了數(shù)據(jù)的獨立性。（4）加強了對數(shù)據(jù)的保護。

數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)是建立、使用、管理和維護數(shù)據(jù)庫的軟件，實現(xiàn)對數(shù)據(jù)庫的安全性、完整性和保密性的統(tǒng)一控制。

2.

常用的數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)目前流行的數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)很多，諸如：?

dBASE；

?

FOXBASE；

?

FOXPRO；

?

ORACLE等。但它們都屬于事務(wù)管理型關(guān)系數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)，更適合于管理科學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域。由于CAD作業(yè)所涉及的數(shù)據(jù)較為復(fù)雜，因而真正面向CAD系統(tǒng)的工程數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)(EDBMS)還有待進一步的開發(fā)。4.4.2

關(guān)系數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)應(yīng)用實例簡介

l.

電子表格處理軟件Excel

在計算機提供的海量表格上填寫內(nèi)容，進行數(shù)據(jù)處理和數(shù)據(jù)分析，內(nèi)置函數(shù)用于求和、求平均值、計算三角函數(shù)等操作。

建立數(shù)據(jù)庫：Excel數(shù)據(jù)庫是按行和列組織起來的信息集合，每行稱為一個記錄，每列稱為一個字段；對數(shù)據(jù)庫的記錄進行查詢、排序、匯總等操作。

進行數(shù)據(jù)分析：只需為每一個分析工具提供必要的數(shù)據(jù)和參數(shù)，該工具就會使用適宜的統(tǒng)計或工程函數(shù)，在輸出表格中顯示相應(yīng)的結(jié)果。其中的一些工具在生成輸出表格時還能同時產(chǎn)生圖表。可從其它的數(shù)據(jù)庫（Access，F(xiàn)oxPro，SQLServer等）引入數(shù)據(jù)。2.

數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)Access

(1)無須編寫代碼，只要通過直觀的可視化操作，就能完成大部分數(shù)據(jù)管理工作。

(2)能夠與word、Excel等辦公軟件進行數(shù)據(jù)交換。

(3)在“向?qū)А钡囊龑?dǎo)下，操作者能夠快速完成基本數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)的設(shè)計。

(4)支持開放數(shù)據(jù)庫接口OBDC，這就意味著Access能同其它數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)進行數(shù)據(jù)交換。通過文本類型數(shù)據(jù)的導(dǎo)入，可以實現(xiàn)數(shù)據(jù)庫與高級程序設(shè)計語言之間的聯(lián)接。

Access是MicrosoftOffice

中的一個組件，是Windows下的一個功能強大的桌面數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)。

它的主要特點包括：

在Access

中，創(chuàng)建數(shù)據(jù)庫有兩種方法：

第一種，使用“數(shù)據(jù)庫向?qū)А保冗x擇一種數(shù)據(jù)庫類型，在向?qū)У囊龑?dǎo)下完成數(shù)據(jù)庫的基本建設(shè)；

第二種，建立空數(shù)據(jù)庫，然后向其中添加表、窗口、報表等對象。無論采用哪種方法，在建立數(shù)據(jù)庫之后，都需要對數(shù)據(jù)庫進行修、改、增、刪等操作。進行數(shù)據(jù)庫設(shè)計的主要內(nèi)容是根據(jù)需求確定數(shù)據(jù)庫中的表、定義表之間的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上完成各種查詢和報表的設(shè)計。4.4.3工程數(shù)據(jù)庫

數(shù)據(jù)庫技術(shù)

最初主要是應(yīng)用于事務(wù)管理領(lǐng)域。隨著CAD/CAM技術(shù)的發(fā)展，它開始應(yīng)用于工程中，出現(xiàn)了工程數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)(EDBMS)。

目前，工程數(shù)據(jù)技術(shù)還不十分成熟。因此，研究開發(fā)適應(yīng)CAD/CAM系統(tǒng)工程應(yīng)用特點的工程數(shù)據(jù)管理系統(tǒng)已是一項十分重要的課題。

?

工程數(shù)據(jù)類型及特點

?

EDBMS設(shè)計應(yīng)考慮的問題

?

工程數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)（EDBMS）的開發(fā)方法

在事務(wù)型管理領(lǐng)域中，數(shù)據(jù)類型是比較單一的，主要是文字型，且呈靜態(tài)。而在工業(yè)領(lǐng)域中，由于數(shù)據(jù)庫要支持整個生產(chǎn)過程，因此數(shù)據(jù)是非常復(fù)雜的。工程數(shù)據(jù)類型主要有4種：

(1)管理型數(shù)據(jù)主要包括產(chǎn)品設(shè)計與制造種所用到的數(shù)據(jù)資料。如各種技術(shù)資料、標準等。數(shù)據(jù)相對穩(wěn)定。

(2)設(shè)計型數(shù)據(jù)指在工業(yè)設(shè)計與制造中產(chǎn)生的數(shù)據(jù)。例如：設(shè)計的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)、加工工藝路線等。1.工程數(shù)據(jù)類型及特點

(3)圖形數(shù)據(jù)

包括各種工程圖表，二維工程圖形，三維集合造型等數(shù)據(jù)，這類數(shù)據(jù)也是呈動態(tài)的。

(4)各種軟件包

是指一些能夠獨立處理局部設(shè)計的工程計算或圖形處理軟件。如有限元分析、強度校核、三維圖形顯示等。這類數(shù)據(jù)具有獨立功能，在必要時可以被激活。

設(shè)計型數(shù)據(jù)的特點有以下幾點：

●數(shù)據(jù)是動態(tài)的，預(yù)先人們不知，只是在設(shè)計過程中才產(chǎn)生。

●基于設(shè)計-評價-再設(shè)計的典型工業(yè)設(shè)計流程，使設(shè)計型數(shù)據(jù)頻繁改動。

2.

EDBMS設(shè)計應(yīng)考慮的問題

基于工程數(shù)據(jù)的復(fù)雜性，故在EDBMS設(shè)計中應(yīng)考慮以下幾個方面的問題：

(1)

數(shù)據(jù)類型的多樣性由于工程數(shù)據(jù)中可以是文字型、設(shè)計型、圖形數(shù)據(jù)、各種軟件包以及它們的組合類型，因此要求EDBMS能夠存儲及處理多種數(shù)據(jù)類型。

(2)數(shù)據(jù)模型復(fù)雜性傳統(tǒng)的三種數(shù)據(jù)模型（層次型、網(wǎng)絡(luò)型及關(guān)系型）在工程應(yīng)用中均不能滿足工程數(shù)據(jù)處理及管理的需要。因此，在工程數(shù)據(jù)庫文件中，數(shù)據(jù)模型應(yīng)在原有的三個傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上加以擴充或?qū)⑺鼈儼凑占蟹绞浇M合，以滿足數(shù)據(jù)與關(guān)系的復(fù)雜性。

(4)

界面設(shè)計在管理型數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)中，其界面是以人-機對話方式對數(shù)據(jù)庫進行操作，而在EDBMS中，設(shè)計者以交互方式進行操作、檢索數(shù)據(jù)庫和激活某一軟件包。

(3)概念模式的動態(tài)性由于工程數(shù)據(jù)的動態(tài)性，存儲數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)也應(yīng)隨之呈動態(tài)性，因而概念模式也必須是呈動態(tài)的。3.

工程數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)的開發(fā)方法

目前，工程數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)(EDBMS)的開發(fā)方法有以下三種：

(1)

一般數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)與圖形文件系統(tǒng)相結(jié)合

這種方法是利用一般數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)的優(yōu)點，輔之以圖形處理的手段，從而集成為一個工程數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)。這樣，對于設(shè)計中的非圖形數(shù)據(jù)，可以方便地由一般數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)進行管理，而涉及的圖形數(shù)據(jù)，可以利用圖形文件系統(tǒng)進行管理。

(2)

擴展已有的

DBMS

利用已有的某個DBMS為核心，按照CAD工程應(yīng)用的要求，擴展完善成一個EDBMS。

(3)自行開發(fā)

這種方法是將CAD以及工程應(yīng)用的特殊需要融于DBMS

內(nèi)部，用統(tǒng)一的方式來存取、修改圖形數(shù)據(jù)和非圖形數(shù)據(jù)。

該方法雖是一條比較徹底、比較全面地解決CAD

以及工程應(yīng)用中數(shù)據(jù)管理的方法，但設(shè)計和實現(xiàn)這樣EDBMS，是一項非常復(fù)雜而龐大的工作，況且在這個領(lǐng)域中，現(xiàn)在還沒有形成很成熟的基礎(chǔ)。4.5

計算機圖形處理與三維造型

CAD工作中的人機交換信息，主要是通過圖形功能來實現(xiàn)。一方面，設(shè)計對象的幾何形狀必須采用圖形進行描述；另一方面，圖形又是表達和傳遞信息的有效形式。目前，CAD技術(shù)在我國的應(yīng)用有如下三種基本方式：

(1)直接采用二維CAD軟件繪制工程圖。

(2)軟件二次開發(fā)。即在二維CAD軟件的基礎(chǔ)上，采用編程的方法，為特定的產(chǎn)品專門開發(fā)具有參數(shù)化設(shè)計功能的軟件，以加快了特定產(chǎn)品的開發(fā)速度。

(3)三維參數(shù)化設(shè)計。4.5.1計算機繪制工程圖的常用方法

(1)參數(shù)化繪圖

參數(shù)化繪圖方法就是通過編制繪圖程序來構(gòu)成圖形。這種繪圖方法適用于結(jié)構(gòu)形狀基本固定而結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)變化的圖形輸入。

該法優(yōu)點是圖形生成效率較高，其缺點是要求用戶必須掌握程序設(shè)計語言和方法，且編程復(fù)雜。目前，實現(xiàn)計算機繪圖的方法主要有兩種：●

參數(shù)化繪圖●交互式繪圖

圖4-h為參數(shù)化繪圖。

圖4-h(a)所示圖形的基本參數(shù)為D1,D2,D3,L1和L2，當參數(shù)的數(shù)值發(fā)生變化時，輸出的圖形也隨之變化，如圖4-h(b)所示。(a)(b)圖4-h參數(shù)化繪圖(2)交互式繪圖

交互式繪圖方法，就是通過交互式繪圖軟件所提供的各種繪圖命令、菜單可方便、迅速在計算機屏幕上構(gòu)成圖形，并可將圖形信息存于磁盤，以供再用或可繼續(xù)對圖形進行編輯和修改。

這種繪圖方法的優(yōu)點，是無需編程即可生成圖形，用戶使用簡單方便。其缺點是所生成的圖形無法實現(xiàn)參數(shù)化，另對較為復(fù)雜的圖形輸入則效率很低。目前最常用的典型交互式繪圖軟件如AutoCAD、PICAD等。

計算機繪圖的主要任務(wù)是研究如何利用計算機來處理和繪制工程圖紙，其具體內(nèi)容包括：

●圖形輸入

●圖形的生成、顯示和輸出

●圖形處理所需要的數(shù)學(xué)處理方法及算法

●解決工程實際應(yīng)用中的圖形處理問題

●

應(yīng)用軟件工程的方法設(shè)計繪圖軟件和管理系統(tǒng)4.5.2坐標系

圖形的描述和輸入輸出都是在一定的坐標系中進行的，因而，應(yīng)根據(jù)不同的需要，建立不同的坐標系以及它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，最終使圖形顯示于屏幕上。

在計算機繪圖中，共涉及到的坐標系包括下列三種：

●

用戶坐標系●

設(shè)備坐標系

●

規(guī)格化坐標系1.用戶坐標系

它是由用戶定義的應(yīng)用坐標系，是一個二維或三維的直角坐標系，如圖4-14所示。

它用來定義用戶在二維或三維世界中的物體，又稱世界坐標系。

用戶坐標系的取值范圍是無限的，與任何物理設(shè)備無關(guān)。

用戶的圖形定義均在這個坐標系中完成。在應(yīng)用程序中所描述的圖形（包括點、線段和字符等）均是在用戶坐標系中進行定義的。圖4-14用戶坐標系2.設(shè)備坐標系

圖形輸出設(shè)備（如顯示器，繪圖機）自身都有一個坐標系，稱為設(shè)備坐標系或物理坐標系。

設(shè)備坐標系是一個二維平面坐標系，如圖4-14(c)所示。它的度量單位是象素（顯示器）或步長（繪圖機），因此它的取值范圍是有界的且為整數(shù)。例如，對顯示器而言，分辨率就是其設(shè)備坐標的界限范圍。3.規(guī)格化坐標系

由于用戶的圖形是定義在用戶坐標系里，而圖形的輸出定義在設(shè)備坐標系里，它依賴于具體的圖形設(shè)備。由于不同的圖形設(shè)備具有不同的設(shè)備坐標系，其不同的設(shè)備之間坐標范圍也不盡相同，顯然這使得應(yīng)用程序與具體的圖形輸出設(shè)備有關(guān)，給圖形處理及應(yīng)用程序的移植帶來不便。為了便于圖形處理，引入與設(shè)備無關(guān)的規(guī)格化坐標系。

規(guī)格化坐標系，采用一種無量綱的單位代替設(shè)備坐標，當輸出圖形時，再轉(zhuǎn)換為具體的設(shè)備坐標。

規(guī)格化坐標系的取值范圍是左下角（0,0），右上角（1.0,1.0），如圖4-14(b)所示。在圖形處理中，上述三種坐標系的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下圖4-15所示。圖4-15

三種坐標系的關(guān)系(a)用戶坐標系(b)規(guī)格化坐標系(c)設(shè)備坐標系由規(guī)格化坐標系轉(zhuǎn)化為屏幕坐標系的關(guān)系式：（4-14）式中：Sl——為屏幕長度方向的像素數(shù)；

Sw——為屏幕寬度方向的像素數(shù)；

Xn，Yn

——為規(guī)格化坐標；

Xs，Ys

——為屏幕坐標。4.5.3二維圖形的幾何變換

在計算機繪圖時，經(jīng)常要對某些圖形的進行平移、放大、縮小及旋轉(zhuǎn)等處理，這些就是圖形的幾何變換問題。它是計算機圖形學(xué)中應(yīng)用極為普遍的基本內(nèi)容之一。利用圖形變換可以用一些簡單的圖形組合成比較復(fù)雜的圖形。

由幾何學(xué)可知，體是由若干面構(gòu)成，而面則是由線組成，點的運動軌跡便是線。因此，構(gòu)成圖形的最基本要素是點。在二維空間中，可用(x,y)表示平面上的一個點；在三維空間中，可用(x,y,z)表示空間中的一點。由于構(gòu)成圖形的基本要素是點，因而，可用點的集合（簡稱點集）來表示一個平面圖形或一個三維立體，寫成矩陣的形式為：這樣，便建立了平面圖形和空間立體的數(shù)學(xué)模型。

1.齊次坐標與變換矩陣

用一個n＋1

維矢量表示一個n

維矢量的方法，稱為齊次坐標法。點P(x,y)在齊次坐標系中表示為P(kx，ky，k)，其中k是任一不為零的實數(shù)。由此可見，一個n維矢量的齊次坐標表示不唯一。在對二維圖形進行幾何變換的運算中，齊次坐標常取為[x,y,1]。（4-15）平面上一點

P(x,y)，在經(jīng)幾何變換后達另一新位置，這一變換過程可用一行矢量

[x,y,1]與一個3×3的變換矩陣

A相乘的矩陣運算來表達，即

將點P

轉(zhuǎn)變?yōu)镻*的過程稱為變換，矩陣A稱為變換矩陣。變換后點P*的坐標為：矩陣

A中：a，b，d，e

可以產(chǎn)生比例、旋轉(zhuǎn)、反射和剪切等變換；

c，f

可產(chǎn)生平移變換。

2.

基本幾何變換二維圖形的基本幾何變換類型包括：

●

平移變換

●

比例變換

●

旋轉(zhuǎn)變換

●

反射變換

●

剪切變換等。(1)平移變換將二維圖形從平面的一個位置移動到另一個位置，可用平移變換。

平移變換后，圖形只發(fā)生位置改變，形狀大小及姿態(tài)均不變化。

設(shè)Tx為x向平移量，Ty為y

向平移量，平移變換的變換矩陣為：平移變換結(jié)果可見圖4-16。圖4-16平移變換(2)比例變換

設(shè)Sx為x

向的比例系數(shù)，

Sy為y

向的比例系數(shù)，則比例變換的變換矩陣為：

當Sx，Sy<1時，圖形縮??；

Sx，Sy>1時，圖形放大；

Sx，Sy＝1時，圖形不變化。

圖4-17所示的比例變換中，Sx＝Sy＝2。

圖4-17

比例變換(3)旋轉(zhuǎn)變換

點或平面圖形繞坐標原點旋轉(zhuǎn)一定角度θ之后成為變換后的點或圖形，如圖4-18所示。

旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：逆時針方向旋轉(zhuǎn)，θ取正值；順時針方向旋轉(zhuǎn)，θ取負值。

旋轉(zhuǎn)變換后，圖形的形狀及大小不發(fā)生變化，只改變姿態(tài)。圖4-18旋轉(zhuǎn)變換(4)對稱變換

對稱變換有多種，圖4-19表示了對稱于

x、y

軸和坐標原點

o

的幾種對稱變換。圖4-19

對稱變換(a)相對于x軸的對稱變換

(b)相對于y

軸的對稱變換

(c)相對于坐標原點o的對稱變換

①相于

x

軸的對稱變換

設(shè)對稱軸為x

軸，則對稱變換的變換矩陣為：②相于

y

軸的對稱變換設(shè)對稱軸為y

軸，則對稱變換的變換矩陣為：③相對于坐標原點

o

的對稱變換

相對于坐標原點

o

的對稱變換，其變換矩陣為：

其特點是：變換前后x

坐標值保持不變，而y

坐標值符號相反。

其特點是：變換前后y

坐標值保持不變，而x坐標值符號相反。

其特點是：變換前后x、y

坐標值符號都相反。

(5)錯切變換

錯切變換用于描述幾何形體的扭曲和錯切變形。常用的錯切變換有兩種：①沿

x軸方向的錯切變換；②沿y軸方向的錯切變換。如圖4-20所示。圖4-20錯切變換

(a)沿x軸方向的錯切變換

(b)沿y軸方向的錯切變換

(1)

沿

x

向的錯切變換

經(jīng)此變換后，y

坐標不變，使圖形在x

向發(fā)生錯切變形。設(shè)SHx為切變系數(shù)，變換矩陣為

(2)

沿

y

向的錯切變換變換后，x

坐標不變，使圖形在y

向發(fā)生錯切變形。設(shè)SHy

為切變參數(shù)，變換矩陣為3.組合變換

上述基本變換是以原點為中心的簡單變換。在實際應(yīng)用中，一個復(fù)雜的變換往往是施行多個基本變換的結(jié)果。對一圖形連續(xù)進行多個基本變換，就形成了組合變換。相應(yīng)的變換矩陣叫做組合變換矩陣。

這里介紹幾種典型的組合變換：◆平移組合變換◆

比例組合變換◆

旋轉(zhuǎn)組合變換◆

相對于任意點的比例變換◆

繞任意點的旋轉(zhuǎn)變換◆

對任意直線的對稱變換（1）平移組合變換連續(xù)兩次平移變換的組合矩陣

T

為：

（4-16）

上式表明：連續(xù)兩次的平移變換，其平移矢量實質(zhì)上是兩次平移矢量的和。

（2）比例組合變換連續(xù)兩次比例變換的組合矩陣為：

（4-17）上式表明：連續(xù)兩次的比例變換，其結(jié)果是兩次比例因子的乘積。

（3）旋轉(zhuǎn)組合變換

（4-18）上式表明：連續(xù)兩次的旋轉(zhuǎn)變換，其結(jié)果是兩次旋轉(zhuǎn)角度的疊加。

連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)變換的組合矩陣為：

（4）相對于任意點的比例變換

(1)將圖形向坐標原點方向平移，平移矢量為

，使任意點

與坐標原點重合；

(2)對圖形施行比例變換；

(3)將圖形平移回原始位置，平移矢量為

。因此，相對于任意點的比例變換組合矩陣T

為：

如圖4-21所示，平面圖形對任意點作比例變換，該變換需通過以下幾個步驟實現(xiàn)：圖4-21相對于任意點的比例變換（4-19）（5）繞任意點的旋轉(zhuǎn)變換

如圖4-22所示，平面圖形繞任意點

旋轉(zhuǎn)角，該變換需通過以下幾個步驟實現(xiàn)：

(1)將旋轉(zhuǎn)中心平移到原點，使任意點與坐標原點重合；

(2)將圖形繞坐標原點旋轉(zhuǎn)角；

(3)將旋轉(zhuǎn)中心平移回原來位置。因此，繞任意點的旋轉(zhuǎn)變換組合矩陣T

為：

圖4-22

繞任意點的旋轉(zhuǎn)變換（6）對任意直線的對稱變換

如圖4-23所示，假設(shè)圖中所示任意直線用直線方程表示，該直線在x

軸和y

軸上的截距分別為－C/A和－C/B，直線與

x軸的夾角為，則。圖4-23對任意直線的對稱變換

(1)沿x方向平移直線，平移距離為C/A，使直線通過原點；

(2)繞原點旋轉(zhuǎn)角，使直線與

x軸重合；

(3)對x

軸進行對稱變換；

(4)繞原點旋轉(zhuǎn)角，使直線回到原來與x

軸成角的位置；

(5)沿x

方向平移直線，平移距離為－C/A，使直線回到原來的位置。通過上述五個步驟，即實現(xiàn)圖形對任意直線的對稱變換。

該變換的變換矩陣T

為：

該變換可通過如下幾步來實現(xiàn)：4.5.4

三維造型

20世紀60年代末，CAD研究界提出了用計算機表示機械零件三維形體的構(gòu)想，以便在一個完整的幾何模型上實現(xiàn)零件的質(zhì)量計算、有限元分析、數(shù)控加工和消隱立體圖的生成。

在CAD作業(yè)過程中，必須建立產(chǎn)品的模型，它是由與產(chǎn)品對象有關(guān)的各種信息有機聯(lián)系構(gòu)成的，其中幾何形體的數(shù)據(jù)信息是最為基本的。經(jīng)過多年來的努力探索和多種技術(shù)途徑的實踐驗證，這一思想終于成熟起來，并研制和開發(fā)出了功能強大、使用方便的實用軟件，使這一構(gòu)想得以實現(xiàn)。只有幾何信息組成的模型稱為幾何模型。在CAD系統(tǒng)中，幾何模型按其描述和存儲內(nèi)容的特征，可分為：

●

線框造型●

表面造型●

實體造型●

特征造型等1.線框造型（W1reframeModel）

這種建模方法的基本思想是：依據(jù)物體各外表面之間的交線組成物體外輪廓的框架，以此構(gòu)成物體幾何模型，簡稱線框模型。

這種模型是以物體形狀的特征線（棱線、交線）作為形狀數(shù)據(jù)來定義的。如下圖4-i所示的立方體，僅用8個頂點V1，V2，…，V8的集合來定義是不夠的，還必須包括12條棱線

。這就是線框模型。V1V2V3V4V5V6V7V8e2e1e4e3e6e5e7e9e8e12e10e11ozyx圖4-i

單位立方體

上圖4-e所示的單位立方體，線框模型在計算機內(nèi)存儲了兩個表以記錄該立方體的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。(b)頂點表棱線(ei)頂點號1234567891011121

22

33

44

15

66

77

88

51

52

63

74

8(c)棱線表頂點(V)坐標值Xyz123456780

0

11

0

11

1

10

1

10

0

01

0

01

1

00

1

0

頂點表記錄各頂點坐標值；

棱線表記錄每條棱線所連接的兩頂點。

線框造型的特點是：結(jié)構(gòu)簡單、存儲的信息少，運算簡單迅速，響應(yīng)速度快，它是進行曲面建模和實體建模的基礎(chǔ)。

線框造型所建立起來的不是實體，只能表達基本的幾何信息，不能有效地表達幾何數(shù)據(jù)間的拓撲關(guān)系。

所以，線框造型是在計算機內(nèi)存儲這些框架線段信息，即利用物體的棱邊和頂點來表示其幾何形狀的一種造型。2.表面模型（SurfaceModel）

表面模型是在線框造型的基礎(chǔ)上增加了有關(guān)面的信息以及面的連結(jié)信息。它是用有向棱邊圍成的部分定義形體表面，由面的集合來定義形體。

與線框造型相比，表面模型除了存儲線框線段外，還存儲各個外表面的幾何描述信息。

下圖4-j

表達了表面模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)原理。圖4-j表面模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)原理V1V2V3V4V5V6V7V8e2e1e4e3e6e5e7e9e8e12e10e11ozyxF3F2F4F6F5F1(頂面)F2(底面)F3(左側(cè)面)F4(正面)F5(右側(cè)面)F6(背面)F1(a)立方體(b)坐標系頂點(V)坐標值Xyz123456780

0

11

0

11

1

10

1

10

0

01

0

01

1

00

1

0棱線(ei)頂點號1234567891011121

22

33

44

15

66

77

88

51

52

63

74

8

表面(Fi)棱線號123456123456781105921161031271149812(b)頂點表(c)棱線表(d)表面表圖4-f

表面模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)原理頂點(V)坐標值Xyz123456780

0

11

0

11

1

10

1

10

0

01

0

01

1

00

1

0棱線(ei)頂點號1234567891011121

22

33

44

15

66

77

88

51

52

63

74

8(b)頂點表(c)棱線表(d)表面表圖4-f

表面模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)原理

但該造型仍然缺少面、體間的拓撲關(guān)系，無法區(qū)別面的哪一側(cè)是體內(nèi)還是體外，無法進行剖切，因而它對物體仍沒有構(gòu)建起完整的三維幾何關(guān)系。

表面模型除了具有點、線信息外，還具有面的信息?？梢赃M行面與面求交、消隱、明暗處理、渲染等操作，實現(xiàn)數(shù)控刀具軌跡生成、有限元網(wǎng)格劃分等，還可以構(gòu)造復(fù)雜的曲面物體。3.

實體造型（SolidModel）

實體造型存儲物體完整的三維幾何信息，它可以區(qū)分物體的內(nèi)部和外部，可以提取各部幾何位置和相互關(guān)系的信息。

實體造型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，不僅記錄了全部幾何信息，而且記錄了全部點、線、面、體的拓撲信息，這是實體造型與線框模型和表面模型的根本區(qū)別。目前，實體造型有以下幾種表示方法：

●

CSG法

●

B-rep法

●

掃描法(1)CSG法

體素構(gòu)造法（ConstructiveSolidGeometry）是一種由簡單的幾何形體（通常稱為體素，如立方體、圓柱、球、圓錐、棱柱體等）通過布爾運算（交、并、差）構(gòu)造復(fù)雜三維物體的表示方法，如圖4-24所示。圖4-24由基本形體拼合成復(fù)雜形體

ABC－CSG樹CUAB

該法是用二叉樹的形式記錄一個零件所有組成體素進行拼合運算的過程，常簡稱為體素拼合樹。

CSG法所要存儲的幾何模型信息是：所用的基本形體的類型、參數(shù)和所采用的拼合運算過程。

該法表示的物體具有唯一性和明確性，其缺點是不具備物體的面、環(huán)、邊、點的拓樸關(guān)系。(2)B-rep法（BoundaryRepresentationModel）

B-rep法又稱邊界表面表示法。該方法的基本思想是，幾何實體都是由若干邊界外表面包容的，因而可以通過定義和全面貯存這些邊界外表面信息的方法建立其實體幾何模型。

B-rep法表述實體模型內(nèi)部的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，一般用體表、面表、邊表及頂點表四層描述，聯(lián)系關(guān)系是物體拓撲信息的基本內(nèi)容。下圖4-25表示了一四棱錐的B-rep概念。f3(右側(cè)面)V4V1V2V3e1e3e4e2e6e5f2(左側(cè)面)f1(底面)F4(背面)圖4-25(a)四棱錐體的B-rep四面體F1f2f3f4e1e2e3e4e5e6V1V2V3V4(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)(x3,y3,z3)(x4,y4,z4)體結(jié)點

(1個)面結(jié)點

(4個)邊結(jié)點

(6個)頂點結(jié)點

(4個)實體面邊頂點拓撲信息幾何信息圖4-25(b)

四棱錐體的F-L-E-V數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

B-rep法能給出完整的界面描述，它將實體外表面幾何形狀信息數(shù)據(jù)分為兩類：幾何信息數(shù)據(jù)和拓樸信息數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)一般用體表、面表、邊表及頂點表４層描述，聯(lián)系關(guān)系是物體拓樸信息的基本內(nèi)容。

該法優(yōu)點是含有較多關(guān)于面、邊、點及其相互關(guān)系的信息；

缺點為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、存儲量大，對幾何形體的整體描述能力差。(3)掃描法

該法的基本思想是：將一個平面圖形在空間中按一定的規(guī)則運動，該圖形的運動軌跡所形成的空間即為一實體。見圖4-26。用掃描法形成實體可用兩種方法：

①平移法，如圖4-26(a)所示。

②旋轉(zhuǎn)法，如圖4-26(b)所示，物體可看作為平面圖形繞回轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)而形成。

圖4-26掃描法形成實體4.

特征造型

上述以幾何學(xué)為基礎(chǔ)的三維幾何造型，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)主要適應(yīng)了圖形顯示的要求，而沒有考慮生產(chǎn)過程中其余環(huán)節(jié)的要求，因此幾何造型很難滿足CAD/CAM集成的需要。為此，特征造型技術(shù)應(yīng)運而生。建立基于特征（feature）的產(chǎn)品定義造型，使用特征集來定義零件，能很好地反映設(shè)計意圖并提供完整的產(chǎn)品信息，使CAPP系統(tǒng)能夠直接獲取所需的信息，實現(xiàn)CAD/CAM的集成。特征通常可劃分為如下類型：

形狀特征：描述一定工程意義的功能幾何形狀信息；

精度特征：用于描述零件的形狀位置、尺寸和粗糙度等；

管理特征：用于描述零件的管理信息，如標題欄內(nèi)的信息；

技術(shù)特征：用于描述零件的性能、功能等；

材料特征：用于描述零件材料的成分和條件；

裝配特征：用于描述零件在裝配過程中需使用的信息。4.6工程設(shè)計計算應(yīng)用程序的編寫方法

完整的機械產(chǎn)品設(shè)計包括設(shè)計計算、數(shù)據(jù)管理、零件工作圖及裝配圖的繪制三大部分。其中：

設(shè)計計算可由用高級語言(如Fortran，C，Basic)編寫的設(shè)計計算程序完成。

數(shù)據(jù)管理可由數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)軟件（如FoxBase,dBase，F(xiàn)oxPro）實現(xiàn)。

零件圖繪制可交給繪圖軟件系統(tǒng)（如AutoCAD，PICAD）繪制。這樣可以充分發(fā)揮高級語言設(shè)計計算程序的復(fù)雜數(shù)學(xué)計算能力，數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)對數(shù)據(jù)的高效管理能力，以及AutoCAD的良好繪圖功能。但是，F(xiàn)oxBase（或dBase）和AutoCAD各自都是一個完整的獨立系統(tǒng)，因而機械CAD設(shè)計就必須解決設(shè)計計算程序與數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)、繪圖軟件系統(tǒng)之間的有效連結(jié)問題。4.6.1工程設(shè)計計算應(yīng)用程序的編寫方法