2024學(xué)年遼寧撫順市六校協(xié)作體數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024學(xué)年遼寧撫順市六校協(xié)作體數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過點(diǎn)且垂直于的直線方程為（）A. B.C. D.2．七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.3．已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.長軸長為2 B.焦距為C.短軸長為 D.離心率為4．在長方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值是（）A. B.C. D.5．有甲、乙兩個(gè)抽獎箱，甲箱中有3張無獎票3張有獎票，乙箱中有4張無獎票2張有獎票，某人先從甲箱中抽出一張放進(jìn)乙箱，再從乙箱中任意抽出一張，則最后抽到有獎票的概率是（）A. B.C. D.6．命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.8．某工廠去年的電力消耗為千瓦，由于設(shè)各更新，該工廠計(jì)劃每年比上一年的電力消耗減少，則從今年起，該工廠第5年消耗的電力為（）A.m千瓦 B.m千瓦C.m千瓦 D.m千瓦9．在中國共產(chǎn)黨建黨100周年之際,廣安市某中學(xué)組織了“黨史知識競賽”活動,已知該校共有高中學(xué)生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為25的樣本參加活動,其中高二年級抽取了8人,則該校高二年級學(xué)生人數(shù)為()A.960 B.720C.640 D.32010．已知點(diǎn)在橢圓上，與關(guān)于原點(diǎn)對稱，，交軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.11．圓截直線所得弦的最短長度為（）A.2 B.C. D.412．直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線的一個(gè)法向量________.14．已知數(shù)列滿足，且，則______，數(shù)列的通項(xiàng)_____15．若是直線外一點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，，，則______16．如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱、的中點(diǎn)，G為面對角線上一個(gè)動點(diǎn)，則三棱錐的外接球表面積的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的一點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)B到平面DFE距離.18．（12分）已知.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)有最大值，且最大值大于時(shí)，求取值范圍.19．（12分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值.20．（12分）已知橢圓：，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，過作的外角的平分線的垂線，垂足為，且（1）求橢圓方程：（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率之和為0（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）①求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)：②求面積的最大值21．（12分）某中學(xué)共有名學(xué)生，其中高一年級有名學(xué)生，為了解學(xué)生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個(gè)年級中抽取了名學(xué)生，依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)及圖中的值；（2）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計(jì)全校睡眠時(shí)間超過個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).22．（10分）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且2=3-3（n∈）（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式（2）若=（n+1），求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】求出直線l的斜率，再借助垂直關(guān)系的條件即可求解作答.【題目詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B2、A【解題分析】設(shè)七巧板正方形邊長為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計(jì)算作答.【題目詳解】設(shè)七巧板正方形邊長為4，則大陰影等腰三角形底邊長為4，底邊上的高為2，可得小正方形對角線長為2，小正方形邊長為，小陰影等腰直角三角形腰長為，小白色等腰直角三角形底邊長為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為.故選：A3、D【解題分析】根據(jù)已知條件求得，由此確定正確答案.【題目詳解】依題意橢圓，所以，所以長軸長為，焦距為，短軸長為，ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤.離心率為，D選項(xiàng)正確.故選：D4、C【解題分析】連接，可得，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，設(shè)，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.【題目詳解】如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，由在長方體中，，，設(shè)，可得，在直角中，可得，在中，可得，所以，因?yàn)椋?故選：C.5、B【解題分析】先分為在甲箱中抽出一張有獎票放入乙箱和在甲箱中抽出一張無獎票放入乙箱，進(jìn)而結(jié)合條件概率求概率的方法求得答案.【題目詳解】記表示在甲箱中抽出一張有獎票放進(jìn)乙箱，表示在甲箱中抽出一張無獎票放進(jìn)乙箱，A表示最后抽到有獎票.所以，，于是.故選：B.6、C【解題分析】根據(jù)逆否命題的定義寫出逆否命題即得【題目詳解】解：以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為原命題的逆否命題，即“若，則”的逆否命題是“若，則”故選：C7、D【解題分析】設(shè)直線傾斜角為，則，即可求出.【題目詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，又因?yàn)?，所?故選：D.8、D【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可.【題目詳解】因?yàn)槿ツ甑碾娏ο臑榍?，工廠計(jì)劃每年比上一年的電力消耗減少，所以今年的電力消耗為，因此從今年起，該工廠第5年消耗的電力為，故選：D9、D【解題分析】由分層抽樣各層成比例計(jì)算即可【題目詳解】設(shè)高二年級學(xué)生人數(shù)為,則,解得故選:D10、B【解題分析】由，得到，結(jié)合，得到，進(jìn)而求得，得出，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【題目詳解】設(shè)，則，由，可得，所以，因?yàn)椋傻?，又由，兩式相減得，即，即，又因?yàn)椋?，即又由，所以，解?故選：B.11、A【解題分析】由題知直線過定點(diǎn)，且在圓內(nèi)，進(jìn)而求解最值即可.【題目詳解】解：將直線化為，所以聯(lián)立方程得所以直線過定點(diǎn)將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，即圓心為，半徑為，由于，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以點(diǎn)與圓圓心間的距離為，所以圓截直線所得弦的最短長度為故選：A12、A【解題分析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.【題目詳解】∵直線的斜率,，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（答案不唯一）【解題分析】根據(jù)給定直線方程求出其方向向量，再由法向量意義求解作答.【題目詳解】直線的方向向量為，而，所以直線的一個(gè)法向量.故答案為：14、①.②.【解題分析】判斷出是等差數(shù)列，由此求得，利用累加法求得.【題目詳解】依題意，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)時(shí)，，，也符合上式，所以.故答案為：；15、【解題分析】根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，求得的值，即可求解.【題目詳解】因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以故答案為?16、【解題分析】以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系，則，設(shè)，球心，得到外接球半徑關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求出的最小值，即可得到答案；【題目詳解】解：以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系.則，設(shè)，球心，，又.聯(lián)立以上兩式，得，所以時(shí)，，為最小值，外接球表面積最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.（2）利用平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值列方程，求得，結(jié)合向量法求得到平面的距離.【小問1詳解】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，可得，，，.，.因?yàn)?，所?【小問2詳解】，設(shè)為平面DEF的法向量，則，即，可取.因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所?由題設(shè)，可得，所以.點(diǎn)B到DFE平面距離.18、(1)時(shí),在是單調(diào)遞增；時(shí),在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）.【解題分析】（Ⅰ）由,可分,兩種情況來討論；（II）由（I）知當(dāng)時(shí)在無最大值,當(dāng)時(shí)最大值為因此.令,則在是增函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),因此a的取值范圍是.試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?,若,則,在是單調(diào)遞增；若,則當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)在無最大值,當(dāng)時(shí)在取得最大值,最大值為因此.令,則在是增函數(shù),,于是,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),因此a取值范圍是.考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用及分類討論思想.19、（1）（2），【解題分析】（1）由，計(jì)算出公差，再寫出通項(xiàng)公式即可.（2）直接用公式寫出，配方后求出最小值.【小問1詳解】設(shè)公差為，由得，從而，即又，【小問2詳解】由（1）的結(jié)論，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值.20、（1）；（2）①證明見解析，；②.【解題分析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及角平分線的性質(zhì)可得，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，以及即可求出的值，進(jìn)而可得橢圓的方程.（2）①設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，求得，，利用斜率之和等于得出關(guān)于的方程，解得即可得所過的定點(diǎn)，②由弦長公式求出，點(diǎn)到直線的距離公式求得高，由面積公式表示三角形的面積，利用基本不等式即可求最值.【題目詳解】（1）如圖，由題意可知，由橢圓定義知，則，連接，所以，所以又在橢圓上則，解得：，，所以橢圓的方程為：；（2）①證明：設(shè)，，聯(lián)立，整理可得：，所以，可得，，，設(shè)直線，，的斜率為，，，因?yàn)橹本€，，的斜率之和為0，所以，即所以，由，所以，所以直線恒過定點(diǎn)；②由①可得：，原點(diǎn)到直線的距離，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)取等號，所以，即面積的最大值為1【題目點(diǎn)撥】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：21、（1）樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)為，；（2）；（3）【解題分析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得中位數(shù)的值；（3）利用頻率分布直方圖可計(jì)算出全校睡眠時(shí)間超過個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).【小問1詳解】解：樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)為.，解得.【小問2詳解】解：設(shè)中位數(shù)為，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三