用幾種不同的方法求定積分論文計(jì)算方法

用幾種不同的方法求定積分摘要：在高等數(shù)學(xué)中，可以使用牛頓萊布尼茨公式來(lái)計(jì)算積分。但是，在工程技術(shù)和科學(xué)研究中，常常遇到以下情況：（1）f(x)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求原函數(shù)困難。（2）f(x)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示。(3)f(x)難以用普通方法求解。我們需要使用不同的方法在Matlab中運(yùn)行相關(guān)程序來(lái)解出答案。在本文中，使用的列子為求解I=01關(guān)鍵詞：Matlab,牛頓-萊布尼茨公式，梯形公式，復(fù)化梯形公式，辛普森公式,復(fù)化辛普森公式，I=相關(guān)程序及運(yùn)行結(jié)果1牛頓-萊布尼茨公式設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),若F(x)為f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),則這個(gè)公式稱為牛頓-萊布尼茲公式,也稱為微分基本公式。>>symsx,I=int(cos(x),0,1)I=sin(1)>>I=sin(1)I=0.8415運(yùn)行結(jié)果：I=0.84152.梯形公式根據(jù)積分中值定理可知，對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)，在積分區(qū)間[a,b]內(nèi)存在一點(diǎn)，使得即所求的曲邊梯形的面積恰好等于低為(b-a)、高為的矩形面積。但是點(diǎn)的具體位置一般是未知的，因而得值也是未知的，只要對(duì)提供一種數(shù)值算法，相應(yīng)的就獲得一種數(shù)值求積方法。建立m文件，命名為Tixing.mfunctionI=Tixing(x,y)n=length(x);m=length(y);ifn~=merror;returnendh=(x(n)-x(1));a=[11];I=h/2*sum(a.*y)命令窗口輸入：>>x=0:1;y=cos(x);I=Tixing(x,y)I=0.7702I=0.7702運(yùn)行結(jié)果：I=0.77023.辛普森公式辛普森公式建立m文件，命名為Smps.mfunctionI=Smps(x,y)n=length(x);m=length(y);ifn~=merror;returnendh=(x(n)-x(1)/2);a=[141];I=h/6*sum(a.*y);命令窗口輸入：>>x=0:0.5:1;y=cos(x);I=Smps(x,y)I=0.8418運(yùn)行結(jié)果：0.84184.復(fù)化梯形公式我們把積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分，步長(zhǎng)h=(b-a)/n,求積節(jié)點(diǎn)為xk=a+hk(k=0,1,n)，在每個(gè)小區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上應(yīng)用梯形公式，求出積分值Ik,然后將它們累加求和，用作為求所求積分I的近似值。即I==。記為復(fù)化梯形公式。建立m文件，命名為trapz.mfunctionI=trapz(x,y)n=length(x);m=length(y);ifn~=merror;return;endh=(x(n)-x(1))/(n-1);a=[12*ones(1,n-2)1];I=h/2*sum(a.*y);在命令窗口輸入：>>x=0:0.5:1;y=cos(x);I=trapz(x,y)I=0.8239運(yùn)行結(jié)果：0.82395.復(fù)化辛普森公式我們把積分區(qū)間[a,b]劃分為n等份，記子區(qū)間[x2k,x2k+2]的中點(diǎn)為x2k+1=x2k+,在每個(gè)小的區(qū)間上應(yīng)用辛普森公式則有：記為復(fù)化辛普森公式。建立m文件，命名為S_quad.mfunctionI=S_quad(x,y)n=length(x);m=length(y);ifn~=merror;return;endifrem(n-1,2)~=0I=T_quad(x,y);return;endN=(n-1)/2;h=(x(n)-x(1))/N;a=zeros(1,n);fork=1:Na(2*k-1)=a(2*k-1)+1;a(2*k)=a(2*k)+4;a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;endI=h/6*sum(a.*y);在命令窗口輸入：>>x=0:0.5:1;y=cos(x);I=S_quad(x,y)I=0.8418運(yùn)行結(jié)果0.8418算法的結(jié)果比較和評(píng)價(jià)1各種方法的結(jié)果比較求值方法牛頓-萊布尼茨公式梯形公式辛普森公式復(fù)化梯形公式復(fù)化辛普森公式求值結(jié)果0.84150.77020.84180.82390.8418誤差0.00000.713-0.00030.01760.00032.結(jié)果比較及算法評(píng)價(jià)由上表我們可以得知，用牛頓—萊布尼茨公式求得的值誤差為0，實(shí)際上，我們也知道，用牛頓-萊布尼茨公式求解定積分得值就為精確值。梯形求積公式和Simpson求積公式雖然計(jì)算簡(jiǎn)單、使用方便,但是精度較差,誤差較大，但對(duì)于光滑性較差的被積函數(shù)有時(shí)比高精度方法更為有效，尤其梯形公式對(duì)被積函數(shù)是周期函數(shù)的效果更為突出。因此，不能用增加節(jié)點(diǎn)得個(gè)數(shù)得方法來(lái)提高計(jì)算經(jīng)度，n>7時(shí),Newton-Cotes公式是不穩(wěn)定的。而復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式是將積分區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上采用低階求積公式，然后把所有小區(qū)間上得計(jì)算結(jié)果累加起來(lái)得到整個(gè)區(qū)間上的求積公式，在保留了低階公式的優(yōu)點(diǎn),又能獲得較高精度,因此在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)用的最為廣泛。本題中通過(guò)算法和誤差也有明顯體現(xiàn)，比如當(dāng)把積分區(qū)間等分10分后，用復(fù)化辛