高中數(shù)學(xué)蘇教版(2022)角函數(shù)角與弧度弧度制（44張）

7.1.2弧度制第7章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.結(jié)合具體實例了解弧度制的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.能進(jìn)行角度與弧度之間的互化.(數(shù)學(xué)運算)3.理解弧度制下弧長與面積公式.(數(shù)學(xué)運算)課前篇自主預(yù)習(xí)情境導(dǎo)入在日常生活中,一個量可用不同的標(biāo)準(zhǔn)來度量,從而也就有了不同的單位以及單位之間的換算.例如:長度既可以用米、厘米來度量,也可以用尺、寸來度量;面積可以用平方米來度量,也可以用公頃來度量.常用的溫度度量也有兩種:一種是攝氏度,它的發(fā)明者是瑞典的安德斯·攝爾修斯,它的標(biāo)準(zhǔn)是“在1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,純凈的冰水混合物的溫度為0攝氏度,水的沸點為100攝氏度,其間平均分為100份,每一等份為1攝氏度,記作1℃”;另一種是華氏溫度,是德國人華倫海特以水銀為測溫介質(zhì)發(fā)明的,它的標(biāo)準(zhǔn)是“把純水的冰點溫度定為32℉,把標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水的沸點溫度定為212℉,中間分為180等份,每一等份代表1華氏度,記作1℉”.類似地,角除了使用角度來度量外,還可以用本節(jié)要學(xué)習(xí)的弧度來度量.知識點撥一、度量角的兩種制度

角度制定義用度作為單位來度量角的單位制1度的角周角的為1度角,記作1°弧度制定義用弧度作為角的單位來度量角的單位制1弧度的角長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角.1弧度記作1rad(rad可省略不寫)微思考

在大小不同的圓中,長度為1的弧所對的圓心角相等嗎?提示

不相等.因為弧長等于1,在大小不同的圓中,由于半徑不同,圓心角也不同.微判斷(1)1弧度指的是1度的角.(

)(2)每個弧度制的角,都有唯一的角度制的角與之對應(yīng).(

)答案

(1)×

(2)√二、弧度數(shù)的計算與互化1.弧度數(shù)的計算

微練習(xí)

下列換算結(jié)果錯誤的是(

)答案

C解析

-150°化成弧度是-π,故C項錯誤.

2.弧度與角度的互化

名師點析

1.用弧度為單位表示角的大小時,“弧度”或“rad”可以略去不寫,只寫這個角對應(yīng)的弧度數(shù)即可,如角α=-3.5

rad可寫成α=-3.5.而用角度為單位表示角的大小時,“度”或“°”不可以省略.微思考

對于角度制和弧度制,在具體的應(yīng)用中,兩者可混用嗎?如何書寫才是規(guī)范的?提示

角度制與弧度制是兩種不同的度量制度,在表示角時不能混用,例如α=k·360°+(k∈Z),β=2kπ+60°(k∈Z)等寫法都是不規(guī)范的,應(yīng)寫為α=k·360°+30°(k∈Z),β=2kπ+(k∈Z).三、弧度制下的弧長與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,α為其圓心角,則

度量制α為度數(shù)α為弧度數(shù)扇形的弧長l=|α|r(|α|≤2π)扇形的面積名師點析

在弧度制與角度制下,弧長公式和扇形的面積公式的區(qū)別兩者相比較,弧度制下的弧長公式和扇形的面積公式具有更為簡單的形式,其記憶和應(yīng)用更易操作,如果已知角是以“度”為單位,則必須先把它化成弧度后再計算,這樣可避免計算過程或結(jié)果出錯.微練習(xí)

已知扇形的半徑r=30,圓心角α=,則該扇形的弧長等于

,面積等于

,周長等于

.

答案

5π

75π

60+5π課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一角度與弧度的互化例1將下列角度數(shù)化為弧度數(shù).(1)11°15';(2)252°.要點筆記“180°=π弧度”是進(jìn)行“弧度數(shù)”與“角度數(shù)”換算的關(guān)鍵,在此基礎(chǔ)變式訓(xùn)練1將下列弧度數(shù)化為角度數(shù).例2將下列各角化為2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并判斷其是第幾象限角.(2)-315°;(3)-1485°.要點筆記本題應(yīng)先將度化為弧度,然后再化為2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,最后根據(jù)象限角的概念判斷其是第幾象限角.∵-720°≤γ<0°,∴-720°≤k·360°+108°<0°,k∈Z,∴k=-2或k=-1.∴-720°到0°的范圍內(nèi)與α1終邊相同的角是-612°角和-252°角.∵-720°≤γ<0°,∴-720°≤k·360°-60°<0°,k∈Z,∴k=-1或k=0.∴-720°到0°的范圍內(nèi)與α2終邊相同的角是-420°角和-60°角.探究二用弧度表示區(qū)域角例3用弧度制分別表示終邊落在陰影部分的角的集合(不包括邊界).反思感悟1.用弧度表示區(qū)域角,實質(zhì)上是角度表示區(qū)域角在弧度制下的應(yīng)用,必要時,需進(jìn)行角度與弧度之間的換算,注意單位要統(tǒng)一.2.在表示角的集合時,可以先寫出[0,2π)內(nèi)的一個角(或?qū)懗?-π,π]內(nèi)的一個角),再加上2kπ,k∈Z.變式訓(xùn)練3如圖,用弧度制將下列落在圖示部分的角(陰影部分),用集合表示出來(不包括邊界).探究三弧長與扇形面積公式的應(yīng)用例4已知扇形OAB的圓心角α為120°,半徑r=6,求弧長及扇形面積.變式訓(xùn)練4扇形OAB的面積是4cm2,它的周長是8cm,求扇形的圓心角(正角)及弦AB的長.解

設(shè)扇形的半徑為r

cm,弧長為l

cm,扇形的圓心角α(α>0),弧長為l=|α|r=αr,|AB|=2×2sin

1=4sin

1(cm).素養(yǎng)形成一題多解:與弧度有關(guān)的實際應(yīng)用問題典例在一般的時鐘上,自0時開始到分針與時針再一次重合,分針?biāo)D(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是多少?(不考慮旋轉(zhuǎn)方向)反思感悟

兩種方法得出的結(jié)果相同,其解答過程都是正確的,只不過解題的角度不同而已.方法1是從時針與分針?biāo)叩臅r間相等方面列出方程求解;而方法2則從時針與分針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)入手,當(dāng)分針與時針再次重合時,分針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)α比時針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)多2π,利用時針和分針的旋轉(zhuǎn)速度之間的關(guān)系列出方程求解.當(dāng)堂檢測A.75° B.125° C.135° D.155°答案

C2.用弧度制表示與150°角的終邊相同的角的集合為(

)答案

D3.時鐘的分針在1