2023屆江西紅十校高三9月聯(lián)考理數(shù)答案等

江西“紅色十校”2023屆高三第一次聯(lián)考

數(shù)學(xué)理科

一、選擇題

1.己知集合A={」,1,2,3},3={X[(X—1)(X-2)>0},則AC|8=()

2

A.{3}

B-{p3}

C.{1,3}

D.{253}

答案：

B

解析：

因?yàn)锳={g』,2,3},B={x[(x—l)(x-2)〉0}={x|x<l垢〉2},所以AB={g,3},

故選B.

2.若復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=5i,則z的虛部為()

A.2i

B.-2i

C.-2

D.2

答案：

D

解析：

因?yàn)閦(2—i)=5i,所以z=W=(2+i>5i=_]+2i,故z的虛部為2,故選D.

2—i5

3.下圖是國家統(tǒng)計(jì)局7月發(fā)布的2021年6月至2022年6月規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的

月度走勢，其中2022年12月看作1個月.現(xiàn)有如下說法：

①2021年10月至2022年3月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速呈現(xiàn)上升趨勢；

②2021年6月至2022年6月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的中位數(shù)為5.9；

③從這12個增速中隨機(jī)抽取2個，增速都超過10的概率為

33

則說法正確的個數(shù)為()

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：

I)

解析：

從2021年10月至2022年3月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速呈現(xiàn)上升趨勢，故①正確；

2021年6月至2022年6月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的中位數(shù)為竺上嘗=5.9，故②

2

C25

正確；從這12個增速中隨機(jī)抽取2個，都超過10的概率？=號=二，故③正確，故選D.

C%33

4.函數(shù)/(%)=廠+825的部分圖象大致為()

sinx

答案：

A

解析：

因?yàn)?(—x)=(X)+025.=_x+0.25=_/(制,所以/(幻為奇函數(shù)，故排除C,D；又

sin(-x)sinx

故排除B,故選A.

5.第五屆中國國際進(jìn)口博覽會在上海舉行，組委員會安排5名工作人員去A，

8等4個場館，其中A場館安排2人,其余比賽場館各1人，則不同的安排方法種數(shù)為()

A.48

B.60

C.120

1).240

答案：

B

解析：

分為兩步，第一步：安排2人去A場館有種結(jié)果，第二步：安排其余3人到剩余3個場

館，有A；種結(jié)果，所以不同的安排方法種數(shù)為C；A；=60,故選B.

a—x

6.設(shè)函數(shù)/(%)=——(。。0),若g(x)=/(x-1)+1是奇函數(shù)，則/(2022)=()

a+x

2022

A.------

2021

c2021

B.-------

2023

c2022

C.-------

2021

2021

D.-------

2023

答案：

B

解析：

,」/曰/、［、ix+112aPH/、2a注*

由已知可得g(x)=/(x-l)+l=---------+1=----------，貝|Jg(一幻=----------.因?yàn)?/p>

CL~\"X—1X+4Z—1—X4~CI—1

g(x)是奇函數(shù)，所以g(x)+g(—x)=——+——--=0,因?yàn)榻獾胊=l,

X+Q—1—X+d—1

所以/(x)=W，所以/(2022)=—黑，故選B.

2

7.設(shè)。b=0.8°3,c=log0.8,則()

V309

A.c>a>h

B.a>c>b

C.a>h>c

D.c>b>a

答案：

A

解析：

因?yàn)榘?gt;1且%〈我=2,所以l<a<2,Z?=O.*3<1,c=log090.8>log090.81=2,

所以c>a>〃，故選A.

TT

8,將函數(shù)/(九)=4cos(ar+0)(A>0,力>0,-4<"<0)的圖象上所有點(diǎn)向右平移一個

6

7T

單位長度，得到如圖所示的函數(shù)y=g(x)的圖象，則/(0)+/(7=()

A.0

B.1

C.2

D.—1

答案:

c

解析:

jrmjr

依題意，g(x)=AcosQ(x--)+e]=Acos(s:-----+*),故A=2,又g(x)的周期T

66

T7T7T27r7T

滿足人=土，得T=/r,所以』二乃，得刃=2,所以g(x)=2cos(2x—2+°),又

4312co3

g(5)=2,得2x。一^+9=2左乃，k&Z,又一乃<Q<0,所以/=—?,所以

TTTTTTTT

/(x)=2cos(2x-y),所以/(0)+/(W)=2cos(—W)+2cos：=2,故選C.

9.“寸影千里”法是《周髀算經(jīng)》中記載的一種遠(yuǎn)距離測量的估算方法，其具體方法是在同

一天(如夏至)的正午，于兩地分別豎起同高的標(biāo)桿，然后測量標(biāo)桿的影長，并根據(jù)“日影

差一寸，實(shí)地相距千里”的原則推算兩地距離.如圖，某人在夏至的正午分別在同一水平面

上的A,8兩地豎起高度均為a寸的標(biāo)桿AE與BF,AC與分別為標(biāo)桿AE與8尸在

地面的影長，在按影長AC與80的差結(jié)合“寸影千里”來推算A,8兩地的距離.記

JT

ZCEA=a,ZBDF=^<--a),則按照“寸影千里”的原則，A,8兩地的距離大

約為()

100asin(a+￡)

-----------—里

sinasinp

1000asin(a+尸)

------------—里

sinacosp

1000acos(a+/?)

----------------里

sinpcosa

lOOOacos(a+0

D.----------------------------

cosacosB

答案：

C

解析：

由題意可知AC=AEtana,=所以AC="——AEtana

tanptan°

acos(3asina_a(cos(3cosa-sinasin/)_Qcos(a+(3)

，所以可以估計(jì)A,B兩

sin(3cosorsin夕cosasin/?cosa

地的距離大約為(8?！狝C)x1000=100°"儂9+0里,故選c.

sin-cosa

10.已知工>0,y>0,滿足/+2xy-l=0,則3x+2y的最小值是（）

A.V2

B.6

C.273

D.2V2

答案：

D

解析：

1x2

由尢2+2劃一1=0,得丫=-----,而x>0,y>0,則有0〈尢<1,因此，

2x

3x+2y=3x+^—^-=2x+->2.l2x^=2y/2,當(dāng)且僅當(dāng)2》=!，即％=①時取等號,

xx\xx2

所以3x+2y的最小值為2啦.故選D.

11.已知三棱錐產(chǎn)一ABC的頂點(diǎn)都在球。的球面上，A3=3C=2,NA3C=120°,若三

棱錐P-48C的體積最大值為2,則球。的半徑為（）

A.y/3

Bg

3

r2V3

3

D.迪

3

答案：

D

解析：

設(shè)AABC的外接圓圓心為?！敢李}意可知A40f為正三角形，所以圓。1的半徑

r=AB=2,設(shè)球。的半徑為R,因?yàn)椤?。J_平面ABC,所以O(shè)q=依-戶=依-4,

當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時，三棱錐P-A5C的高等于。。1+/=J/?2—4+/?,所

以"川-1■■?.■7+R)=2,行J*-4+/?=2方,解得

R=----,故選D.

3

12.若曲線曠=/一|與曲線y=a正在公共點(diǎn)處有公共切線，則實(shí)數(shù)”=()

A叵

e

B.立

e

2

C.一

e

D.1

e

答案:

A

解析:

設(shè)公共點(diǎn)為P(s,t)，y=e'T的導(dǎo)數(shù)為y=ex-',在P(s,t)處的切線斜率k=e1'1；y=

的導(dǎo)數(shù)為>'=、=，在P(s,f)處的切線斜率&=竟.因?yàn)樵诠颤c(diǎn)處有公共切線，所以

a

小品—"心所”2y/s,即a\[s=-9產(chǎn)，解得s=—,所

7—2,yJs2

=a>Js

,解得。=,故選A.

二、填空題

1工一如向hlm=(a.a-2).〃=(u-2.4),11,nY(ni-n),則實(shí)數(shù)(i二

答案：

2

解析：

)n-n-(a.a$2)-(a-2.4)-(2.a—2).川為nJ_(/〃一〃)，所以

2X(〃-2)+(Q-2)X4=0,解得Q=2.

14.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸到直線2:2x—y-3=0的距離為

―,則p的值為.

答案：

2或4

解析：

由已知可得尸(弓,0),到直線2x—y—3=0的距離為=白，解得〃=2或〃=4.

15.已知a,p6(0,—),sina+3sin(a-24)=0,則咽絲——=

2tan/?

tan(。一24)的最小值是.

答案：

]_

2

_V2

一丁

解析：

由題意得,sin[(a—4)+尸]+3sin[(a—4)—4]=0,

/.sin(a一0)cos0+cos(a-/?)sinp+3[sin(a一0)cosp-cos(a-p)sin尸]=0,

2cos(a-。)sin(3=4sin(a-B)cosP,tan，=2tan(cr一B)，所以⑦"。~~—二L

tan°2

又tan(a—2/?)=tan[(a—/?)—/7]=39一月)—1仙"，設(shè)1抽夕二》〉。，則

1+tan(a-/3)tanp

tan(a—尸)=gx,所以tan(a—2/?)=—三二—三云一=一日，一當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取

等號，所以tan(a—2/?)的最小值是一注.

4

16.韓信是我國漢代能征善戰(zhàn)、智勇雙全的一員大將.歷史上流傳著一個關(guān)于他點(diǎn)兵的奇特方

法.有一天，韓信問有多少士兵在操練，部將回答：三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七

七數(shù)之，剩四，韓信很快就知道了士兵的人數(shù).設(shè)有個士兵，若機(jī)e[2021,3021],符合

條件的"?共有.個.

答案：

1()

解析：

由“三三數(shù)之，剩二”知，機(jī)是等差數(shù)列5,8.11,14,中的項(xiàng)，其中滿足“五五數(shù)

之，剩三”的最小數(shù)是8,故，”是等差數(shù)列8,23,38,53,中的項(xiàng)，其中滿足“七

七數(shù)之，剩四”的最小數(shù)是53,故機(jī)是等差數(shù)列53,158,263,368,中的項(xiàng)，通

項(xiàng)公式q=53+105(〃—1),令2021453+105(〃一1)43021,解得20W/W29,且

neN*，故符合條件的機(jī)共有10個.

三、解答題

17.在①a2=5,S“+]+S,i=2S?+4(??>2,neN"),

qq

②2=4+2,

n+1n

③(4〃+1)4Z?=(4/i-3)a”+1

這三個條件中任選一個，填在下面的橫線上，并解答問題.

已知數(shù)列伍“｝的前〃項(xiàng)和為S“，q=l,且-----------

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若切是鬼,。,用的等比中項(xiàng)，求數(shù)歹I"2｝的前〃項(xiàng)和

答案：

見解析

解析：

⑴若選①,則由S〃JS〃T=2S“+4,得S〃+「S〃=S〃一S,I+4,

即4川=4+4,即—4=4(〃22,〃EN"),

又622—4=4,

所以｛〃“｝是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，

%=1+4(〃-1)=4/?-3,

所以｛%｝的通項(xiàng)公式為an=4n-3.

若選②，由=叱=j+2得口比——^=2,

n+1nn+ln

所以｛2｝是以a=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

n1

所以&>=1+2(刀-1)=2鹿一1,則5“=2"—〃，

n

當(dāng)〃22時，a“=S"一S“_]=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3,

當(dāng)〃=1,q=l滿足上式，

所以｛%｝的通項(xiàng)公式為a,=4/2-3.

若選③，由(4〃+l)a?=(4/?-3)a?+l,得(4〃-3)an_1=(4〃-7)a,(〃>2,n&N*),

?，4n-34n-34n—74n—34〃—74〃—115.

所以=------a.=------------------=--------------------------------------a.=4n-3o

"4n—7n'4〃-74/1-11"24〃-74n-ll4〃-1511

當(dāng)〃=1時，q=1滿足上式，

所以｛a“｝的通項(xiàng)公式為4=4〃-3.

(2)依題意鑿=anan+i=(4n-3)(4〃+1),

111,11、

所以-r=------------------=一(--------------),

Y(4〃-3)(4〃+1)44〃-34n+l

所以[=--H7+-I~—[(1)+(------)++(-----------------)J

"b；b；b；45594M-34n+l

1n

)

40-4〃+14n+l

18.如圖，在四棱柱P—ABC。中，PAJ_平面ABC。，底面四邊形ABC。是正方形,

Q4=AD,點(diǎn)E為PC的中點(diǎn).

(1)求證：AC_L平面BOE；

(2)求平面BDE與平面PC。所成銳二面角的大小.

答案：

見解析

解析：

(1)證明：設(shè)AC與8□的交點(diǎn)為0,連接0E.

因?yàn)榈酌嫠倪呅蜛BCD為正方形，所以ACJ.3D,AO=CO.

又點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，

所以O(shè)E//PA.

因?yàn)锽4_L平面ABCD,所以O(shè)EJ?平面A3C。，又ACu平面4BCD,

所以ACJ_OE.

又BDOE=O,

所以AC_L平面BDE.

(2)解：設(shè)AD=2,則9=AB=3C=CD=2.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系4一型，則4(0,0,0),0(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),

可得。戶=(0,—2,2),DC=(2,0,0),AC=(2,2,0).

由(1)知，平面8OE的一個法向量為AC=(2,2,0).

設(shè)平面BDE與平面PCD所成銳二面角為。，

「\n-AC\|0x2+lx2+lx0|1

cos3--------

I"IIAC|Jo。+f+?xx/22+2;+022

TTTT

因?yàn)椤！?0,二)，所以。=代，

23

TT

即平面3DE與平面PC。所成銳二面角的大小為

3

19.在A4BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

acosA=/?sinB+csinC—2csinBcosA.

(1)求A；

(2)若a=6，sinB=,求b和c.

4

答案：

見解析

解析：

(1)設(shè)AABC的外接圓半徑為R,

ahc

由正弦定理一/二-^=」一=2R,

sinAsinBsinC

得a-27?cosA=b2+c2-2cbeosA,

-7；M余/定理a2=b2+c1-2/?ccosA,

得a?2RcosA=〃2,因?yàn)?/p>

所以27?cosA=Q=2AsinA,得cosA=sinA,

TT

因?yàn)锳￡（0,〃），所以A=一.

4

na

（2）由（1）知4=一，所以2R=——=2,

4sinA

V2_V2

所以/?=2Rsin5=2x

乂縣跳絲

由余弦定理/=/+<?-2c/?cosA得,

222

即2c2-2。-3=0,

1+\/1?1—..

解得c=-------或。=------（舍去）.

22

1+77

綜上，b=—

22

221(。＞方＞0)的離心率為半，且過點(diǎn)(0,1).

2。.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓U7+方

(1)求C的方程；

3

(2)若直線/:%=以+/與。交于P,。兩點(diǎn)，且AOP。的面積是晨求證：2m2-k2=9.

答案：

見解析

解析：

A

(1)由題意得，＜

sia1-h220，

a3

所以。的方程為三+丁=1.

9-

r2+9v2=9

(2)證明：由《'，消去x得(公+9)丁+2切iy+"?2-9=0,

x=ky+m

-2km

%+為=中

設(shè)P(XQl),QH，必)，則2C，

m-9

所以|P。|=Jl+/-J(x+必)2-4必必=6^+k-^k^9-

點(diǎn)。至I"的距離d=JI

Jl+二

22

/NGl,nz.,73\m\Jk+9-m3

所以=-----------------=5,

所以4/一4加2/2+9)+(/+9)2=o

即[2/〃2一(％2+9)]2=0,

所以2/一二=9.

21.已知函數(shù)/(x)=e*T-Inx.

(1)求/(x)的極值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-a(x-l),aeR,求g(x)的極小值的最大值.

答案：

見解析

解析：

(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0},f'(x)=ex-'

X

令h{x}=ex-'--,則"(x)=e'T+4>0,

XX

所以h(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,且/z(l)=/'(1)=0.

當(dāng)xe(0,1)時，/'(x)=〃(x)<0；

當(dāng)xe(1,+00)時，J"(x)=〃(x)>0.

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,長。)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=1時/(%)有極小值/⑴=1,無極大值.

(2)因?yàn)間(x)=/(x)-a(x-l)=e*T-lnx-a(x-l),所以g'(x)=7'(x)-a.

由(1)知，g'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)X-0時，g'(x)—>一8;當(dāng)Xf+oo時，g'(x)->+co,則g'(x)=0有唯■—解

當(dāng)X€(O,Xo)時，g'(x)<0；

當(dāng)XG(Xo，+oo),時，g'(x)>0,

即g(x)在(O,xo)上單調(diào)遞減，在(%,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)在x=x0處取得極小值g(Xo)=e*T-111/一以/一1),且與滿足e"---=a.

%

所以g(x0)=(2-Xo)e~T-

令<p(x)=(2-x)e*T-Inx+1——，則(p'{x}=(1-x\ex~}+!).

XX

當(dāng)xe(0,1)時，(p\x)>0；

當(dāng)xe(l,+co)時，(p'{x)<0,

即e(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+oo)上單調(diào)遞減，

所以8(X)max=。⑴=L

所以g(x)的極小值的最大值為1.

四、選做題(二選一)

x=Videosa