第五章測(cè)量誤差的基本

第五章測(cè)量誤差的基本第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四§5.1測(cè)量誤差概述概述測(cè)量誤差的來源、分類和處理原則。第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四測(cè)量實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，測(cè)量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如：1、對(duì)同一量多次觀測(cè)，其觀測(cè)值不相同。2、觀測(cè)值之和不等于理論值： 三角形α+β+γ≠180°

閉合水準(zhǔn)∑h≠0第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、測(cè)量誤差的來源等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)。不等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)。1.儀器誤差2.觀測(cè)誤差3.外界條件的影響觀測(cè)條件粗差：因讀錯(cuò)、記錯(cuò)、測(cè)錯(cuò)造成的錯(cuò)誤。第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、測(cè)量誤差的分類在相同的觀測(cè)條件下，無論在個(gè)體和群體上，呈現(xiàn)出以下特性：誤差的絕對(duì)值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負(fù)號(hào)保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對(duì)值隨著單一觀測(cè)值的倍數(shù)而積累。1、系統(tǒng)誤差:誤差的大小、符號(hào)相同或按一定的規(guī)律變化。第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

例：鋼尺—尺長(zhǎng)、溫度、傾斜改正水準(zhǔn)儀—i角經(jīng)緯儀—c角、i角

注意：系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大。消除和削弱的方法:

（1）校正儀器；（2）觀測(cè)值加改正數(shù)；（3）采用一定的觀測(cè)方法加以抵消或削弱。第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某個(gè)固定量作一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)結(jié)果的差異在正負(fù)號(hào)及數(shù)值上，都沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即沒有任何規(guī)律性，這類誤差稱為偶然誤差。

2、偶然誤差第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四偶然誤差的特性真誤差觀測(cè)值與理論值之差第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四③絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，可相互抵消；④同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加而趨近于零，即：

①在一定的條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限度;（有界性）②絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)要多；（密集性、區(qū)間性）（抵償性）第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四誤差處理的原則：1、粗差：舍棄含有粗差的觀測(cè)值，并重新進(jìn)行觀測(cè)。2、系統(tǒng)誤差：按其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正、抵消和削弱。3、偶然誤差：根據(jù)誤差特性合理的處理觀測(cè)數(shù)據(jù)減少其影響。返回第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四§5.2衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)介紹三種測(cè)量誤差精度的衡量標(biāo)準(zhǔn)。第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四精度：又稱精密度，指在對(duì)某量進(jìn)行多次觀測(cè)中，各觀測(cè)值之間的離散程度。評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)中誤差容許誤差相對(duì)誤差第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、中誤差

定義在相同條件下，對(duì)某量（真值為X）進(jìn)行n次獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值l1，l2，……，ln，偶然誤差（真誤差）Δ1，Δ2，……，Δn，則中誤差m的定義為：式中第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四式中：例：試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，分別計(jì)算各組觀測(cè)值的中誤差。第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：第一組觀測(cè)值的中誤差：第二組觀測(cè)值的中誤差：，說明第一組的精度高于第二組的精度。說明：中誤差越小，觀測(cè)精度越高第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四定義由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值。這個(gè)限值就是容許（極限）誤差。二、容許誤差（極限誤差）測(cè)量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差；即Δ容=2m或Δ容=3m。極限誤差的作用：

區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界限。第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四偶然誤差的絕對(duì)值大于中誤差9?的有14個(gè)，占總數(shù)的35%，絕對(duì)值大于兩倍中誤差18?的只有一個(gè)，占總數(shù)的2.5%，而絕對(duì)值大于三倍中誤差的沒有出現(xiàn)。中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對(duì)誤差。第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

相對(duì)誤差K是中誤差的絕對(duì)值m

與相應(yīng)觀測(cè)值D

之比，通常以分母為1的分式來表示，稱其為相對(duì)（中）誤差。即:三、相對(duì)誤差

一般情況

:角度、高差的誤差用m表示，量距誤差用K表示。第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四[例]

已知：D1=100m,m1=±0.01m，D2=200m,m2=±0.01m，求：K1,K2解：第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四§5.3誤差傳播定律介紹誤差傳播定律的公式及其應(yīng)用。第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四概念

誤差傳播定律：闡述觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差的關(guān)系的定律。函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)非線性函數(shù)的一般式為：式中：為獨(dú)立觀測(cè)值；為獨(dú)立觀測(cè)值的中誤差。求函數(shù)的全微分，并用“Δ”替代“d”，得一、一般函數(shù)第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四式中：是函數(shù)F對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)函數(shù)式與觀測(cè)值確定后，它們均為常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)，其中誤差為：誤差傳播定律的一般形式第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四[例]已知：測(cè)量斜邊D′=50.00±0.05m，測(cè)得傾角α=15°00′00″±30″求：水平距離D解：1.函數(shù)式

2.全微分

3.求中誤差

第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、線性函數(shù)的誤差傳播定律設(shè)線性函數(shù)為：式中為獨(dú)立的直接觀測(cè)值，為常數(shù)，相應(yīng)的觀測(cè)值的中誤差為。

第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

1.列出觀測(cè)值函數(shù)的表達(dá)式：

2.對(duì)函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測(cè)值真誤差之間的關(guān)系式：式中是用觀測(cè)值代入求得的值。求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟：三、運(yùn)用誤差傳播定律的步驟第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

3、根據(jù)誤差傳播率計(jì)算觀測(cè)值函數(shù)中誤差：

注意：在誤差傳播定律的推導(dǎo)過程中，要求觀測(cè)值必須是獨(dú)立觀測(cè)值。第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四誤差傳播定的幾個(gè)主要公式：函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四§5.4算術(shù)平均值的中誤差介紹算術(shù)平均值的中誤差算法和應(yīng)用。第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了n次，觀測(cè)值為l1、l2……ln，中誤差為m1、m2…mn，則其算術(shù)平均值（最或然值、似真值）L為：一、求最或是值L第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

設(shè)未知量的真值為x，可寫出觀測(cè)值的真誤差公式為（i=1，2，…，n）將上式相加得

或故

推導(dǎo)過程：第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增多時(shí)，即（算術(shù)平均值）說明，n趨近無窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值。第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

因?yàn)?/p>

式中，1／n為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m。設(shè)平均值的中誤差為mL，則有

二、算術(shù)平均值中誤差mL第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四由此可知，算術(shù)平均值的中誤差為觀測(cè)值的中誤差的倍。

故第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、精度評(píng)定

第一公式

第二公式

（白塞爾公式）條件：觀測(cè)值真值

x已知條件：觀測(cè)值真值

x未知，算術(shù)平均值L已知其中

—觀測(cè)值改正數(shù)，第三十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四證明：（i=1，2，3，…，n）兩式相加，有即解：（i=1，2，3，…，n）設(shè)則第三十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四將上列等式兩端各自平方，并求其和，則將代