第二節(jié)矩陣的特征值與特征向量

第二節(jié)矩陣的特征值與特征向量第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四§2方陣的特征值和特征向量例1~4特征值與特征向量的概念特征值與特征向量的計算特征值與特征向量的性質例5~9第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四特征值與特征向量的概念定義設為階方陣,如果數(shù)和維非零向量使成立,則稱數(shù)為的一個特征值,零向量稱為的對應于特征值的特征向量.注:階方陣的特征值,就是使齊次線性方程組有非零解的值,都是矩陣的特征值;的即滿足方程非第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四特征值與特征向量的概念定義設為階方陣,如果數(shù)和維非零向量使成立,則稱數(shù)為的一個特征值,零向量稱為的對應于特征值的特征向量.非稱關于的一元次方程程,為的特征方稱的一元次多項式特征多項式.為的第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四特征值與特征向量的計算定義設為階方陣,如果數(shù)和維非零向量使成立,則稱數(shù)為的一個特征值,零向量稱為的對應于特征值的特征向量.非根據(jù)上述定義,即可給出特征向量的求法:設為方陣的一個特征值,則由齊次線性方程組可求得非零解特征向量.若是方程組的基礎解系,則的對應于特征值的特征向量的全體可表示為那么就是的對應于特征值的完第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例1解代入與特征方程對應的齊次線性方程組,求矩陣矩陣的特征方程為所以是矩陣的兩個不同的特征值.以得基礎解系是的特征值與特征向量.故的全部特是矩陣對應于征向量.第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例1解求矩陣的特征值與特征向量.完以代入與特征方程對應的齊次線性方程組,得基礎解系是特征向量.故是矩陣對應于的全部第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例2解求的特征值與特征向量.特征值時,當解方程設由基礎解系第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例2解由基礎解系當時,解方程故對應于的全體特征向量為由第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例2解由得基礎解系故對應于的全體特征向量為不同時為0).(完第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例3解特征向量.求階數(shù)量矩陣的特征值與故的特征值為把代入得第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例3解把代入得性無關的向量都是它的基礎解系,取單位向量組作為基礎解系,所以任意個線于是的全部特征向量為這個方程組的系數(shù)矩陣是零矩陣,(不全為零).完第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例4解試求上三角矩陣的特征值:因此的特征值等于這是一個上三角行列式,因此,完第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四特征值與特征向量的性質性質1階矩陣與它的轉置矩陣有相同的特征值.證由有知與有相同的特征多項式,故它們的特征值相同.性質2設階矩陣,是則第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四特征值與特征向量的性質性質2設階矩陣,是則式中是的全體階主子式的和.設是的個特征值,則完第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例5證試證:是必要性于是充分性對應的特征向量為由特征值的定義,有階矩陣是奇異矩陣的充分必要條件有一個特征值為零.若是奇異矩陣,則即是的一個特征值.設有一個特征值為所以齊次線性方程組有非零解由此可知即為奇異矩陣.第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例6證證明因證畢.設是方陣的特征值,當可逆時,是的特征值;是的特征值.是的特征值;因故有使當可逆時,由有知故即是的特征值.是的特征值.所以于是第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四定理階方陣互不相等的特征值對應的特征向量線性無關.證用數(shù)學歸納法.時,因特征向量不為零,成立.設前個特征值對應的特征向量線性無關,欲證線性無關.設①成立,以矩陣乘①式兩端,由整理得②由①,②消去得結論第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四定理階方陣互不相等的特征值對應的特征向量線性無關.證由①,②消去得于是①式化為故線性無關.第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四定理階方陣互不相等的特征值對應的特征向量線性無關.注:線性無關的特征向量;有個不同的特征值,階方陣屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量;矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的,一個特征值具有的特征向量不唯一;一個特征向量不能屬于不同的特征值.則有個因為,若設同時是的屬于兩個不同的特征值的特征向量,即第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四定理階方陣互不相等的特征值對應的特征向量線性無關.因為,若設同時是的屬于兩個不同的特征值的特征向量,即由得與定義矛盾.故結論成立.完第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例7解的線性無關的特征向量組.求階矩陣3的特征多項式為的特征值以及相應這個多項式的根為因此的特征值等于接下來求特征向量:對將代入第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例7解因此的特征值等于接下來求特征向量:對將代入容易算出這個方程組的系數(shù)矩陣秩等于因此齊次線性方程組的基礎解只有一個線性無關的向量,不難求出為得對代入可得齊次方程組:將第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例7解對代入可得齊次方程組:將求出這個齊次線性方程組的基礎解系為正好等于因此的相應于特征值的線性無關的特征向量有于是的線性無關的特征向量有個,個,而相應于特征值的線性無關的特征向量有個,的階數(shù)完第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例8證按題設,故用反證法,則應存在數(shù)于是即設和是矩陣的兩個不同的特征值,應的特征向量依次為和證明有設是的特征向量,的特征向量.不是使對故由上式得因由本節(jié)定理知線性無關,第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例8證用反證法,在數(shù)于是即設和是矩陣的兩個不同的特征值,應的特征向量依次為和證明設是的特征向量,的特征向量.不是使對故由上式得因由本節(jié)定理知線性無關,則應存即與題設矛盾.因此不是的特征向量.完第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例9證即正交矩陣的實特征值的絕對值為設為正交矩陣,是方陣的對應于特征值的特征向量,則因又所以得注:的特征值是特征方程的也是的根.①