第二章一元二次函數(shù)方程和不等式22基本課時(shí)1概念及其應(yīng)用

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤(pán)群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過(guò)期第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2

基本不等式課時(shí)1 基本不等式的概念及其應(yīng)用（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握基本不等式及其推導(dǎo)過(guò)程.（邏輯推理）能熟練運(yùn)用基本不等式比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）能初步運(yùn)用基本不等式進(jìn)行證明和求最值.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）自主預(yù)習(xí)·悟新知合作探究·提素養(yǎng)隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)2002年在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)如圖所示，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客.根據(jù)上節(jié)的內(nèi)容我們可得?

?出<>m??

?

?? ≥

2????/<>m

，當(dāng)且僅當(dāng)m><??

?

??m></

時(shí)等號(hào)成立.閱讀教材，結(jié)合上述情境回答下列問(wèn)題：若以<>m

??/<>m

，

<>m

??m></

分別代替材料中的??m>< m></

，

??m>< m></

，可得出什么結(jié)論？[答案]

<>m??

+

??

≥

2 ????/<>m

.問(wèn)題1的結(jié)論中，“=”何時(shí)成立？[答案]

當(dāng)且僅當(dāng)<>m??

=

??/<>m

時(shí)，“=”成立.1.判斷下列結(jié)論是否正確.（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）

對(duì)于任意??

，

??

∈

??

，

???

+

???

≥

2????

.(

√

)?（2）

當(dāng)??

∈

???

時(shí)，

??

+

?

>

2 2

.(

√

)?（3）

當(dāng)??

≠

0

時(shí)，

??

+

?

≥

2

.(

×

)??（4）

若??

>

0

，則???

+

?

的最小值為2 ??

.()×2.已知??≠0

，則下列不等式正確的是(?A.

??

+

?

≥

2B.

???

+?

??≤

?2??C.

???

+

?

≥

2D.

???

?

+?

???≤

?27@@

C

).?[解析]

當(dāng)??

<

0

時(shí)，

??

+

?

<

0

,

???

+?

??>0

，故A，B

錯(cuò)誤.???當(dāng)??

≠

0

時(shí)，由基本不等式的性質(zhì)可得???

+

?

≥

2

,

????

+ ?

?

?

≥

2

,故C正確，D錯(cuò)誤．3.不等式??

?2??

+

?

≥

2

成立的前提條件為.><m??

>

2??/><m????[解析]

因?yàn)榛静坏仁匠闪⒌那疤釛l件是各項(xiàng)均為正，所以???2??>0

，即??>2??

.????

?????

?????

≥

0/<>m

.4.已知<>m??/<>m

，<>m??/<>m

，<>m??/<>m

都是正數(shù)，求證：<>m??+??+???[解析]

∵

??

，

??

，

??

都是正數(shù)，∴

??

+

??

≥

2 ????

，

??

+??

≥

2 ????

，

??

+??

≥

2 ????

，∴

??

+

??

+??

+??

+??

+??

≥

2????

+ ????

+

????

，????

，∴

??

+

??

+??

≥即??+??+???????

+????

?????

+????

?????≥0

，當(dāng)且僅當(dāng)??=??=??

時(shí)，等號(hào)成立．探究1

基本不等式如圖，<>m????/<>m

是圓<>m??/<>m

的直徑，點(diǎn)<>m??/<>m

是<>m????/<>m

上任意一點(diǎn)，<>m????=??/<>m

，<>m????=??/<>m

，過(guò)點(diǎn)<>m??/<>m

作<>m????/<>m垂直于<>m????/<>m

且交圓<>m??/<>m

于點(diǎn)<>m??/<>m

，連接<>m????/<>m

，<>m????/<>m

.問(wèn)題1：.如何用<>m??/<>m

，<>m??/<>m

表示<>m????/<>m

，<>m????/<>m

的長(zhǎng)度？?

?/<>m

m><

m></

m><

m></

m><[答案]

????

=

??

=

???

.易證Rt△??????

∽

Rt

△??????

，則?????

=

????

?????

，即????

=m></><m????

.問(wèn)題2：.比較<>m????/<>m

，<>m????/<>m

的長(zhǎng)度，能得出什么結(jié)論？[答案]

m><????/<>m

的長(zhǎng)度大于或等于<>m????/<>m

的長(zhǎng)度，通過(guò)兩者的關(guān)系可以得出?/<>m???<>m

????

≤

.問(wèn)題3：.閱讀教材用分析法證明的過(guò)程，請(qǐng)問(wèn)每一步推理的依據(jù)是什么？[答案]

教材的證明過(guò)程的依據(jù)是②

<>m?/<>m

①，③

<>m?/<>m

②，④

<>m?/<>m

③，⑤

<>m?/<>m

④.問(wèn)題4：.教材的證明方法叫作“分析法”.你能歸納一下用分析法證明命題的思路嗎？[答案] 分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的充分條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.問(wèn)題5：.你能說(shuō)說(shuō)分析法的證明格式是怎樣的嗎？[答案] 由于分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，所以分析法在書(shū)寫(xiě)過(guò)程中必須有相應(yīng)的文字說(shuō)明.一般每一步的推理都用“要證……只要證……”的格式，當(dāng)推導(dǎo)到一個(gè)明顯成立的條件之后，指出“顯然……成立”.新知生成<>m

/<>m

m><

m></

m><?/<>m

m<>

m<>/

m><

m></

m><

m<>/1.有關(guān)概念：當(dāng)??

，

??

均為正數(shù)時(shí)，把???

叫作正數(shù)??

，

??

的算術(shù)平均數(shù)，把

????

叫作正?均數(shù)，即

????

≤

???

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立.數(shù)<>m??/<>m

，<>m??/<>m

的幾何平均數(shù).2.基本不等式：當(dāng)??

，??

是任意正實(shí)數(shù)時(shí)，??

，??

的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平<>m??

=

??/><m新知運(yùn)用例1

判斷下列推導(dǎo)過(guò)程是否正確.<>m

m></

m<>

m></

m><?（1）

∵

??

∈

??

，

??

≠

0

，

∴

?

+

??

≥

2?/<>m?

?

??

=

4

.<>m

m></

m><

m></

m><

m<>/

m><（2）

∵

??

，

??

∈

??

，

????

<

0

，

∴

?

+

?

=

?[

?

?

+?

??

?

?

??

?

?

?

?

?/<>m]

≤

?2 =

?2

．[解析]

（1）因?yàn)??

∈

??

，

??

≠

0

，當(dāng)??

<

0

時(shí)不符合基本不等式的使用條件，所以（1）的推導(dǎo)是錯(cuò)誤的．（2）由????<0

，知?

，?

均為負(fù)數(shù)，在推導(dǎo)過(guò)程中，將其轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)??

，??

后，符合?

?

?

?基本不等式的使用條件，故（2）的推導(dǎo)正確．方法總結(jié) 應(yīng)用基本不等式時(shí)，注意下列常見(jiàn)變形中等號(hào)成立的條件：<>m??/<>m

m<>

m></

m><

m></

m><

m></（1）

?

+?

≥2

（

??

，??

同號(hào)），當(dāng)且僅當(dāng)??=??

時(shí)取等號(hào)；<>m??/<>m

m<>

m<>/

m><

m></

m><

m></（2）

?

+?

≤?2

（

??

，??

異號(hào)），當(dāng)且僅當(dāng)??=???

時(shí)取等號(hào).A.

??

=

0

B.

??

=

??C.

??

=

11.在不等式??

+1

≥

2 ??

??

>

0

中，等號(hào)成立的條件是(

19@@

C

).[解析]

∵

??

+1

?2 ??

=

???

1

?

≥

0

??

>

0

，∴當(dāng)D.

??

=

2??=1

，即??=1

時(shí)，等號(hào)成立.2.已知??

，??∈??

，且????>0

，則下列結(jié)論恒成立的是(A.

???

+

???

>

2????

B.

??

+??

≥

2

????

C.

?

+

?

>?

?

??

?

?D.

?

+

?

≥

221@@

D

).?[解析]

對(duì)于A，當(dāng)??

=

??

時(shí)，

???

+

???

=

2????

，A錯(cuò)誤；對(duì)于B

，

C

，

????

>

0

只能說(shuō)明??

，??

同號(hào)，當(dāng)??

，??

都小于0時(shí)，B

，C

錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)????>0

，所以?

>0

，?

>0

，?

?所以?

+

?

≥

2

?

?

?

，即?

+

?

≥

2

恒成立，D正確.故選D.?

?

?

?

?

?探究2

基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用小區(qū)有一個(gè)面積為8的直角三角形花壇.問(wèn)題1：.上述情境中，能否求出兩條直角邊的邊長(zhǎng)之和的最小值？<>m

/<>m

m><

m></><m?/<>m

m><[答案]

設(shè)兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別為??

，

??

??

>

0,

??

>

0

，已知?

????

=

8

，所以??

+??

≥2 ????=8/<>m

，當(dāng)且僅當(dāng)<>m??=??=4/<>m

時(shí)，兩條直角邊的邊長(zhǎng)之和最小，最小值為8.問(wèn)題2：.若這個(gè)直角三角形的兩條直角邊的邊長(zhǎng)之和為4，如何求該直角三角形面積的最大值呢？[答案]

設(shè)兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別為<>m??/<>m

，

<>m??

??

>

0,

??

>

0

/<>m

，則<>m??

+

??

=

4/<>m

，因?yàn)?lt;>m??

>

0/<>m

，

<>m??

>0/<>m

，所以<>m??

+

??

≥

2 ????/<>m

，所以<>m????≤?????=4/<>m

，當(dāng)且僅當(dāng)<>m??=??=2/<>m

時(shí)“=”成立.所以該直角三角形面積的最大值為2.新知生成1.求最值的方法已知<>m??/<>m

，<>m??/<>m

都是正數(shù)，（1）如果積<>m????/<>m

等于定值<>m??/<>m

,那么當(dāng)<>m??

=

??/<>m

時(shí)，和<>m??

+

??/<>m

有最小值<>m2

??/<>m

;<>m

m<>/

m<>

m></

m><

m></

m<>

m<>/<>m?

/<>m（2）如果和??+??

等于定值??

，那么當(dāng)??=??時(shí)，積????

有最大值?

???

.利用基本不等式求最值時(shí)，必須按照“一正，二定，三相等”的原則進(jìn)行，即?/<>m

m><

m></①一正：符合基本不等式???

≥ ????

成立的前提條件

??

>

0,

??

>

0

.m><②二定：化不等式的一邊為定值.③三相等：必須存在取“=”的條件，即“=”成立.以上三點(diǎn)缺一不可.2.基本不等式的變形（1）

m><????

≤???

?

≤

?????

?

?/<>m??,

??

∈

??

；????（2）

<>m

????

≤

≤?

???

??/><m

（

??<>m m></

，

??<>m m></

均為正實(shí)數(shù)）.新知運(yùn)用一、利用基本不等式求最值<>m

m><?例2

（1）已知??

<

?

，求??

=

4??

?2

+

的最大值；?m></

????m></?/<>m<>m?/<>m（2）已知0

<

??

<

?

，求??

=

?

??

1

?2??

的最大值；m><??（3）當(dāng)m<>??>0/<>m

時(shí)，求函數(shù)<>m??=????m></

的最大值．?[解析]（1）

∵??<?

，∴5?4??>0

，∴

??

=

4??

?

2

+?????

?????=

? 5

?

4??

+ +3

≤

?2+

3

=

1

，當(dāng)且僅當(dāng)5?4??=?????，即??=1

時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)??=1

時(shí)，?????

=1

.?（2）

∵

0

<

??

<

?

，

∴

1

?

2??

>

0

，∴

??

=

?

?

2??

1

?

2?? ≤

?

??

??????????=?

×?

=?

，當(dāng)且僅當(dāng)2??=1?2??

，即??=?

時(shí)，等號(hào)成立，故?

?

??

??????

=???

.（3）

∵

??

>

0

，

∴

??

=????????????

????= ≤

?

=

1

，當(dāng)且僅當(dāng)??

=

?

，即??

=

1

時(shí)，等號(hào)成立，故?? =

1

.方法總結(jié) 利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是通過(guò)恒等變形及配湊，使“和”或“積”為定值.常見(jiàn)的變形方法有拆、并、配.拆——裂項(xiàng)拆項(xiàng)：對(duì)分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對(duì)整式進(jìn)行拆項(xiàng)，為應(yīng)用基本不等式湊定積創(chuàng)造條件；并——分組并項(xiàng)：目的是分組后各組可以單獨(dú)應(yīng)用基本不等式，或分組后先對(duì)一組應(yīng)用基本不等式，再在組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值；（3）配——配式、配系數(shù)：有時(shí)為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項(xiàng)之和為定值.二、利用基本不等式證明<>m

/<>m <>m

/<>m ><m

/<>m

m<>

m></<>m??

?/<>m例3

已知??

，??

，??

為正數(shù)，且滿足??????=1

.證明：?

+?

+?

≤???

+???

+

???

.[解析]因?yàn)???

+???

≥2????

，???

+???

≥2????，???

+???

≥2????

，??????=1

，所以???

+???

+???

≥????+????+????=????????

=?

+?

+?

，當(dāng)且僅當(dāng)??=??=??=1

時(shí)，等號(hào)成立.???

?

?

?所以?

+?

+?

≤???

+???

+

???

.?

?

?方法總結(jié) 利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(xiàng)策略：從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.注意事項(xiàng)：①多次使用基本不等式時(shí)，要注意等號(hào)能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時(shí)注意使用；③對(duì)不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，構(gòu)成基本不等式模型再使用.（1）已知<>m??>0/<>m

，<>m??>0/<>m

，且<>m??+??=16/<>m

，求<>m????/<>m

的最大值.<>m

/><m

m><

m></ m><

m></

m><

m></<>m??

?/<>m（2）已知??

，??

，??

為正數(shù)，且??+??+??=1

，證明：?

+?

+?

≥9.[解析]

（1）

∵

??

>

0

，

??

>

0

且??

+

??

=

16

，∴由基本不等式可得????≤?????=??

??=

64

，當(dāng)且僅當(dāng)??=??=8

時(shí)，????

取得最大值64

.（2）

?

+

?

+

?

=

?????

+

?????

+

??????

?

?

?

?

?=

3

+?

+

?

?

+??

?

?

?+

+?

+??

?≥

3

+

2

?

?

?

+

2

?

?

?

+

2

?

?

?

??

?

??

?=

3

+2