第四章 桿件的變形計算

第四章桿件的變形計算第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五直桿在其軸線的外力作用下，縱向發(fā)生伸長或縮短變形，而其橫向變形相應變細或變粗桿件在軸線方向的伸長縱向應變由胡克定律得到軸向拉壓變形公式第一節(jié)拉壓桿的軸向變形第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五公式的適用條件:

1）線彈性范圍以內，材料符合胡克定律2）在計算桿件的伸長時，l長度內其FN、A、l均應為常數(shù)，若為變截面桿或階梯桿，則應進行分段計算或積分計算。第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五橫向也會發(fā)生變形橫向應變通過試驗發(fā)現(xiàn)，當材料在彈性范圍內時，拉壓桿的縱向應變和橫向應變存在如下的比例關系泊松比泊松比ν、彈性模量E、切變模量G都是材料的彈性常數(shù)，可以通過實驗測得。對于各向同性材料，可以證明三者之間存在著下面的關系第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五例題4-1(教材70頁)如圖所示階梯形直桿，已知該桿AB段橫截面面積A1=800mm2，BC段橫截面面積A2=240mm2，桿件材料的彈性模量E=200GPa，求該桿的總伸長量。第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五1）求出軸力，并畫出軸力圖2）求伸長量mm伸長縮短縮短第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五例4-2節(jié)點位移問題(教材70頁)如圖所示桁架，鋼桿AC的橫截面面積A1=960mm2，彈性模量E1=200GPa。木桿BC的橫截面面積A2=25000mm2，長1m，彈性模量E2=10GPa。求鉸接點C的位移。F=40kN。第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五分析通過節(jié)點C的受力分析可以判斷AC桿受拉而BC桿受壓，AC桿將伸長，而BC桿將縮短。因此，C節(jié)點變形后將位于C3點由于材料力學中的小變形假設，可以近似用C1和C2處的圓弧的切線來代替圓?。ㄒ郧写》ǎ玫浇稽cC0第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五[解]1）分析節(jié)點C,求AC和BC的軸力（均預先設為拉力）拉壓伸長縮短第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五2）求AC和BC桿分別的變形量第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五3）分別作AC1和BC2的垂線交于C0C點總位移：(此問題若用圓弧精確求解)第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第二節(jié)圓軸的扭轉變形及相對扭轉角在談到圓軸扭轉切應力公式的推導時，相距為dx的兩個相鄰截面之間有相對轉角dj取單位長度扭轉角

用來表示扭轉變形的大小單位長度扭轉角的單位:rad/m抗扭剛度越大，單位長度扭轉角越小第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五在一段軸上，對單位長度扭轉角公式進行積分，就可得到兩端相對扭轉角j。相對扭轉角的單位:rad當為常數(shù)時：請注意單位長度扭轉角和相對扭轉角的區(qū)別同種材料階梯軸扭轉時:第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五例4-3一受扭圓軸如圖所示，已知：T1=1400N·m，T2=600N·m，T3=800N·m，d1=60mm，d2=40mm，剪切彈性模量G=80GPa，計算最大單位長度扭轉角。第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五1）根據題意，首先畫出扭矩圖2）AB段單位長度扭轉角：3）BC段單位長度扭轉角：綜合兩段，最大單位長度扭轉角應在BC段為0.03978rad/m第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五例4-4圖示一等直圓桿，已知d=40mma=400mmG=80GPa,jDB=1°

,求:1)最大切應力;2）jAC第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五1）畫出扭矩圖2）求最大切應力首先要求出M的數(shù)值第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五

梁還必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形，否則構件將無法正常工作。例如軋鋼機的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產品不合格；如果是機床的主軸，則將嚴重影響機床的加工精度。一、梁的變形第三節(jié)梁的彎曲變形，撓曲線近似微分方程第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五

梁在平面內彎曲時，梁軸線從原來沿x軸方向的直線變成一條在xy平面內的曲線，該曲線稱為撓曲線。

某截面的豎向位移，稱為該截面的撓度

某截面的法線方向與x軸的夾角稱為該截面的轉角

撓度和轉角的大小和截面所處的x方向的位置有關，可以表示為關于x的函數(shù)。撓度方程（撓曲線方程）轉角方程第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五撓度和轉角的正負號規(guī)定：在圖示的坐標系中，撓度w

向上為正，向下為負。轉角規(guī)定截面法線與x

軸夾角，逆時針為正，順時針為負,即在圖示坐標系中撓曲線具有正斜率時轉角q為正。第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五撓度和轉角的關系在小變形假設條件下?lián)锨€的斜率（一階導數(shù)）近似等于截面的轉角第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五二、撓曲線近似微分方程純彎曲情況下梁的中性層曲率與梁的彎矩之間的關系是:橫力彎曲情況下，若梁的跨度遠大于梁的高度時，剪力對梁的變形可以忽略不計。但此時彎矩不再為常數(shù)。高等數(shù)學中，關于曲率的公式在梁小變形情況下，第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五梁的撓曲線近似微分方程最終可寫為第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五梁的撓曲線近似微分方程對上式進行一次積分,可得到轉角方程（等直梁EI為常數(shù)）再進行一次積分,可得到撓度方程其中，C和D是積分常數(shù)，需要通過邊界條件或者連續(xù)條件來確定其大小。第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五邊界條件在約束處的轉角或撓度可以確定第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五連續(xù)條件在梁的彎矩方程分段處，截面轉角相等，撓度相等。若梁分為n段積分，則要出現(xiàn)2n個待定常數(shù)，總可找到2n個相應的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五例4-5如圖等直懸臂梁自由端受集中力作用，建立該梁的轉角方程和撓曲線方程，并求自由端的轉角和撓度。第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（1）按照圖示坐標系建立彎矩方程

請同學們自己做一下（時間:1分鐘）（2）撓曲線近似微分方程（3）積分第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（4）確定積分常數(shù)由邊界條件代入上面兩式（5）列出轉角方程和撓曲線方程，將C、D的值代入方程第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（6）求B點的撓度和轉角在自由端，x=l第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五例4-6(教材75頁例4-5)如圖所示，簡支梁受集中力F作用，已知EI為常量。試求B端轉角和跨中撓度。第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（1）求約束反力FAFB（2）列出彎矩方程AC段CB段（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點處分段，故應對AC和CB分別計算第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五FAFB（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點處分段，故應對AC和CB分別計算AC段CB段第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五FAFB利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個積分常數(shù)AC段CB段邊界條件:連續(xù)條件:由于撓曲線在C點處是連續(xù)光滑的，因此其左右兩側轉角和撓度應相等。即代入上面的式子第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五FAFB得到轉角方程和撓度方程AC段CB段（5）求指定截面處的撓度和轉角若第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五通過積分法我們可以求出梁任意一截面上的撓度和轉角，但是當載荷情況復雜時，彎矩方程分段就很多，導致出現(xiàn)大量積分常數(shù)，運算較為繁瑣。而在工程中，較多情況下并不需要得出整個梁的撓曲線方程，只需要某指定截面的撓度和轉角，或者梁截面的最大撓度和轉角，這時采用疊加法比積分法方便。在桿件符合線彈性、小變形的前提下，變形與載荷成線性關系，即任一載荷使桿件產生的變形均與其他載荷無關。這樣只要分別求出桿件上每個載荷單獨作用產生的變形，將其相加，就可以得到這些載荷共同作用時桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。用疊加法求等截面梁的變形時，每個載荷作用下的變形可查教材78~79頁表4-2計算得出。查表時應注意載荷的方向、跨長及字符一一對應。第五節(jié)用疊加法求梁的彎曲變形第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五例4-7求圖中所示梁跨中點的撓度及A點的轉角。已知，梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五=+第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五例4-8如圖，梁的左半段受到均布載荷q的作用，求B端的撓度和轉角。梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五考慮其變形:由于CB段梁上沒有載荷，各截面的彎矩均為零，說明在彎曲過程中此段并不產生變形，即C’B’仍為直線。根據幾何關系可知：由于在小變形的假設前提下查表:代入上面的計算式第四十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五在使用疊加法求解梁的變形時，我們通常需要參考教材表4-2中列出的各種基本形式梁的撓曲線方程和特定點的位移。類似于外伸梁和其它一些較為復雜結構的梁的問題中，有些梁是不能直接查表進行位移的疊加計算，需要經過分析和處理才能查表計算。一般的處理方式是把梁分段，并把每段按照受力與變形等效的原則變成表中形式的梁，然后查表按照疊加法求解梁的變形。也可將復雜梁的各段逐段剛化求解位移，最后進行疊加來處理（逐段剛化法）。第四十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五例4-9求圖11-4所示外伸梁的C截面的撓度轉角EI為常數(shù)。第四十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五怎樣應用表4-2中已有的結果？

對梁進行分段剛化，利用受力與變形等效的原則來處理

首先剛化AB段，這樣BC段就可以作為一個懸臂梁來研究，再剛化BC段，由于BC段被剛化，可將作用于BC段的均布載荷簡化到B支座，得到一個力和一個力偶