知識講解高考總復(fù)習(xí)：古典概型與幾何概型(提高)

高考總復(fù)習(xí)：古典概型與幾何概型【考綱要求】1、理解古典概型及其概率計(jì)算公式；了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率；2、會計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；了解幾何概型的意義。【知識網(wǎng)絡(luò)】隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率古典概型幾何概型應(yīng)用【考點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、古典概型1.定義具有如下兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概型：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。2.古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果，只有有限個，也就是說，只有有限個不同的基本事件。（2）等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性是均等的。3.古典概型的概率計(jì)算公式由于古典概型中基本事件發(fā)生是等可能的，如果一次試驗(yàn)中共有種等可能的結(jié)果，那么每一個基本事件的概率都是。如果某個事件A包含個基本事件，由于基本事件是互斥的，則事件A發(fā)生的概率為其所含個基本事件的概率之和，即。所以4.求古典概型的概率的一般步驟： （1）算出基本事件的總個數(shù)；（2）計(jì)算事件A包含的基本事件的個數(shù)；（3）應(yīng)用公式求值。5．古典概型中求基本事件數(shù)的方法：（1）窮舉法；（2）樹形圖；（3）排列組合法。利用排列組合知識中的分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，必須做到不重復(fù)不遺漏。知識點(diǎn)二、幾何概型1.定義：事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量（長度、面積或體積）成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)。滿足以上條件的試驗(yàn)稱為幾何概型。2.幾何概型的兩個特點(diǎn)：（1）無限性，即在一次試驗(yàn)中基本事件的個數(shù)是無限的；（2）等可能性，即每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的。3.幾何概型的概率計(jì)算公式：隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積（體積、長度）”與“試驗(yàn)的基本事件所占總面積（體積、長度）”之比來表示。所以其中表示試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域Ω的幾何度量，表示構(gòu)成事件A的區(qū)域的幾何度量。要點(diǎn)詮釋：用幾何概型的概率公式計(jì)算概率時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件所對應(yīng)的幾何圖形，并對幾何圖形進(jìn)行相應(yīng)的幾何度量.對于一些簡單的幾何概型問題，可以快捷的找到解決辦法.【典型例題】1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=.（2）記“出現(xiàn)兩個4點(diǎn)”的事件為B，則從圖中可看到事件B包含的基本事件數(shù)只有1個：（4，4）.所以P（B）=.【總結(jié)升華】在古典概型下求P（A），關(guān)鍵要找出A所包含的基本事件個數(shù)然后套用公式【例4】在一次口試中，考生要從5道題中隨機(jī)抽取3道進(jìn)行回答，答對其中2道題為優(yōu)秀，答對其中1道題為及格，某考生能答對5道題中的2道題，試求：（1）他獲得優(yōu)秀的概率為多少；（2）他獲得及格及及格以上的概率為多少；【思路點(diǎn)撥】這是一道古典概率問題，須用枚舉法列出基本事件數(shù).【解析】設(shè)這5道題的題號分別為1,2，3，4，5，則從這5道題中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10個基本事件． （1）記“獲得優(yōu)秀”為事件A，則隨機(jī)事件A中包含的基本事件個數(shù)為3，故．（2）記“獲得及格及及格以上”為事件B，則隨機(jī)事件B中包含的基本事件個數(shù)為9，故．【總結(jié)升華】使用枚舉法要注意排列的方法，做到不漏不重.舉一反三：【變式】一個各面都涂有色彩的正方體，被鋸成個同樣大小的小正方體，將這些正方體混合后，從中任取一個小正方體，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有兩面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.【解析】在個小正方體中：一面涂有色彩的有個，兩面涂有色彩的有個，三面涂有色彩的有個，所以⑴一面涂有色彩的概率為；⑵兩面涂有色彩的概率為；⑶有三面涂有色彩的概率【例5】某學(xué)校三個社團(tuán)的人員分布如下表（每名同學(xué)只參加一個社團(tuán)）圍棋社戲劇社書法社高中4530初中151020學(xué)校要對這三個社團(tuán)的活動效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，按分層抽樣的方法從社團(tuán)成員中抽取30人，結(jié)果圍棋社被抽出12人.(I)求這三個社團(tuán)共有多少人？(II)書法社從3名高中和2名初中成員中，隨機(jī)選出2人參加書法展示，求這2人中初、高中學(xué)生都有的概率.【思路點(diǎn)撥】（I）根據(jù)圍棋社共有60人，按分層抽樣的方法從社團(tuán)成員中抽取30人，結(jié)果圍棋社被抽出12人，得到三個社團(tuán)的總?cè)藬?shù)．

（II）本題是一個等可能事件的概率，列舉出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件，共有10個基本事件，書法展示的同學(xué)中初、高中學(xué)生都有列舉出共有6種結(jié)果，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．【解析】（I）圍棋社共有60人，由可知三個社團(tuán)一共有150人.（II）設(shè)初中的兩名同學(xué)為，高中的3名同學(xué)為,隨機(jī)選出2人參加書法展示所有可能的結(jié)果:，共10個基本事件.設(shè)事件表示“書法展示的同學(xué)中初、高中學(xué)生都有”，則事件共有6個基本事件..故參加書法展示的2人中初、高中學(xué)生都有的概率為.【總結(jié)升華】本題主要考查等可能事件的概率，解決等可能事件的概率問題最有效的工具是列舉，大綱中要求能通過列舉解決古典概型問題，也有一些題目需要借助于排列組合來計(jì)數(shù)．舉一反三：【變式】現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：（1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；（2）如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率．【解析】（1）有放回地抽取3次，按抽取順序（x,y,z）記錄結(jié)果，則x,y,z都有10種可能，所以試驗(yàn)結(jié)果有10×10×10=103種；設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品”，則包含的基本事件共有8×8×8=83種，因此，P(A)==0.512．（2）可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄（x,y,z），則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果為10×9×8=720種．設(shè)事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數(shù)為8×7×6=336,所以P(B)=．類型二、與長度有關(guān)的幾何概型1．如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計(jì)算公式為2．將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣，而一個隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解。【例6】在半徑為1的圓內(nèi)一條直徑上任取一點(diǎn)，過這個點(diǎn)作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接的等邊三角形邊長的概率是【思路點(diǎn)撥】解決概率問題先判斷屬于什么概率模型，本題屬幾何概型，把問題轉(zhuǎn)化為化成：直徑上到圓心O的距離小于的點(diǎn)構(gòu)成的線段長與直徑長之比。【解析】記事件A為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”，如圖，不妨在過等邊三角形BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)F作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為CD時(shí)，就是等邊三角形的邊長，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF（此時(shí)F為OE中點(diǎn)），由幾何概型公式得：?！究偨Y(jié)升華】將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣，而一個隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解。舉一反三：【變式1】取一根長度為60cm的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于260cm60c20cm20c20c60cm60c【解析】從每一個位置剪斷都是一個基本事件,剪斷位置可以是長度為60cm如上圖,記“剪得兩段繩子的長度都不小于20cm”把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí),事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩子長的,于是事件A發(fā)生的概率P(A)=.【變式2】在半徑為1圓周上有一點(diǎn)A，以A為端點(diǎn)任選一弦，另一端點(diǎn)在圓周上等可能，求弦長超過的概率.【答案】如圖：另一端落在圓周上任一點(diǎn)，基本事件空間，可用圓周長來度量，圓內(nèi)接正三角形ABC的邊長為，若任一端點(diǎn)落在劣弧上，則弦長超過，而落在劣弧之外，則弦長不超過，劣弧之長為圓周的，事件A=“弧長超過”發(fā)生意味著另一端點(diǎn)落在劣弧上，A可用劣弧弧長來度量，故.【例7】在等腰Rt△ABC中，(1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM的長小于AC的長的概率.（2）過直角頂點(diǎn)C在內(nèi)作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM<AC的概率.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題。【解析】(1)在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜）=.ACM(2)ACM(2)(1)B(2)在AB上截取AC′=AC,于是P（AM＜AC）【總結(jié)升華】（1）對于幾何概型中的背景相同的問題，當(dāng)?shù)瓤赡艿慕嵌炔煌瑫r(shí)，其概率是不一樣的（2）在利用幾何概率公式計(jì)算概率時(shí)，必須注意d與D的測度單位的統(tǒng)一.類型三、與面積（體積）有關(guān)的幾何概型1．如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計(jì)算公式為：2．“面積比”是求幾何概率的一種重要類型，也是在高考中常考的題型。3．如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計(jì)算公式為：【例8】如圖，在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2cm,4cm,6cm，某人站在3m處向此板投鏢，設(shè)投鏢擊中線上或沒有投中木板時(shí)都不算，可重投，問：（1）投中大圓內(nèi)的概率是多少？（2）投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？（3）投中大圓之外的概率是多少？【思路點(diǎn)撥】投中正方形木板上每一點(diǎn)（投中線上或沒投中不算）都是一個基本事件，這一點(diǎn)可以是正方形木板上任意一點(diǎn)，因而基本事件有無限多個，且每個基本事件發(fā)生的可能性都相等.所以，投中某一部分的概率只與這部分的幾何度量（面積）有關(guān)，這符合幾何概型的條件【解析】設(shè)事件A“投中大圓內(nèi)”，B“投中小圓與中圓形成的圓環(huán)”，C“投中大圓之外”.，，，由幾何概率公式得：，，.【總結(jié)升華】對于幾何概型，關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機(jī)事件的概率.舉一反三：【變式】設(shè)有關(guān)于的一元二次方程．（Ⅰ）若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．（Ⅱ）若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．【答案】設(shè)事件為“方程有實(shí)根”．當(dāng)，時(shí)，方程有實(shí)根的充要條件為．（Ⅰ）基本事件共12個：．其中第一個數(shù)表示的取值，第二個數(shù)表示的取值．事件中包含9個基本事件，事件發(fā)生的概率為．（Ⅱ）試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋畼?gòu)成事件的區(qū)域?yàn)椋运蟮母怕蕿椋纠?】將長為的棒隨機(jī)折成3段，求3段構(gòu)成三角形的概率.【思路點(diǎn)撥】將構(gòu)成三角形問題轉(zhuǎn)化為三段的長度關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化有關(guān)面積的幾何概型問題進(jìn)行求解?！窘馕觥吭O(shè)A=“3段構(gòu)成三角形”，x,y分別表示其中兩段的長度，則第3段的長度為.0ll則實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果可構(gòu)成集合，要使3段構(gòu)成三角形，當(dāng)且僅當(dāng)任意兩段之和大于第三段，故所求結(jié)果構(gòu)成的集合0ll所求的概率為【總結(jié)升華】用幾何概型解題的一般步驟是：（1）適當(dāng)選擇觀察角度；（2）把基本事件轉(zhuǎn)化為與之相應(yīng)的區(qū)域；（3）把事件A轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域；（4）利用概率公式計(jì)算.舉一反三：【變式】一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m，寬20m的長方形，求海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率.【解析】如下圖，區(qū)域Ω是長30m、寬20m的長方形.圖中陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2m”，問題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在下圖中陰影部分的概率.由于區(qū)域Ω的面積為30×20=600（m2），陰影A的面積為30×20－26×16=184（m2）.∴P（A）=.類型四、生活中的幾何概型【例10】兩人約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20：00到21：00各時(shí)刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率?！舅悸伏c(diǎn)撥】兩人不論誰先到都要等遲到者40分鐘，即小時(shí)。設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)，因此轉(zhuǎn)化成面積問題，利用幾何概型求解?！窘馕觥吭O(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)。兩人到達(dá)約見地點(diǎn)所有時(shí)刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)來表示，兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見的所有時(shí)刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）不表示。因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為【總結(jié)升華】對于活生生中的幾何概型問題：（1）要注意實(shí)際問題中的可能性的判斷；（2）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型中的長度、角度、面積、體積等常見幾何概型的求解問題，構(gòu)造出隨機(jī)事件A對應(yīng)的幾何圖形，利用幾何圖形的度量來求隨機(jī)事件的概率，根據(jù)實(shí)際問題的具體情況，合理設(shè)置參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系的點(diǎn)，便可構(gòu)造出度量區(qū)域。（3）如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率