第十二章動(dòng)量矩定理

第十二章動(dòng)量矩定理第一頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：動(dòng)量的改變—外力（外力系主矢）若當(dāng)質(zhì)心為固定軸上一點(diǎn)時(shí)，vC=0，則其動(dòng)量恒等于零，質(zhì)心無(wú)運(yùn)動(dòng)，可是質(zhì)點(diǎn)系確受外力的作用。

動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某固定點(diǎn)（固定軸）的動(dòng)量矩的改變與外力對(duì)同一點(diǎn)（軸）之矩兩者之間的關(guān)系。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)—外力（外力系主矢）動(dòng)力學(xué)第二頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§12-1動(dòng)量矩一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩

⒈質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩：動(dòng)量矩矢：大?。孩操|(zhì)點(diǎn)對(duì)軸z

的動(dòng)量矩代數(shù)量正負(fù)號(hào)規(guī)定與力對(duì)軸矩的規(guī)定相同。對(duì)著軸正向看：順時(shí)針為負(fù)逆時(shí)針為正第三頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五⒊質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩與對(duì)軸z的動(dòng)量矩之間的關(guān)系：⒋動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。kg·ｍ2/s⒌單位:動(dòng)力學(xué)第四頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五⒉質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸z動(dòng)量矩:二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩：⒈質(zhì)系對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩:動(dòng)力學(xué)因?yàn)?即：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)的O的動(dòng)量矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的Z軸上得投影等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該軸的動(dòng)量矩。代入上式得:第五頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五剛體動(dòng)量矩計(jì)算:⑴平動(dòng)剛體:剛體平動(dòng)時(shí)，可以將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其動(dòng)量矩。

平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于剛體質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩。第六頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的固定軸的動(dòng)量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。⑶平面運(yùn)動(dòng)剛體:⑵繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體:

繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。式中稱為剛體對(duì)于Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。第七頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五[例1]已知：滑輪A：m1，R1，R1=2R2，I1

滑輪B：m2，R2，I2；物體C：m3

求系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。動(dòng)力學(xué)解：第八頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五§12-2動(dòng)量矩定理一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理:矢徑叉乘兩邊,有：左邊可寫成：故得：⒈質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理:動(dòng)力學(xué)由:而:右邊為:第九頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五將上式在通過(guò)固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得：上式稱質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理，也稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的投影形式。即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一軸之矩。⒊質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒情況（質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律）：

質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。

⒉質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理：動(dòng)力學(xué)若則常矢量第十頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五運(yùn)動(dòng)分析：由動(dòng)量矩定理：微幅擺動(dòng)時(shí)，并令，則擺動(dòng)周期：解：研究小球，將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力如圖示。[例2]單擺。已知m，l，t=0時(shí)=0，從靜止開始釋放。求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。常數(shù)A由初始條件確定：則運(yùn)動(dòng)方程：動(dòng)力學(xué)微分方程的通解為：11第十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致。（本題規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎操|(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用：

(可求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)兩類基本問題）

⑴已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力或力矩求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)；⑵已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)求作用于質(zhì)點(diǎn)的力或力矩；⑶已知質(zhì)點(diǎn)在某一狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)要素，求在另一狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)要素（速度、位置坐標(biāo)）。動(dòng)力學(xué)第十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五即：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和（外力系的主矩）。

二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理----質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有：對(duì)質(zhì)點(diǎn)Mi：⒈質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：動(dòng)力學(xué)左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序，而：第十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五上式：稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理。即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對(duì)同一軸的主矩）。

⒊質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒定理：

⑴當(dāng)時(shí)，常矢量。⑵當(dāng)時(shí)，常量。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理說(shuō)明：內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。動(dòng)力學(xué)⒉質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理將上式在通過(guò)固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得第十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五解:取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，

受力分析如圖示。

運(yùn)動(dòng)分析：

v=ｒ由動(dòng)量矩定理：[例3]已知:

動(dòng)力學(xué)所以：第十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五解：由于則系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒。猴A與猴B向上的絕對(duì)速度是一樣的,均為。[例4]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對(duì)繩速度上爬，猴A不動(dòng)。問：當(dāng)猴B向上爬時(shí)，猴A將如何動(dòng)？猴A運(yùn)動(dòng)的速度多大？（輪重不計(jì)）動(dòng)力學(xué)顯然：第十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§12-3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程對(duì)于一個(gè)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體：代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理，有：——?jiǎng)傮w繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程⒈方程的導(dǎo)出:動(dòng)力學(xué)即：剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用在剛體上的主動(dòng)力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和。第十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五動(dòng)力學(xué)⒉可解決動(dòng)力學(xué)兩類問題：其與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程:有相似的形式，因而其求解方法和步驟也是類似的。二、討論⒈若,則恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)或保持靜止。⒉若常量，則=常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。將與比較，可以看出，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。第十八頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五[例1]已知：復(fù)擺（物理擺）重為P，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Io；求：復(fù)擺作微幅擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：取復(fù)擺為研究對(duì)象；

受力分析如圖示；運(yùn)動(dòng)分析：復(fù)擺繞軸O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程:得：第十九頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五動(dòng)力學(xué)微幅擺動(dòng)時(shí)，即有：即有：微分方程的解為：第二十頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五l—復(fù)擺的簡(jiǎn)化長(zhǎng)度；K—復(fù)擺的擺心；O—復(fù)擺的懸點(diǎn)。懸點(diǎn)和擺心可以互換，而不改變復(fù)擺的周期。動(dòng)力學(xué)上式即為復(fù)擺作微幅擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。A為角振幅，a為初位相，可由運(yùn)動(dòng)初始條件確定。復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。這就表明：如已知某物體的重量和重心的位置，再測(cè)出其作微幅擺動(dòng)時(shí)的擺動(dòng)周期，則可計(jì)算出該物體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。第二十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一．定義：

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對(duì)某軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。它等于剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與質(zhì)點(diǎn)到軸的垂直距離平方的乘積之和。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國(guó)際單位制中單位kg·m2。若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則：動(dòng)力學(xué)第二十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五解：動(dòng)力學(xué)2.回轉(zhuǎn)半徑：由所定義的長(zhǎng)度稱為剛體對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半徑。[例1]勻質(zhì)細(xì)直桿長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m。

求：對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；對(duì)z'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。二．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算１．積分法：（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）第二十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五在機(jī)械工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中，可以查閱到簡(jiǎn)單幾何形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的，以供參考。

剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)其質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量再加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方的乘積。同一個(gè)剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同的。⑴定理：動(dòng)力學(xué)3.平行移軸定理：

對(duì)于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無(wú)關(guān)。對(duì)于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。第二十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五動(dòng)力學(xué)

⑵證明設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為C，剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值。第二十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五動(dòng)力學(xué)當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,然后再加起來(lái)就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若物體有空心部分,要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來(lái)處理。4．計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法例如，對(duì)于例1中均質(zhì)細(xì)桿對(duì)z'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為第二十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五解：[例2]鐘擺：均質(zhì)直桿m1,l；均質(zhì)圓盤：m2,R。求IO

。動(dòng)力學(xué)第二十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五[例3]提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,半徑分別為r1、r2,可視為均質(zhì)圓盤;物體C的重量為P3;

輪A上作用常力矩M1。求物體C上升的加速度。