第四章 幾種特殊類型函數(shù)的積分

第四章幾種特殊類型函數(shù)的積分第一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例難點將有理函數(shù)化為部分分式之和.第二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為第三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五注關(guān)于部分分式分解如對進行分解時一項也不能少，因為通分后分子上是多項式，可得到k個方程，定出k個系數(shù)，否則將會得到矛盾的結(jié)果。例如第四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五但若矛盾第五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為第六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1第七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例2第八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五例3整理得第九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五例4求積分解第十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五例5求積分解第十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五例6求積分解令第十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五第十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；討論積分令第十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五則記第十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).第十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五注意以上介紹的雖是有理函數(shù)積分的普遍方法，但對一個具體問題而言，未必是最簡捷的方法，應(yīng)首先考慮用其它的簡便方法。如使用湊微分法比較簡單基本思路盡量使分母簡單——降冪、拆項、同乘等化部分分式，寫成分項積分可考慮引入變量代換第十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五三角有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分第十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五令（萬能置換公式）第十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五例7求積分解由萬能置換公式第二十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五第二十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五例8求積分解（一）第二十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五解（二）修改萬能置換公式,令第二十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五解（三）可以不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.如第二十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五若用萬能代換，則化部分分式比較困難但若是湊微分，則比較簡單基本思路第二十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五盡量使分母簡單——分子分母同乘，或使分母變成一項等盡量使的冪次降低萬能代換例9求積分解第二十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五第二十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五討論類型解決方法作代換去掉根號.例10求積分解

三、簡單無理函數(shù)的積分第二十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五第二十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五例11求積分解令說明無理函數(shù)去根號時,取根指數(shù)的最小公倍數(shù).第三十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五例12求積分解先對分母進行有理化原式第三十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五例13解一令第三十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五解二第三十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五令第三十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能