2022年上海錢庫(kù)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2022年上海錢庫(kù)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等比數(shù)列中，

等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前9項(xiàng)和等于（

）A．9B．18C．36D．72參考答案：B考點(diǎn)：等比數(shù)列等差數(shù)列試題解析：因?yàn)?。所以，故答案為：B2.

已知拋物線，直線l過焦點(diǎn)F且與x軸不重合，則拋物線被l垂直平分的弦共有

（）A．不存在

B．有且只有1條

C．2條

D．3條參考答案：答案：A3.||=1，||=，?=0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，設(shè)=m+n（m、n∈R），則等于（）A． B．3 C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】向量的共線定理；向量的模．【分析】將向量沿與方向利用平行四邊形原則進(jìn)行分解，構(gòu)造出三角形，由題目已知，可得三角形中三邊長(zhǎng)及三個(gè)角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此題如果沒有點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)的限制，應(yīng)該有兩種情況，即也可能為OC在OA順時(shí)針方向30°角的位置，請(qǐng)大家注意分類討論，避免出錯(cuò)．【解答】解：法一：如圖所示：=+，設(shè)=x，則=．=∴==3．法二：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．則=（1，0），=（0，），∴=m+n=（m，n），∴tan30°==，∴=3．故選B4.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意都有成立，則（）A．

B.

C.

D.與的大小不確定參考答案：C略5.我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問各得金幾何？”則在該問題中，等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的九等人所得黃金（

）A．多1斤

B．少1斤

C.多斤

D．少斤參考答案：C6.函數(shù)的圖象只可能是（

）參考答案：C略7.已知集合則為（） A． B．

C．

D．參考答案：A略8.已知三棱錐S﹣ABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，，則球的體積與三棱錐體積之比是(

) A．π B．2π C．3π D．4π參考答案：D考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體．專題：作圖題；綜合題；壓軸題．分析：求出三棱錐的體積，再求出球的體積即可．解答： 解：如圖，?AB=2r，∠ACB=90°，BC=，∴V三棱錐=，V球=，∴V球：V三棱錐=．點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接體的體積和球的體積的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．9.已知P為等邊三角形ABC所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，若，則（

）A. B.3 C.6 D.與有關(guān)的數(shù)值參考答案：C【分析】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖像，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖：以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，因?yàn)闉榈冗吶切嗡谄矫鎯?nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，所以點(diǎn)在直線，所以在方向上的投影為，因此.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，通?？捎米鴺?biāo)系的方法處理，熟記向量數(shù)量積的幾何意義與運(yùn)算法則即可，屬于常考題型.10.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：D單調(diào)遞增，且為非奇非偶函數(shù)，不成立。是偶函數(shù)，但在上遞增，不成立。為偶函數(shù)，但在上不單調(diào)，不成立，所以選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在極坐標(biāo)系中，若直線的方程是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離

．參考答案：212.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a處取得極大值，則a的取值范圍是________．參考答案：(－1,0)略13.已知三棱柱ABC-A1B1C1底面是邊長(zhǎng)為的正三角形,側(cè)棱垂直于底面,且該三棱柱的外接球表面積為12,則該三棱柱的體積為

.參考答案：設(shè)球半徑，上下底面中心設(shè)為，，由題意，外接球心為的中點(diǎn)，設(shè)為，則，由，得，又易得，由勾股定理可知，，所以，即棱柱的高，所以該三棱柱的體積為.14.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲（水生植物名）生一日，長(zhǎng)三尺；莞（植物名，俗稱水蔥、席子草）生一日，長(zhǎng)一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長(zhǎng)等？”意思是：今有蒲生長(zhǎng)1日，長(zhǎng)為3尺；莞生長(zhǎng)1日，長(zhǎng)為1尺．蒲的生長(zhǎng)逐日減半，莞的生長(zhǎng)逐日增加1倍．若蒲、莞長(zhǎng)度相等，則所需的時(shí)間約為

日．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48）參考答案：2.6【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【分析】設(shè)蒲（水生植物名）的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{an}，其a1=3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞（植物名）的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn}，其b1=1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：設(shè)蒲（水生植物名）的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{an}，其a1=3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞（植物名）的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn}，其b1=1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．則An=，Bn=，由題意可得：=，化為：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+≈2.6．∴估計(jì)2.6日蒲、莞長(zhǎng)度相等，故答案為：2.6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．15.已知函數(shù)（）與，若函數(shù)圖像上存在點(diǎn)P與函數(shù)圖像上的點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱，則a的取值范圍是

．參考答案：設(shè)點(diǎn)在函數(shù)上，由題意可知，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)上，所以，消，可得，即，所以令，，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)在時(shí)有交點(diǎn)。在平面直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示，，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，解得。由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在時(shí)有交點(diǎn).

16.在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)分別為，，則使函數(shù)存在極值點(diǎn)的概率為

.參考答案：

17.若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．（1）求三棱錐E－PAD的體積；（2）點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；（3）證明：無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE⊥AF．參考答案：（1）解：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，∴三棱錐E－PAD的體積為．…………4分

（2）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF與平面PAC平行.∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點(diǎn)，∴EF//PC又EF平面PAC，而PC平面PAC∴EF//平面PAC.…9分

（3）證明：∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，∴EB⊥PA.又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP平面PAB，∴EB⊥平面PAB，又AF平面PAB，∴AF⊥BE.又PA=AB=1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，∴AF⊥PB，

又∵PB∩BE=B，PB，BE平面PBE，∴AF⊥平面PBE.∵PE平面PBE，∴AF⊥PE.……14分略19.

已知橢圓）的離心率為,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)P(4，0)且不垂直于x軸直線，與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．

(I)求橢圓C的方程；

(II)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍。

(Ⅲ)若點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)E，證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)。參考答案：

略20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1+cos2θ）=8sinθ．（1）求曲線C的普通方程；（2）直線l的參數(shù)方程為,t為參數(shù)直線與y軸交于點(diǎn)F與曲線C的交點(diǎn)為A，B，當(dāng)|FA|?|FB|取最小值時(shí)，求直線的直角坐標(biāo)方程．參考答案：（1）x2=4y；（2）y=1【分析】（1）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ將極坐標(biāo)方程化為普通方程，（2）將直線參數(shù)方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及參數(shù)幾何意義求|FA|?|FB|，最后根據(jù)三角函數(shù)有界性確定最值，解得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得ρ（1+cos2θ）=8sinθ，得2ρcos2θ=8sinθ，得ρ2cos2θ=4ρsinθ，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x2=4y，即曲線C的普通方程為x2=4y．（2）由題意可知，直線與y軸交于點(diǎn)F（0，1）即為拋物線C的焦點(diǎn)，令|FA|=|t1|，|FB|=|t2|，將直線的參數(shù)方程代入C的普通方程x2=4y中，整理得t2cos2α-4tsinα-4=0，由題意得cosα≠0，根據(jù)韋達(dá)定理得：t1+t2=，t1t2=，∴|FA||FB|=|t1||t2|=|t1t2|=≥4，（當(dāng)且僅當(dāng)cos2α=1時(shí)，等號(hào)成立），∴當(dāng)|FA|?|FB|取得最小值時(shí)，直線的直角坐標(biāo)方程為y=1．【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程化為直