2021年湖南省益陽市沾溪中學高三數(shù)學文測試題含解析

2021年湖南省益陽市沾溪中學高三數(shù)學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某四棱錐的三視圖如圖1所示（單位：cm），則該四棱錐的體積是A．B．C．D．

參考答案：D2.命題“若x=1.則x—1=0”的“否命題”與“命題的否定形式”分別為①若，則.；②若x=l，則；③對任意，都有.A.②①

B.①②

C.①③

D.②③參考答案：B略3.下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是①②若，則③若命題，則命題④命題“若，則”的逆否命題為真命題A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：B4.已知函數(shù)，則是

（

）A.最小正周期為的偶函數(shù)

B.最小正周期為的奇函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù)

D.最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：A5.已知向量，向量，且，則實數(shù)等于

A．9

B．

C．

D．參考答案：A6.不等式的解集為P,且，則實數(shù)a的取值范圍是A.B.C.D.第Ⅱ卷參考答案：A略7.設(shè)集合，，若，則（

）A．{－1,3}

B．{－2,3}

C．{－1,－2,3}

D．{3}參考答案：A8.函數(shù)的值域是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C9.已知i為虛數(shù)單位，a∈R，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z=2a+i的模等于（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義、模的計算公式即可得出．【解答】解：==為純虛數(shù)，∴，解得a=．則復(fù)數(shù)z=2a+i=1+i．∴|z|==，故選：C．10.函數(shù)對于，總有成立，則A．1 B．2

C．3 D．4參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個袋子中裝有6個紅球和4個白球,假設(shè)每一個球被摸到的可能性是相等的.從袋子中摸出2個球,其中白球的個數(shù)為,則的數(shù)學期望是

▲；參考答案：略12.已知是定義在R上的奇函數(shù)．當時，，則不等式的解集用區(qū)間表示為________________.參考答案：（-5,0）或（5,+）;13.某校共有學生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表．已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是．現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生，則應(yīng)在三年級抽取的學生人數(shù)為

．

參考答案：1614.展開式中的系數(shù)為___________（用數(shù)字作答）。參考答案：答案：－960解析：展開式中的項為，的系數(shù)為－960。15.已知函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，對，有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).給定下列函數(shù)①；②；③；④.具有性質(zhì)的函數(shù)的序號是______.參考答案：①④略16.函數(shù)f（x）=3x|x|﹣1的零點個數(shù)為

?參考答案：2【考點】函數(shù)零點的判定定理．【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由f（x）=3x|x|﹣1=0得|x|=3﹣x，分別作出函數(shù)y=|x|與y=3﹣x的圖象，利用圖象判斷函數(shù)的交點個數(shù)即可．【解答】解：由f（x）=3x|x|﹣1=0，得|x|=3﹣x，分別作出函數(shù)y=|x|與y=3﹣x的圖象，如圖：由圖象可知兩個函數(shù)的交點個數(shù)為2個，即函數(shù)f（x）=3x|x|﹣1的零點個數(shù)為2．故答案為：2．【點評】本題主要考查函數(shù)零點的個數(shù)判斷，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法．17.設(shè)變量，y滿足約束條件，則目標函數(shù)；z=2+y的最小值為

參考答案：答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知集合A={(x,y)|y=x2+mx+2},B={(x,y)|y=x+1,0≤x≤2},若A∩B≠?,求實數(shù)m的取值范圍.參考答案：解:解方程組①代入②并整理得x2+(m-1)x+1=0,③∵A∩B≠?,∴方程③在[0,2]上有實數(shù)根.設(shè)f(x)=x2+(m-1)x+1,顯然f(0)=1>0,則由函數(shù)f(x)的圖象可得f(2)≤0或解得m≤-”或-”<m≤-1,即m≤-1.∴所求m的取值范圍是(-∞,-1].評析:本題是數(shù)形結(jié)合思想?函數(shù)方程思想?化歸思想等數(shù)學思想的綜合運用.涉及到二次函數(shù)的問題,抓住函數(shù)的圖象是關(guān)鍵.略19.如圖4，已知平面是圓柱的軸截面（經(jīng)過圓柱的軸的截面），BC是圓柱底面的直徑，O為底面圓心，E為母線的中點，已知（I））求證：⊥平面；（II）求二面角的余弦值．（Ⅲ）求三棱錐的體積.參考答案：解：依題意可知，平面ABC，∠＝90°，方法1：空間向量法如圖建立空間直角坐標系，因為＝4，則（I），，∴，∴，

∴，∴∵

平面

∴⊥平面

（5分）（II）平面AEO的法向量為，設(shè)平面B1AE的法向量為，即

令x＝2，則∴∴二面角B1—AE—F的余弦值為

（10分）（Ⅲ）因為，∴，∴∵，∴

(14分)方法2：依題意可知，平面ABC，∠＝90°，，∴（I）∵，O為底面圓心，∴BC⊥AO，又∵B1B⊥平面ABC，可證B1O⊥AO，

因為＝，則,∴∴B1O⊥EO，∴⊥平面；

（5分）（II）過O做OM⊥AE于點M，連接B1M，∵B1O⊥平面AEO，可證B1M⊥AE，∴∠B1MO為二面角B1—AE—O的平面角，C1C⊥平面ABC，AO⊥OC，可證EO⊥AO，在Rt△AEO中，可求，

在Rt△B1OM中，∠B1OM＝90°，∴∴二面角B1—AE—O的余弦值為

（10分）（Ⅲ）因為AB=AC，O為BC的中點，所以

又平面平面，且平面平面，所以平面,

故是三棱錐的高∴

(14分)20.（10分）設(shè)是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到倍，縱坐標伸長到倍的伸壓變換．（Ⅰ）求矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量；（Ⅱ）求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程．參考答案：解析：（Ⅰ）由條件得矩陣，它的特征值為和，對應(yīng)的特征向量為及；（Ⅱ），橢圓在的作用下的新曲線的方程為．21.,(1)求以雙曲線的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓E的方程.(2)點P在橢圓E上，點C(2,1)關(guān)于坐標原點的對稱點為D，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值;若不是，請說明理由.(3)平行于CD的直線交橢圓E于M、N兩點，求面積的最大值，并求此時直線的方程.

參考答案：解：

(2)-1/4(3)直線CD的斜率為，CD平行于直線，設(shè)直線的方程為由，

當且僅當

22.在三棱柱P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PB=PC=，BC=4，PA=m（m＞0）（Ⅰ）當m為何值時，點A到平面PBC的距離最大，并求出最大值；（Ⅱ）當點A到平面PBC的距離取得最大值時，求二面角A﹣PB﹣C的大小的余弦值．參考答案：考點：二面角的平面角及求法；點、線、面間的距離計算．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）取BC的中點D，連結(jié)AD、PD，過A作AE⊥PD于點E．通過線面垂直定理易得AE即為點A到平面PBC的距離，利用基本不等式計算即可；（Ⅱ）當m=3時，以點A為原點建立坐標系，所求二面角的余弦值即為平面PBA的一個法向量與平面PBC的一個法向量的夾角的余弦值，計算即可．解答： 解：（Ⅰ）取BC的中點D，連結(jié)AD、PD，過A作AE⊥PD于點E．∵PB=PC=，PA⊥底面ABC，∴PD為△PBC中BC邊上的高，∴△ABC為等腰三角形，從而AD為△ABC中BC邊上的高，易知AE⊥BC，又AE⊥PD，∴AE⊥平面PBC，∴AE即為點A到平面PBC的距離，∵PB=PC=，BC=4，PA=m（m＞0），∴CD==，PD==，AD==，∵，∴=≤=，當且僅當m2=18﹣m2，即m=3時等號成立，∴當m=3時，點A到平面PBC的距離最大，最大值為；（Ⅱ）當點A到平面PBC的距離取得最大值，即m=3時，有PA=3，AD==3，AB=AC==，如圖，以點A為原點建立坐標系，則A（0，0，0），C（0，，0），P（0，0，3），根據(jù)三角形面積的不同表示形式，易得得B（，，0），從而=（0，0