集合的基本運(yùn)算練習(xí)

(1)若集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x<3}，則A∩B等于(

)A．{x|x<0}B．{x|0<x<3}C．{x|x>3}D．R(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，則M∪N＝(

)A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}【思路點(diǎn)撥】由題目可獲取以下主要信息：①題中兩個(gè)集合均為數(shù)集；②分別求交集和并集．解答本題可借助數(shù)軸直觀求解．【解析】

(1)∵A＝{x|x>0}，B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{x|0<x<3}．故選B.(2)由題意畫出圖形．可知，M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故選A.此類題目首先應(yīng)看清集合中元素的范圍，簡(jiǎn)化集合，若是用列舉法表示的數(shù)集，可以據(jù)交集、并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)果；若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時(shí)要注意當(dāng)端點(diǎn)不在集合中時(shí)，應(yīng)用“空心圈”表示．設(shè)集合A＝{x|－1<x<a}，B＝{x|1<x<3}且A∩B＝?，求a的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】由題目可獲取以下主要信息：①集合B非空；②集合A不確定，且A∩B＝?.解答本題可分A＝?和A≠?兩種情況，結(jié)合數(shù)軸求解．【解析】由A∩B＝?，(1)若A＝?，則有a≤－1(2)若A≠?，如圖,則有∴-1<a≤1綜上所述，a的取值范圍是{a|a≤1}．出現(xiàn)交集為空集的情形，應(yīng)首先考慮集合中有沒有空集，即分類討論．其次，與不等式有關(guān)的集合的交、并運(yùn)算中，數(shù)軸分析法直觀清晰，應(yīng)重點(diǎn)考慮．2.本例中，若將“A∩B＝?”改為“A∪B＝{x|－1<x<3}”則a的取值范圍又是什么？由A∪B={x|-1<x<3}知，1<a≤3.例：已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】由題目可獲取以下主要信息：①集合A確定，集合B中元素不確定；②A∪B＝A.解答本題時(shí)，可由A∪B＝A知B?A.從而分B＝?和B≠?分類討論．③本題中B＝{x|2m－1<x<2m＋1}，由于2m＋1>2m－1，故B≠?.(1)當(dāng)集合B?A時(shí)，如果集合A是一個(gè)確定的集合，而集合B不確定，運(yùn)算時(shí)，要考慮B＝?的情形，切不可漏掉．(2)利用集合運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)集合之間的關(guān)系有利于準(zhǔn)確了解集合之間的聯(lián)系．3.本例中，若將“A∪B＝A”改為“A∩B＝A”，則m的取值范圍又是什么？已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－x＋2m＝0}．若A∩B＝B，求m的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】

A∩B＝B→B?A→討論集合B對(duì)于涉及集合運(yùn)算的問題，可先利用集合運(yùn)算的等價(jià)性(即若A∪B＝A，則B?A，反之也成立；若A∩B＝B，則B?A，反之也成立)，得到相關(guān)集合的關(guān)系．使得問題轉(zhuǎn)化為考查兩集合中元素的關(guān)系，而集合中的元素為方程的解，對(duì)此逐一討論便得問題的解．4.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}．若A∪B＝A，求a的取值范圍．【解析】依題設(shè)，得A＝{1,2}，因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A.故集合B中至多有兩個(gè)元素1,2.而方程x2－ax＋a－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為1，a－1，注意到集合中元素的互異性，我們有：①當(dāng)a－1＝2，即a＝3時(shí)，B＝{1,2}；②當(dāng)a－1＝1，即a＝2時(shí)，B＝{1}．于是a＝2或a＝3都滿足題意．所以a的取值范圍是{a|a＝2，或a＝3}．1．對(duì)并集概念的理解“x∈A，或x∈B”包含三種情況：“x∈A，但x?B”；“x∈B，但x?A”；“x∈A，且x∈B”．Venn圖如圖．另外，在求兩個(gè)集合的并集時(shí)，它們的公共元素只出現(xiàn)一次．2．對(duì)交集概念的理解必須注意(1)并不是任何兩個(gè)集合都有公共元素，當(dāng)集合A與B沒有公共元素時(shí)，不能說A與B沒有交集，而是A∩B=?.如圖．(2)概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“A∩B中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時(shí)“A與B的公共元素都屬于A∩B”．(3)特別地，還有如圖所示的三種情形：3．集合的交、并運(yùn)算(1)對(duì)于元素個(gè)數(shù)有限的集合，可直接根據(jù)集合的“交”、“并”定義求解，但要注意集合元素的互異性．(2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)無限的集合，進(jìn)行交、并運(yùn)算時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點(diǎn)值取到與否．設(shè)集合A＝{x∈R|x2＋2x＋2－p＝0}，且A∩{x|x>0}＝?，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．【錯(cuò)解】依題意，方程x2＋2x＋2－p＝0沒有實(shí)數(shù)解，因此Δ＝22－4(2－p)<0，解得p<1.所以實(shí)數(shù)p的取值范圍為{p|p<1}．【錯(cuò)因】

A∩{x|x>0}＝?，表示方程x2＋2x＋2－p＝0沒有正實(shí)數(shù)解，此時(shí)等價(jià)于方程沒有實(shí)數(shù)解或有非正實(shí)數(shù)解，只有正確理解這一集合語言，才能正確求解．補(bǔ)充.已知集合A={x|x2+(2+a)x+1=0，x∈R

}，B={x∈R|x＞0},問是否存在實(shí)數(shù)a,使得A∩B=？若存在,求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解方法一假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足條件A∩B=，則有（1）當(dāng)A≠時(shí)，由A∩B=、B={x∈R|x＞0},

知集合A中的元素為非正數(shù).設(shè)方程x2+(2+a)x+1=0的兩根為x1,x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得Δ=(2+a)2-4≥0x1+x2=-(2+a)＜0，解得a≥0;

x1x2=1＞0，（2）當(dāng)A=時(shí)，則有Δ=(2+a)2-4＜0,解得-4＜a＜0.

綜上(1)、(2)，知存在滿足條件A∩B=的實(shí)數(shù)a,其取值范圍是（-4,+∞）.方法二假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足條件A∩B≠,則方程x2+(2+a)x+1=0的兩實(shí)數(shù)根x1,x2至少有一個(gè)為正，因?yàn)閤1·x2=1＞0,所以兩根x1,x2均為正數(shù).則由根與系數(shù)的關(guān)系，得

a≥0或a≤-4,a＜-2,

又∵集合{a|a≤-4}的補(bǔ)集為{a|a＞-4},∴存在滿足條件A∩B=的實(shí)數(shù)a,其取值范圍是（-4,+∞）.Δ=(2+a)2-4≥0,x1+x2=-(2+a)＞0,即a≤-4.解得補(bǔ)充.已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.

（1）若A是空集，求m的取值范圍；（2）若A中只有一個(gè)元素，求m的值；（3）若A中至多只有一個(gè)元素，求m的取值范圍.

解集合A是方程mx2-2x+3=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解集.(1)∵A是空集，∴方程mx2-2x+3=0無解.∴Δ=4-12m＜0,即m＞.補(bǔ)充．定義一種集合運(yùn)算A?B＝{x|x∈A∪B，且x?A∩B}，設(shè)M＝{x||x|<2}，N＝