2023年高考數(shù)學(xué)04解三角形之面積和周長(zhǎng)的最值問題（典型例題、跟蹤訓(xùn)練）解答題（新高考通用）解析版

【解答題搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)解答題典型例題+跟蹤訓(xùn)練（新高考通用）

專題03解三角形之面積和周長(zhǎng)的最值問題

目錄一覽

一、梳理必備知識(shí)

二、基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)

三、典型例題講解

四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)

五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)

六、高考真題銜接

、梳理必備知識(shí)

1.正弦定理

-^==一=工=2乩（其中R為A4BC外接圓的半徑）

sinAsinBsinC

<=>a=2/?sinA,b=2/?sinB.c=2/?sinC;（邊化角）

osinA=—,sinB=—,sinC=—;（角化邊）

2R2R2R

2,余弦定理：

cosA=

2bca2=b2+c2-2bccosA,

a2+（?一〃2

<cosB=h2=a2+c2-2accosB.

2ac

222

〃2+從-2c=a+b-labcosC.

cosC=

2ab

3?三角形面積公式:

S^BC=^absinC=-^bcsinA=^acsinB=^（a+b+c）r（r為三角形ABC的內(nèi)切圓半徑）

4.三角形內(nèi)角和定理：

在^ABC中，有A+5+C=%=C=;r—(A+8)=C=￡—^^=2C=2〃-2(A+8).

222

5.基本不等式(優(yōu)先用基本不等式)

①疝q

2

②"+尸>2ab

6.利用正弦定理化角(函數(shù)角度求值域問題)

利用正弦定理”=2AsinA,匕=2Hsin5,代入面積公式，化角，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角

的取值范圍，求面積或者周長(zhǎng)的最值

【常用結(jié)論】

①在AASC中，a>hosinA>sin3=A>3;

②sin2A=sinIB,則A=B^A+B=—.

2

③在三角函數(shù)中，sinA>sin30A>5不成立。但在三角形中，sinA>sin3oA>5成立

■、

二、基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)

一」

一、判斷題

1.已知實(shí)數(shù)a和從判斷下列不等式中哪些是正確的.

(1)a2+b2>2ab;()

(2)明折()

(3):N2；()

ab

(4)a+->2；()

a

【答案】正確錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤

【詳解】(1)由于(a-b)&0,a^-lah+b-^cr+b^lah,所以不等式正確.

(2)當(dāng)人為負(fù)數(shù)時(shí)，不等式疝不成立，所以不等式錯(cuò)誤.

(3)當(dāng)2尚為負(fù)數(shù)時(shí)，不等式幺+?22不成立，所以不等式錯(cuò)誤.

abab

(4)當(dāng)“為負(fù)數(shù)時(shí)，不等式2不成立，所以不等式錯(cuò)誤.

a

二、單選題

2.若a>0,b>0,且。+人=6,則必的最大值為()

A.5B.6C.8D.9

【答案】D

【分析】根據(jù)必4（等J即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?gt;0,b>0,且。+人=6,

所以必4［等［=9,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕=3時(shí)等號(hào)成立，所以而的最大值為9.

故選:D.

3.已知a>0,b>0,a+2b=4,則曲的最大值是（）

A.及B.2C.2yliD.4

【答案】B

【分析】使用基本不等式求解即可

【詳解】Va>0,b>0,a+2b=4,

.,.由基本不等式有：ah=a-2b<~=g'(g)=2’

當(dāng)且僅當(dāng)。=?,即a=2,6=1時(shí)，等號(hào)成立....當(dāng)且僅當(dāng)a=2,b=l時(shí)，曲的最大值為2.

故選：B.

4.設(shè)x>0,y>0,且個(gè)=9,則x+y的最小值為（）

A.18B.9C.6D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式，即可求解.

x>0,y>0x+y>2y］xy=6,（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3,取"=”）

故選：C.

Q

5.已知a>2,則2a+—一的最小值是（）

a-2

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】利用基本不等式性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)椤?gt;2,所以a-2>0

所以2“+-^-=2（4-2）+-^-+422而+4=12,

a-2、7a-2

QQ

當(dāng)且僅當(dāng)2（4-2）=」^,即a=4時(shí)，等號(hào)成立.所以為+娛的最小值為12.故選：D

三、填空題

6.已知。、/?GR,且/+4/=1,則4b的最大值是.

【答案】7

4

【分析】利用基本不等式得1=片+4/24"，即可得到油最大值.

【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)S滿足4+4/=1,

所以由基本不等式可得：1=/+4從22ax26

V272

a=----a=------

所以"斗當(dāng)且僅當(dāng)心劭胃即乙或乙時(shí)等號(hào)成立，即成的最大值為!

故答案沏!.

7.若X，則X+W的最小值為

【答案】7

【分析】配湊法，由均值不等式求和的最小值.

【詳解】x+-^-=(x+l)+-^--l>2./(x+I)--^--l=7,

x+1''x+\Vx+1

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=」^■即x=3(x>0)時(shí)取等號(hào)，所以x+二的最小值為7.故答案為：7.

x+lX+1

四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)

1一)

1.(2023?湖南張家界?統(tǒng)考二模)記：A3C的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

asin(/?+C)=〃(sin8-sinC)+csinC.

(1)求A；

(2)若a=2占，求ABC的面積的最大值.

【答案】(I)?(2)56

【分析】(1)利用正弦定理邊化角以及余弦定理求解；

(2)利用基本不等式和面積公式求解.

【詳解】(1)由〃sin(8+C)=Z;(sin8-sinC)+csinC,^tzsinA=/?sirLB+(c-Z?)sinC,

由正弦定理，得6）c=〃+c2—bc.由余弦定理，得cosa=，tfK=生」.

2bc2bc2

又Ae（O㈤，所以4號(hào)

心2.2_〃21

（2）由余弦定理cosA==■!■,a=2后,所以從+°2-20=/，

2bc2

Vh2+c2>2hc,：.b2+c2-20=he>2hc-20,所以bc<20,當(dāng)且僅當(dāng)分=c=2石時(shí)取“=

所以三角形的面積S=gbesinA<5A/3.所以三角形面積的最大值為5也.

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若A=g,a=2,求銳角ABC面積的取值范圍

【答案】

【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角和輔助角公式可化簡(jiǎn)得到歷=）由卜8-[1+J,根據(jù)B的范圍,

3Ioy3

結(jié)合正弦型函數(shù)值域求法和三角形面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】由正弦定理得：—=^,

sinBsinCsinA3

cosBsinB

be=—sinB-sinC=—sin3sin(A+B)=—sinB(T4

333''3

86.008.2D4石.4CD48.r”吟4

=-----sinBcosBH—sinB=------sin28—cos28H———sin2B—H—；

3333331613

0<B<-

ABC為銳角三角形，:，解得：

_2717t62

0n<C=------B<—

32

3.（2023秋?貴州貴陽(yáng)?高三統(tǒng)考期末）已知平面四邊形A3。中，4+NC=180。,8c=3,若NABC=120,

43c的面積為為3.

2

（1）求AC的長(zhǎng);

（2）求四邊形A3CZ）周長(zhǎng)的最大值.

【答案】（1）AC=3療⑵周長(zhǎng)的最大值為9+6萬(wàn)

【分析】（1）由43C的面積求得A8,再由余弦定理求AC的長(zhǎng);

(2)48與8c已知，由余弦定理求A￡>+8的最大值，即可得四邊形4BCD周長(zhǎng)的最大值.

【詳解】(1)在ABC中，由題意有S,”=LBC.48.sinNA8C='x3xABx3=甄，解得AB=6,

ABC2222

又由余弦定理得AC2=AB2+8C2-2AB-8C.COSZA8C=32+62—2*3*6XCOS120=63,所以AC=3幣.

(2)BC=3,48=6,設(shè)A￡>=〃?,8=〃，

四邊形ABC。周長(zhǎng)設(shè)為/,貝!|/=機(jī)+〃+9,由題可知，/。=180-/3=60,

在.ACZ)中，由余弦定理得((3\/7)2=m2+n2-2/?jncos60=(m+ri)'-3mn,

貝!|Q"+")2=3，W〃+6343X(^1^)2+63,所以(機(jī)+爐44x63,即m+n&6出,

當(dāng)且僅當(dāng)1n=n=3不時(shí)等號(hào)成立，

所以(nax=9+677,即四邊形周長(zhǎng)的最大值為9+6萬(wàn)

4.(2021春.四川成都.高一四川省成都市鹽道街中學(xué)?？茧A段練習(xí))在一ABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)

11

邊分別為“，b,c,*=sinB,tanA+tanC=2"'.

cosA

(1)求角C和邊c的大小.

(2)求345c周長(zhǎng)的范圍.

【答案】⑴c=*,C=g⑵^

【分析】(D由三角恒等變換化簡(jiǎn)等式tan4+tanC=3^,結(jié)合角的范圍可得C,再由正弦定理及

cosA

b=>/2sinB求得C;

(2)結(jié)合正弦定理有〃+b+c=0(sinA+sinB)+*,結(jié)合角的關(guān)系及三角恒等變換化簡(jiǎn)求范圍即可.

【詳解】(D

2sinBA「sinAsinCsinAcosC+cosAsinCsin(A+C)sin(兀一8)sinB

cosAcosAcosCcosAcosCcosAcosCcosAcosCcosAcosC

TA、B、Cl0,AcosC=-,：.C=-.

{jcosA23

由Z?=>/2sin4及正弦定理得V2=—-—=―--=>c=\/2sinC=:

sinBsinC2

(2)由正弦定理得上-=—2_=血=〃=應(yīng)sinA,

sinAsinB

；?a+/?=V2sinA+sin=5/2--B+sinB

；cosB+；sinB=Vbg-cosB+等sinB

=0=Vising+一71

6

?.”《O,金，.?.嗚士用,.igin?。抗芫W(wǎng).

^ABC周長(zhǎng)。+b+c?

五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)

1.(2023?湖南張家界?統(tǒng)考二模)記:A8C的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

6fsin(B+C)=Z?(sinB-sinC)+csinC.

⑴求A;

(2)若a=2有，求ABC的面積的最大值.

【答案】(嗚

⑵5G

【分析】(1)利用正弦定理邊化角以及余弦定理求解；

(2)利用基本不等式和面積公式求解.

【詳解】(1)由〃sin(8+C)=Z;(sin8—sinC)+csinC,

得asinA=Z?sin_B+(c-8)sinC,

由正弦定理，=b2+(c-b)c=b2+c2-be.

由余弦定理'得―史薩be_1

2b^=2

又A?(U),所以A=%

*->22i

⑵由余弦定理cosA==±=；'

所以。2+。2—20=公，

Vb2+c2>2bc,:.b2+c2-20=bc>2bc-20,

所以從420,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=2不時(shí)取“=

所以三角形的面積S=；兒sinA45K.

所以三角形面積的最大值為5百.

2.(2023?河南鄭州?統(tǒng)考一模)在42BC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是。,b,。，且。+c=acosB+島sin8.

(1)求角A的大??；

(2)若。是8C邊上一點(diǎn)，且CD=2DB，若")=2,求AABC面積的最大值.

【答案】(1)44

⑵述

2

【分析】(1)由正弦定理邊化角,可得sinB+sinC=sinA8s5+吠sinAsinB,結(jié)合sinC=sin(A+弦以及三角

恒等變換可得sin,用=；,求得答案；

(2)根據(jù)平面向量共線定理可得，因?yàn)镃0=2DB,AD=|AB+|AC,平方后得4=[〃+[02+|慶，結(jié)

合基本不等式求出歷46,再利用三角形面積公式求得答案.

【詳解】(1)解：因?yàn)閆?+c=acosB+GasinB,

所以sinB+sinC=sinAcos5+sinAsin3,

又因?yàn)閟inC=sin(A+B)=sinAcosB4-cosAsinB,

所以sin8+cosAsinB=y/3sinAsin8,

而8G(0,兀),sinBwO,

所以GsinA-cosA=l,即-?卜3,

又因?yàn)?<A<TT,所以<乎，故A-J=m，解得A=S.

ooooo3

(2)解：如圖，

21

因?yàn)镃D=2￡)B,AD=-AB+-AC,

由AZ)。=(gAB+gAC),所以4=g/+gc2+￡bc,

4=—Z?2+—c2+—bc>—bc+—bc=—bc,

999993

解得歷W6,當(dāng)且僅當(dāng)》=2c=26時(shí)取“=”，

所以ABC的面積為S=LACdB?sinB4C=^bc4地,

242

當(dāng)且僅當(dāng)b=2c=2V5時(shí)，ABC的面積有最大值為邁.

2

3.(2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))己知ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,J且滿足

sin2B_tanC+1

1+cos28tanC-1

(1)求角A的大??；

(2)設(shè)A￡>是BC邊上的高，且A￡?=2,求ABC面積的最小值.

【答案】⑴:

4

(2)472-4

【分析】(1)利用三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)已知條件，從而求得A的大小.

(2)利用余弦定理、基本不等式求得兒的最小值，進(jìn)而求得」ABC面積的最小值.

【詳解】⑴法-：左邊=懸就段鬻=鬻，

sinC[

---------F1

一、，—_ta_n__C__+_1—ucuc?qJ「---—-_s_in__C__+_c_o_s__C_

tanC-1sinCsinC-cosCT

----------1

cosC

.時(shí)以但sinBsinC+cosC.廠.?廠

由題意得----=-----------=>sm8osme-sinBncosC=cosBnsinC+cos8cosC

cos8sinC-cosC

=sin（8+C）+cos（8+C）=0=tan（8+C）=—1,即tanA=l,

又因?yàn)?<A5所以A弋.

、3一sin282sinBcosB八

法一：左邊=；---------~=tanB,

1+cos282cos~B

「兀

tanC+tan

.tanC+171

右邊二-—=-tan|C+—nl-C-^j,

tanC-14=ta

1-tanCtan—

4

TTTt

由題意得B=—C------Fku=B+C=-------Fku,

44

又因?yàn)?<8+C〈兀，所以B+C=%nA=C

44

(2)由SA”='ax2=L/?csin巴=

△ABC2244

22222

由余弦定理得/=b+c-2Z?ccos—=>a=b+c-y[2bc9

4

n-b2c2=b2+c2-42bcn-b2c2+42bc=/+c2>2bc,

88

=>fec>8(2-V2),當(dāng)且僅當(dāng)力=c時(shí)取“等號(hào)”，

而也席=/與吟=￥乩，故⑸皿僵=[x8(2-&)=4應(yīng)-4

7T

4.(2022?山東聊城?統(tǒng)考三模)已知ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,且bsinC=ccos(B-：).

6

⑴求角B：

⑵若斤4,求.A8C周長(zhǎng)的最大值.

【答案】(1)8=9；

(2)12.

【分析】(1)利用差角的余弦公式，結(jié)合正弦定理，化簡(jiǎn)計(jì)算作答.

(2)利用余弦定理，結(jié)合均值不等式求出a+c的最大值

【詳解】(1)因?yàn)?。sinC=ccos(8-*,則匕sinC=°(4<：0$8+Jsin8),

在.ABC中，由正弦定理得，sinBsinC=sinC(1^cosB+gsinB),而Cw(0,7t),即sinC>0,

整理得sin8=6cos8,即tan8=6，又Be(0,7t),解得8=5，

所以8=1.

(2)在ABC中，由余弦定理從=。2+/-2accos3得：16=t72+c2-ac,即(a+c?-16=3ac,

而ac4(g￡)2,于是得(n+c)-V64,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)取"=",

因此，當(dāng)a=c=4時(shí)，a+c取最大值8,從而a+b+c取最大值12,

所以ABC周長(zhǎng)的最大值為12.

5.(2022?河南南陽(yáng)?南陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知一ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是“，b,c,

(a—c)sinA+csin(4+B)=Z?sinB.

⑴求角B；

(2)若b=l,求ABC的面積Se0電,求,ABC的周長(zhǎng)/的取值范圍.

【答案】(1)B=?

⑵(2,&+1)

【分析】(1)根據(jù)內(nèi)角和定理可知sin(A+B)=sinC,結(jié)合條件，利用正弦定理可得片,再根

據(jù)余弦定理即可求解；

(2)根據(jù)結(jié)合三角形面積公式可得0<ac<g,根據(jù)余弦定理可得cos8=)將

。=1代入，貝?。?2+,2-1=雙，即(a+c)2=3ac+l,可得到a+c的范圍，即可求解.

【詳解】(1)由內(nèi)角和定理得：sin(A+B)=sin(^--C)=sinC,

?.(?—c)sinA-+-csinC=/?sinB,

22222

由正弦定理邊角互化得：(a-c)a4-c=b,BPa+c-b=ac9

?Q_a?+c~-b~1

lac2

???3w(0㈤，：.B=-

3

(2)由(1),sinB=—,

2

則由題意，S=；acsin8，故G<^~ac,即0<ac<L，

4123

由余弦定理可得cos3=巴士..-=-,b-\,貝!|/+<:2-1=農(nóng)，故(a+c)2=3ac+1e(l,2),

lac2

所以1<6T+c<V2,故2va+b+c<正+l,

即,71BC的周長(zhǎng)1的取值范圍為(2,及+1)

6.(2022?福建泉州.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在,ABC中，角48,C所對(duì)的邊分別是a",c.已知主吧1=*+且

beahac

⑴求A;

(2)若a=6,求ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】(1)A=?

⑵(26,3網(wǎng)

【分析】(D根據(jù)正弦定理即可求得角A；

(2)利用三角函數(shù)求值域求周長(zhǎng)的取值范圍.

2cosAcosBcosC

【詳解】（1）------=-----+-----

/.2tzcosA=ccosB+/?cosC,

由正弦定理得:

2sinAcosA=sinCeosB+sinBcosC=sinA,

又sinAwO,所以cosA=5，Ae(O,7t),

所以A=

（2）由正弦定理得：忑b萬(wàn)二碇c二而a了;得=2

2

rr

所以。+c=2sin8+2sinC=2sin8+2sin(8+§)

=2sinB+sinB+>/3cosB=2Gsin(8+工),

6

r、,八2九、n兀/汽571.

(0,——)9B+—G(―,--)

3666

所以四嗚）七,1,所以6+C€("2Vf|,

2

所以周長(zhǎng)a+"ce（2&,3可

7.（2022.安徽合肥.合肥市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，匕，c,且

bsin8cosc=cos8(Ga-/?sinC).

⑴求角B；

⑵若人=26,求一ABC周長(zhǎng)的最大值.

【答案】（1）3=。

(2)6^

【分析】(1)由人sinNcosC=cos3(Ga-AsinC),結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)，利用正弦定理求解;

（2）方法一：利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解;方法二：利用正弦定理轉(zhuǎn)化為/=4Gsin（A+5+26,

6

利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

(1)

解：由bsinBcosC=cos3(Ga-Z?sinC),

得sinJ?cosC+cosBsinC)=6〃cosB,

所以bsin(8+C)=6acosB,即力sinA=6acosB.

又由正弦定理有sinBsinA=V3sinA-cosB,

又sinA>0,所以tan8=V^,

又0<5<乃，解得8=。.

(2)方法一：h=2\/3,cosB=a+C———,即(a+c)2-12=3ac,

2ac2

所以(〃+4-12=3農(nóng)忘;(4+靖，當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)等號(hào)成立，

所以a+c<473,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=26時(shí)等號(hào)成立.

所以ABC周長(zhǎng)的最大值為66；

TTnb

方法二：由⑴得八寸在△AB。中篇------=4,

sinBsinC

所以周長(zhǎng)/=4sinA+4sinC+25/5,

Toi

=4\/3(-sinA+—cosA)+2A/3，

22

=4^sin(A+工)+26,

6

因?yàn)?€(0，M),所以sin(A+J)=l,

36

即A=?時(shí)_ABC周長(zhǎng)取最大值6石

8.(2023?安徽宿州?統(tǒng)考一模)在&ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是mb,c,且

(b—c)(sin8—sinC)=asinA-6sinC.

(1)求角A的大小；

⑵求sin8+sinC的取值范圍.

【答案】(嗚

⑵，石

【分析】(D由正弦定理，將角化邊，再根據(jù)余弦定理，求解即可.

(2)由⑴可知，4貝！jsinB+sinC=JJsin(B+：卜石sin卜+J根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖象和

性質(zhì)，求解即可.

【詳解】（D由正弦定理可得S-c）S-c）=a?a-歷,^b2+c2-a2=bc,

由余弦定理的變形得8SA=%C［

又A?0,兀），所以A=*

22兀兀(2TI)

(2)由A+8+C=7c得(7=7一8,BG(^0,—I,

3

所以sinC=sin［會(huì)一3兀

=sin7t-8+m=疝嗚,

3

3

所以$訪3+$1叱=$出3+$由(8+］)=2$抽3+——cos8=Gsin(B+p,

22

因?yàn)锽e［。［兀｝從而B71兀5

67%兀

所以疝,+仁

e，從而sinB+sinCc

伴，君.

即sinfi+sinC的取值范圍為

2

9.（2022?河南?校聯(lián)考一模）在銳角一ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知2asin8=J的.

⑴求A;

（2）求cosB+cosC的取值范圍.

【答案】⑴A=

(2)

【分析】由正弦定理邊化角再根據(jù)角度范圍得角A得大小;

根據(jù)銳角三角形得角8得范圍，然后將cosB+cosC轉(zhuǎn)化為關(guān)于角8的正弦型三角函數(shù)，根據(jù)正弦型函數(shù)性

質(zhì)從而可得取值范圍.

【詳解】（1）解：因?yàn)?〃sin3=J的，由正弦定理一—=—r—得：2sinAsinB=>/3sinB,

sinAsinB

n

又因?yàn)殇J角MC中，所以sinBwO,

2

則2sinA=>A，即sinA=故A=［；

23

(2)解：由(1)得，B+C=TT-A="所以C==-3,

33

0<B<-

又因?yàn)殇J角他C中得：.2,所以￡<8<g,

八24D462

0<------B<—

32

所以cos3+cosC=cos3+cos（至-=cosB+（一，cos3+走sin3=sin]B+—

I3）I2）2I6

因?yàn)椤?lt;3<g,所以q<B+]<耳，所以sinjB+%]efW[],

6236316/12

即cos8+cosC的取值范圍為

10.（2022.吉林.東北師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知qABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,且

acosC=2/?cosA-ccosA.

⑴求A；

（2）若〃=石，求b—c的取值范圍.

【答案】（嗚

⑵卜V5,百）

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，然后利用兩角和的正弦公式變形可得答案；

（2）利用正弦定理將6-c轉(zhuǎn)化為2sinB-2sinC,然后利用三角恒等變換的公式將b-c表示成三角函數(shù)的

形式，通過三角函數(shù)的值域的求法求出范圍.

【詳解】（1）由正弦定理?cosC=2Z?cosA-ccosA可變形為sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA

/.2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB,

sinB0

/.2cosA=l,即cosA=；,又入￡（0,兀）

c_b_a_>/3

（2）由正弦定理sinC-sin8-sinA一

sin—

3

二.c=2sinC,/?=2sinB,

/.Z?-c=2sinB-2sinC=2sinC+yj-2sinC=sinC+V3cosC-2sinC

=V3cosC-sinC=2cos1c+己

八k2兀71715K

又°<C<7'.二<c+7<v

所以一坐<cos(C+1)<坐，

2I6；2

即人-c的取值范圍是(-G@.

11.(2022?四川綿陽(yáng)?鹽亭中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))在銳角..4?C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已

知向量”2、〃滿足：相=(2a,?),”=e,J^sin8),且加〃

⑴求角4

(2)若a=2,求6+c的取值范圍.

【答案】(1)A=?

⑵(26,4]

【分析】(1)根據(jù)平行向量的坐標(biāo)表示得出邊與角的關(guān)系式，再利用正弦定理即可求出角A；(2)利用正

弦定理將邊表示成角的形式，即6+c=4sin(B+?｝再根據(jù)三角形形狀和輔助角公式，即可求出6+c,的取

值范圍.

【詳解】⑴因m=(2a,卡)〃由&sinB),且,篦〃〃，

于是有2axesinB=\fbb,即2asinB=J。，

在.ABC中，由正弦定理得：2sinAsin8=\/5sinB,TfOsinB>0,

于是得sinA=",又A為銳角，

2

所以A=5.

(2)ABC是銳角三角形，由(1)知A=。，C=^-B,

33

于是有0<B<g,且0<4-8<[,從而得

23262

b_c_a_2_4^3

而。=2,由正弦定理得sin3-sinC-sinA一百一丁，

T

貝!]Z?二生叵sinB9

3

.(2兀.

c=---sinC=----sin------B?

333)

EI七人4V3..(2TT]V3.1i.(

貝(J有b+c=——[sin8D+sin[-^--=4—sin5D+—cosBD=4Asin|^BD+—

而乙<8+代<生，則且<sin(8+工]41,

3632I6J

即2y/3<b+c<4,

所以b+c的取值范圍(2石,4].

六、高考真題銜接

1.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)ABC中，sin24-sin2B—sin2C=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若8c=3,求4?C周長(zhǎng)的最大值.

【答案】(1)y;(2)3+2案.

【分析】(D利用正弦定理角化邊，配湊出cosA的形式，進(jìn)而求得A；

(2)方法一：利用余弦定理可得到(4C+AB)2-4C.AB=9,利用基本不等式可求得AC+AB的最大值,

進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】(1)由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=ACAB,

AC'+AB--BC1

cosA=2

2ACAB2

Ae(O㈤，A=—.

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：余弦+不等式

由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC-ABcosA=AC2+AB2+AC-AB=9,

即(AC+AB)2-ACAB=9.

AC-AB<{AC+AB](當(dāng)且僅當(dāng)AC=A8時(shí)取等號(hào)),

:.9=(AC+ABy-ACAB>(AC+AB)2+j=^(AC+AB^,

解得：AC+AB<243(當(dāng)且僅當(dāng)AC=Afi時(shí)取等號(hào)),

ABC周長(zhǎng)L=AC+AB+BC43+26，，ABC周長(zhǎng)的最大值為3+26.

［方法二］:正弦化角(通性通法)

設(shè)8=J+a,C=9-a,則一g<a<￡,根據(jù)正弦定理可知號(hào)=3=芻=，所以

6666sinAsinBsine

b+c=2>/3(sinB+sinC)=2Gsin^+a^+sin^-aj^|=26cosa<2g,當(dāng)且僅當(dāng)a=0,即B=C=^■時(shí),

等號(hào)成立.此時(shí)周長(zhǎng)的最大值為3+2石.

［方法三］:余弦與三角換元結(jié)合

在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.由余弦定理得9=〃+c?+》c,即p+gc)+!?=9.令

,2eejog),得〃+c=3sine+Gcos?=2石sin+42A/5,易知當(dāng)C=￡時(shí)，

c=2氐ose12JI6J6

S+C)max=26，

所以ABC周長(zhǎng)的最大值為3+26.

【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周

長(zhǎng)最大值的求解問題；

方法一：求解周長(zhǎng)最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.

方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍進(jìn)行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件

的，則采用此法解決.

方法三巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求最值問題.

2.(2020.浙江?統(tǒng)考高考真題)在銳角△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2bsinA-6”=0.

(I)求角B的大小；

(II)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

【答案】(I)B=(II)(空，|

【分析】(D方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大小；

(II)方法二：結(jié)合(I)的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形

為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得cosA+cosB+cosC的取值范圍.

【詳解】(I)

［方法一］:余弦定理

由次inA=耳，得sin”=(嚕韋，即ZA節(jié)

結(jié)合余弦定3人與包

fb2+c2-a2^3a2

[-2bc-)

即4h2c2-b4-c4-a4-2b2c2+2h2a2+2c2a2=3a2c2,

即a4+b4+c4+a2c2-2a2b2-2b2c2=0,

即a4+b4+c4+2a2c2-2a2b2-2b1c1=a2c2)

即(/+02_/)2=3)2,

222

?；為銳角三角形，...a+c-b>0,

.**a2+c2—b2=ac>

又B為.ABC的一個(gè)內(nèi)角，故B=。.

［方法二］【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角

h

由2/?sinA=y/3a,結(jié)合正弦定理可得：2sinBsinA=\［3sinA,sinB=