重慶市第七十一中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高三上期末綜合測試模擬試題含解析

重慶市第七十一中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高三上期末綜合測試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．2．設(shè)是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項(xiàng)和為．則“，”是“為遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．4．已知等式成立，則（）A．0 B．5 C．7 D．135．已知正方體的棱長為，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題:①;②直線與直線所成角為;③過，，三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．6．在展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A．1 B．2 C．3 D．77．在四面體中，為正三角形，邊長為6，，，，則四面體的體積為（）A． B． C．24 D．8．下圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間，六個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格（單位元），以及相比于上一年同期價(jià)格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高B．天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大C．上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)D．相比于上一年同期，其中四個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加9．設(shè)，則關(guān)于的方程所表示的曲線是（）A．長軸在軸上的橢圓 B．長軸在軸上的橢圓C．實(shí)軸在軸上的雙曲線 D．實(shí)軸在軸上的雙曲線10．古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)“完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28恰好在同一組的概率為A． B． C． D．11．設(shè)，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．12．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)是拋物線上動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為______________．14．一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，，，，則該四面體的外接球的體積為__________．15．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_____．16．如圖，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中點(diǎn)，E在邊AC上，AE＝2EC，CD與BE交于點(diǎn)O，若OB＝OC，則△ABC面積的最大值為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足bcosA﹣asinB＝1．（1）求A；（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面積．19．（12分）如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.（1）證明：平面；（2）設(shè)為棱的中點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.20．（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，點(diǎn)A在平面BCC1B1上的投影為棱BB1的中點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ACC1A1為矩形；（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，.（1）證明：平面平面ABCD；（2）設(shè)H在AC上，，若，求PH與平面PBC所成角的正弦值.22．（10分）設(shè)函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且，求的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【題目詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù)，所以，解得，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項(xiàng)和為，充分性：，則對(duì)任意的恒成立，則，，若，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在，使得當(dāng)時(shí)，，則，不合乎題意；若，由且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則對(duì)任意的，，合乎題意.所以，“，”“為遞增數(shù)列”；必要性：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，但數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“，”“為遞增數(shù)列”.因此，“，”是“為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題．3、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡，由此求得.【題目詳解】依題意，所以.故選：B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【題目詳解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，，而，所以.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了特殊值代入法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、C【解題分析】

畫出幾何體的圖形，然后轉(zhuǎn)化判斷四個(gè)命題的真假即可．【題目詳解】如圖；連接相關(guān)點(diǎn)的線段，為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，可知，，可知平面，即可證明，所以①正確；直線與直線所成角就是直線與直線所成角為；正確；過，，三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為五邊形；如圖：是五邊形．所以③不正確；如圖：三棱錐的體積為：由條件易知F是GM中點(diǎn)，所以,而，．所以三棱錐的體積為，④正確；故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及空間幾何體的體積，直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面的基本性質(zhì)，是中檔題．6、D【解題分析】

求出展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)，問題得解?！绢}目詳解】展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)分別為：,，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理中展開式的通項(xiàng)公式及轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。7、A【解題分析】

推導(dǎo)出，分別取的中點(diǎn),連結(jié)，則，推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而四面體的體積為，由此能求出結(jié)果.【題目詳解】解：在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，，，，，，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，且，，，，平面，平面，，四面體的體積為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.8、D【解題分析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出敘述不正確的選項(xiàng).【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價(jià)格最高，所以A選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大，所以B選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)，所以C選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加，故D選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤.故選：D【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

根據(jù)條件，方程．即，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型．【題目詳解】解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，

方程，即，表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線，

故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，依據(jù)條件把已知的曲線方程化為是關(guān)鍵．10、B【解題分析】

推導(dǎo)出基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出6和28恰好在同一組的概率．【題目詳解】解：將五個(gè)“完全數(shù)”6，28，496，8128，33550336，隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴6和28恰好在同一組的概率．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

由已知畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值．【題目詳解】解：表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最大，即．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當(dāng)和拋物線相切時(shí)，的值最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得的最小值.【題目詳解】解：由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當(dāng)最小時(shí)，的值最小.設(shè)切點(diǎn)，由的導(dǎo)數(shù)為，則的斜率為，求得，可得，，，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.14、【解題分析】

將四面體補(bǔ)充為長寬高分別為的長方體，體對(duì)角線即為外接球的直徑，從而得解.【題目詳解】采用補(bǔ)體法，由空間點(diǎn)坐標(biāo)可知，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)長方體上，該長方體的長寬高分別為，長方體的外接球即為該四面體的外接球，外接球的直徑即為長方體的體對(duì)角線，所以球半徑為，體積為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了四面體外接球的常用求法：補(bǔ)體法，通過補(bǔ)體得到長方體的外接球從而得解，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

先計(jì)算平均數(shù)再求解方差與標(biāo)準(zhǔn)差即可.【題目詳解】解：樣本的平均數(shù),這組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差,故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

先根據(jù)點(diǎn)共線得到，從而得到O的軌跡為阿氏圓，結(jié)合三角形和三角形的面積關(guān)系可求.【題目詳解】設(shè)B，O，E共線，則，解得，從而O為CD中點(diǎn)，故.在△BOD中，BD＝2，，易知O的軌跡為阿氏圓，其半徑，故．故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的面積問題，把所求面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2）【解題分析】

（1）由成等差數(shù)列，可得到，再結(jié)合公式，消去，得到，再給等式兩邊同時(shí)加1，整理可證明結(jié)果；（2）將（1）得到的代入中化簡后再裂項(xiàng)，然后求其前項(xiàng)和.【題目詳解】（1）由成等差數(shù)列，則，即，①當(dāng)時(shí)，，又，②由①②可得：，即，時(shí)，.所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，所以.（2），所以.【題目點(diǎn)撥】此題考查了數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的證明，裂列相消求和，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由正弦定理化簡已知等式可得sinBcosA﹣sinAsinB＝1，結(jié)合sinB＞1，可求tanA＝，結(jié)合范圍A∈（1，π），可得A的值；（2）由已知可求C＝，可求b的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解．【題目詳解】（1）∵bcosA﹣asinB＝1．∴由正弦定理可得：sinBcosA﹣sinAsinB＝1，∵sinB＞1，∴cosA＝sinA，∴tanA＝，∵A∈（1，π），∴A＝；（2）∵a＝2，B＝，A＝，∴C＝，根據(jù)正弦定理得到∴b＝6，∴S△ABC＝ab＝＝6．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）見證明；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，利用勾股定理得到，利用線面垂直的判定定理證得平面；（2）設(shè)，利用椎體的體積公式求得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得時(shí)，四面體的體積取得最大值，之后利用空間向量求得二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋云矫?（2）解：設(shè)，則，四面體的體積.，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，四面體的體積取得最大值.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，同理可得平面的一個(gè)法向量為，則.由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，椎體的體積，二面角的求法，在解題的過程中，注意巧用導(dǎo)數(shù)求解體積的最大值.20、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）通過勾股定理得出，又，進(jìn)而可得平面，則可得到，問題得證；（2）如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空間向量的夾角公式可得答案.【題目詳解】（1）因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋?，，所以，因此，所以，因此平面，所以，從?/p>