上海市上海大學(xué)附屬中學(xué)2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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上海市上海大學(xué)附屬中學(xué)2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合則()A. B. C. D.2.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則的最小值為()A. B. C. D.3.設(shè)集合,,則().A. B.C. D.4.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:X01Pabc其中a,b,.若X的方差對(duì)所有都成立,則()A. B. C. D.5.已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球(),現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球,再換回一個(gè)不同顏色的球(即若取出的是白球,則放回一個(gè)黑球;若取出的是黑球,則放回一個(gè)白球),記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是.若,則=()A. B.1 C. D.26.在的展開(kāi)式中,的系數(shù)為()A.-120 B.120 C.-15 D.157.已知,,若,則實(shí)數(shù)的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或78.若sin(α+3π2A.-12 B.-139.設(shè)是虛數(shù)單位,,,則()A. B. C.1 D.210.己知全集為實(shí)數(shù)集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},則等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)11.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則的最大值為()A.2 B. C.1 D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則_________.14.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),記為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,則______.15.如圖是一個(gè)算法的偽代碼,運(yùn)行后輸出的值為_(kāi)__________.16.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),,若點(diǎn)B(x,y)滿(mǎn)足,則的最大值是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,且.(1)求;(2)若的面積為,,求的周長(zhǎng).18.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)函數(shù),若對(duì)于,使得成立,求的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函數(shù)的定義域和值域.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn),曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線(xiàn)、的極坐標(biāo)方程;(2)在極坐標(biāo)系中,射線(xiàn)與曲線(xiàn),分別交于、兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)),定點(diǎn),求的面積21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.(2)設(shè)函數(shù),若,且的最小值為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù),(其中,).(1)求函數(shù)的最小值.(2)若,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

解對(duì)數(shù)不等式可得集合A,由交集運(yùn)算即可求解.【題目詳解】集合解得由集合交集運(yùn)算可得,故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算,對(duì)數(shù)不等式解法,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

由,可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可知當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,從而可知的最小值為,求解即可.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,由題意得,,得,解得,得.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則的最小值為.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.3、D【解題分析】

根據(jù)題意,求出集合A,進(jìn)而求出集合和,分析選項(xiàng)即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意,則故選:D【題目點(diǎn)撥】此題考查集合的交并集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題目,4、D【解題分析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進(jìn)而得出結(jié)論.【題目詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值,又對(duì)所有成立,所以,解得,故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查了隨機(jī)變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí),需要學(xué)生具備一定的計(jì)算能力,屬于中檔題.5、B【解題分析】由題意或4,則,故選B.6、C【解題分析】

寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,令,即,則可求系數(shù).【題目詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,令,即時(shí),系數(shù)為.故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)的通項(xiàng)公式,屬基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,化簡(jiǎn)即可求得的值.【題目詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,代入化簡(jiǎn)可得.∴解得.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(jiǎn)即可.【題目詳解】因?yàn)閟inα+3π2=3故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式,靈活掌握公式是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

由,可得,通過(guò)等號(hào)左右實(shí)部和虛部分別相等即可求出的值.【題目詳解】解:,,解得:.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對(duì)于復(fù)數(shù)的運(yùn)算類(lèi)問(wèn)題,易錯(cuò)點(diǎn)是把當(dāng)成進(jìn)行運(yùn)算.10、D【解題分析】

求解一元二次不等式化簡(jiǎn)A,求解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)B,然后利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算得答案.【題目詳解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,

∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},

由log2x<1,x>0,得0<x<2,

∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},

則,

∴.

故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算,考查了對(duì)數(shù)不等式,二次不等式的求法,是基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

將整理成的形式,得到復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的的點(diǎn),從而可選出所在象限.【題目詳解】解:,所以所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).易錯(cuò)點(diǎn)是誤把當(dāng)成進(jìn)行計(jì)算.12、B【解題分析】

作出可行域,平移目標(biāo)直線(xiàn)即可求解.【題目詳解】解:作出可行域:由得,由圖形知,經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),其截距最大,此時(shí)最大得,當(dāng)時(shí),故選:B【題目點(diǎn)撥】考查線(xiàn)性規(guī)劃,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】

因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以,又,所以,所?.14、63【解題分析】

對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn),可得,再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可【題目詳解】由數(shù)列為首項(xiàng)為,公比的等比數(shù)列,所以63【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列基本量的求法,當(dāng)處理復(fù)雜因式時(shí),常用基本方法為:因式分解,約分。但解題本質(zhì)還是圍繞等差和等比的基本性質(zhì)15、13【解題分析】根據(jù)題意得到:a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不滿(mǎn)足條件,故得到此時(shí)輸出的b值為13.故答案為13.16、【解題分析】,可行域如圖,直線(xiàn)與圓相切時(shí)取最大值,由三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】

(1)利用正弦定理將目標(biāo)式邊化角,結(jié)合倍角公式,即可整理化簡(jiǎn)求得結(jié)果;(2)由面積公式,可以求得,再利用余弦定理,即可求得,結(jié)合即可求得周長(zhǎng).【題目詳解】(1)由題設(shè)得.由正弦定理得∵∴,所以或.當(dāng),(舍)故,解得.(2),從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長(zhǎng)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查由余弦定理解三角形,涉及面積公式,正弦的倍角公式,應(yīng)用正弦定理將邊化角,屬綜合性基礎(chǔ)題.18、(1)當(dāng)時(shí),在上增;當(dāng)時(shí),在上減,在上增(2)【解題分析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類(lèi)討論確定的正負(fù),確定單調(diào)區(qū)間;(2)題意說(shuō)明,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值,由(1)可得的最小值,從而得出結(jié)論.【題目詳解】解:(1)定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),即在上增;當(dāng)時(shí),即得得綜上所述,當(dāng)時(shí),在上增;當(dāng)時(shí),在上減,在上增(2)由題在上增由(1)當(dāng)時(shí),在上增,所以此時(shí)無(wú)最小值;當(dāng)時(shí),在上減,在上增,即,解得綜上【題目點(diǎn)撥】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查不等式恒成立問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,求出兩函數(shù)的最小值后可得結(jié)論.19、(Ⅰ)(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)?,值域?yàn)椤窘忸}分析】

(1)由為第二象限角及的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值,再代入中即可得到結(jié)果.(2)函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個(gè)角的正弦函數(shù),根據(jù)的范圍,即可得到函數(shù)值域.【題目詳解】解:(1)因?yàn)槭堑诙笙藿牵?,所?所以,所以.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?化簡(jiǎn),得,因?yàn)?,且,,所以,所?所以函數(shù)的值域?yàn)?(注:或許有人會(huì)認(rèn)為“因?yàn)?,所以”,其?shí)不然,因?yàn)?)【題目點(diǎn)撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問(wèn)題,涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問(wèn)題,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力,屬于??碱}型.20、(1),;(2).【解題分析】

(1)先把參數(shù)方程化成普通方程,再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程;(2)先利用極坐標(biāo)求出弦長(zhǎng),再求高,最后求的面積.【題目詳解】(1)曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為:,因?yàn)榍€(xiàn)的普通方程為:,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為;(2)由(1)得:點(diǎn)的極坐標(biāo)為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,點(diǎn)到射線(xiàn)的距離為的面積為.【題目點(diǎn)撥】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化,同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問(wèn)題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.21、(1);(2).【解題分析】

(1)令,求出的范圍,再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論;(2)對(duì)分類(lèi)討論,分別求出以及的最小值或范圍,與的最小值建立方程關(guān)系,求出的值,進(jìn)而求出的取值關(guān)系.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí),,令,∵∴,而是增函數(shù),∴,∴函數(shù)的值域是.(2)當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,在上單調(diào)遞增,最小值為,而的最小值為,所以這種情況不可能.當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞減且沒(méi)有最小值,在上單調(diào)遞增最小值為,所以的最小值為,解得(滿(mǎn)足題意),所以,解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)合函數(shù)的值域與分段函數(shù)的最值,熟練掌握二次函數(shù)圖像

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