2023年五年級下冊思維拓展-尾數(shù)和余數(shù)問題（春季培優(yōu)講義）（通用版）含答案

2023年小學(xué)五年級數(shù)學(xué)下冊思維通用版

尾數(shù)和余數(shù)問題習(xí)題及答案

知識點總結(jié)：

自然數(shù)的末位數(shù)字稱為自然數(shù)的尾數(shù)；除法中，被除數(shù)減去商與除數(shù)的差叫

作余數(shù)。尾數(shù)和余數(shù)在運算時是有規(guī)律可循的，利用這種規(guī)律能解決一些看起來

無從下手的問題

【經(jīng)典例題1】

17X17X17X-X17積的尾數(shù)是幾？

k________Y__________/

109個17

【思路分析】若干個自然數(shù)的積的尾數(shù)等于這若干個自然數(shù)尾數(shù)之積的尾數(shù)，102

個17的連來積的尾數(shù)等于102個7的連乘積的尾數(shù)。

【本題解答】

我們先列舉前幾個7的積，看看尾數(shù)在怎樣變化，

1個7的尾數(shù)就是7；

7X7的尾數(shù)是9；

7X7X7的尾數(shù)是3；

7X7X7X7的尾數(shù)是1；

由此可見，

積的尾數(shù)以7、9、3、1這四個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，102+4=25……2,說明102個7相

乘，積的尾數(shù)是9,即102個17相乘，積的尾數(shù)是90

【擴(kuò)展訓(xùn)練】

1.9X9X9X-X9X9積的末尾數(shù)字是幾?

_________/

Y

2013^9

2.3X3X3X…X3X3（2009個3相乘）的積的個位數(shù)字是多少？

3.2012個2012相乘的末位數(shù)字是o

A.2B.4C.6D.8

【經(jīng)典例題2】

一個兩位數(shù)除723,余數(shù)是30,滿足條件的兩位數(shù)共有個，分別是o

【思路分析】由題意知：723+□匚1=商……30,□□義商=723-30=693,把693分

解質(zhì)因數(shù)693=3X3X7X11,因為除數(shù)□□比30大，滿足條件的兩位數(shù)3X

11=33,3X3X7=63,7X11=77,3X3Xll=99o

【本題解答】

723-30=693

把693分解質(zhì)因數(shù)：693=3X3X7X11

滿足條件的兩位數(shù)：3X11=33,3X3X7=63,7X11=77,3X3X11=99。

答:滿足條件的兩位數(shù)共有4個,分別是3、63、77、99o

【擴(kuò)展訓(xùn)練】

k110除以一個兩位數(shù)余數(shù)是5,符合條件的所有兩位數(shù)是多少？

2、將2016除以一個兩位數(shù)，所得余數(shù)為6,請問滿足上述條件的兩位數(shù)共有多少

個？

3、已知一個兩位數(shù)除1177.余數(shù)是49。求滿足這樣條件的所有兩位

數(shù)。

【經(jīng)典例題3】

三化成小數(shù)后，小數(shù)點后面第100個數(shù)字是。

7—

【思路分析】

計算;=0.142857142857…，商是一個循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)是“142857”，周期是6位,

即1,4,2,8,5,7這六個數(shù)字是一個循環(huán)?，F(xiàn)在要求商的小數(shù)點后面第100個數(shù)

字是幾，看6位一循環(huán)一共循環(huán)了多少次，還余幾個數(shù)，從余數(shù)是幾確定小數(shù)點后

面第100個數(shù)字是幾。

【本題解答】

因為三=0.142857

7

周期是6位，100+6=16……4,所以小數(shù)點后面第100個數(shù)字是8?！緮U(kuò)展訓(xùn)練】

1、把分?jǐn)?shù)%化成小數(shù)，小數(shù)部分第2013位上出現(xiàn)的數(shù)字是多少？

2、把分?jǐn)?shù)三化成小數(shù)的形式，小數(shù)點后面第2016位上出現(xiàn)的數(shù)字是多少？

3、把分?jǐn)?shù)三化成小數(shù)的形式，小數(shù)部分第2014位上出現(xiàn)的數(shù)字是多少？這2014

7

個數(shù)字的和是多少？

【經(jīng)典例題4】

22012的個位數(shù)字是多少？（其中2。表示n個2相乘）

【思路分析】

292讀作2的2012次方，表示2012個2連乘。若干個2的連乘積的個位數(shù)字呈

現(xiàn)周期性。

2i的個位數(shù)字是2；

22的個位數(shù)字是4；

23的個位數(shù)字是8；

2’的個位數(shù)字是6；

的個位數(shù)字是2；

2,的個位數(shù)字是4；

2n（n為自然數(shù)）的個位數(shù)字依次是2,4,8,6,2,4,8,6,…，周期為4。

【本題解答】

因為2"（n為自然數(shù)）的個位數(shù)字是2.4,8,6循環(huán)出現(xiàn),周期為4。

20124-4=503,

所以,2如2的個位數(shù)字60

【擴(kuò)展訓(xùn)練】

1、7犯5的個位數(shù)字為多少？

2、2013個8相乘的積是一個很大的數(shù),這個數(shù)的個位數(shù)字是一。

3、20112。1以20122眼的末位數(shù)字是多少？

【經(jīng)典例題5】

力循環(huán)小數(shù)1.1010，移動前一個循環(huán)點，所得最小的數(shù)是多少？

【思路分析】

要得到最小的循環(huán)小數(shù)，首先找出小數(shù)部分最小的數(shù)，顯然這個數(shù)是0,再看0后

面一位以上的數(shù)字，有01,02,其中01最小。

【本題解答】

所得最小的數(shù)是1.1010203.

【擴(kuò)展訓(xùn)練】

1.在小數(shù)1.80524102007上加兩個循環(huán)點，能得到的最小的循環(huán)小數(shù)是多少?

2、給0.767676?再添上一個循環(huán)點，使所得的循環(huán)小數(shù)的值最大，那么這個循環(huán)小

數(shù)應(yīng)寫作。

3、把小數(shù)0.1234567變成循環(huán)小數(shù)，要使小數(shù)點后第100位上的數(shù)字是5,那么

表示循環(huán)節(jié)的兩個點應(yīng)分別加在哪兩個數(shù)字上面？

【經(jīng)典例題6】

算式111…11+7的余數(shù)是多少？

【思路分析】

這道題寫由若干個1來試除，看除到哪一位，正好能被7整除。

【本題解答】

經(jīng)試除，111111能被7整除，即

111111+7=15873,6個數(shù)字為一個周期。

20144-6=335……4,表示原數(shù)被7整除335次后還余下四位，是1111。

11114-7=158……5

所以，原數(shù)除以7的余數(shù)是5。

【擴(kuò)展訓(xùn)練】

1、444…44+6當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？

v----v----)

200^4

2、22…2?13所得的余數(shù)是幾?

V~V~)

3000個2

3、616161…61+7當(dāng)商是整數(shù)時,余數(shù)是幾？

k__________2

2020個61

答案

【經(jīng)典例題1】

1.9【解析】因為1個9的個位數(shù)字是9,9X9的個位數(shù)字是1,9X9X9的個位

數(shù)字是9,……，積的尾數(shù)以“9、1”兩個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，周期為2,2013?

2=1006……1,所以積的尾數(shù)是9.

2.3【解析】因為1個3的個位數(shù)字就是3.3X3的個位數(shù)字是9。3X3X3的個

位數(shù)字是7。3X3X3X3的個位數(shù)字是1,……，積的尾數(shù)以“3,9,7,1”四個數(shù)

字循環(huán)出現(xiàn)，周期為4,20094-4=502……1,所以積的尾數(shù)是為

3.C【解析】2012個2012相乘的末位數(shù)字與2012個2相乘的末位數(shù)字相同。因

為1個2的末位數(shù)字就是2,2X2的末位數(shù)字是4,2X2X2的末位數(shù)字是8,2X2

X2X2的末位數(shù)字是6,……，積的尾數(shù)以“2,4,8,6”四個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn),周期為

4,2012+4=503,所以積的末位數(shù)字是6。

【經(jīng)典例題2】

1.15、21、35【解析】110-5=105,105=3X5X7。符合條件的兩位數(shù)3X5=15,

3X7=21,5X7=35。

2.42016-6=2010,2010=2X3X5X67O符合條件的兩位數(shù)：2義5=10,3義

5=15,2X3X5=30,67,共有4個。

3.516884【解析】除數(shù)X商=1477-49=1428,并且除數(shù)是大于49的兩位數(shù)。1428=2

X2X3X7X17,

滿足條件的所有兩位數(shù)：3X17=51,2X2X17=68,2X2X3X7=84。

【經(jīng)典例題3】

1.3【解析】絲=0.周期是3位,2013+3=671,所以小數(shù)點后面第2013個數(shù)

字是3。

2.7【解析】乂0.02力,周期是2位，（2016-2）62=1007,所以小數(shù)點后面第2016

個數(shù)字是7。

3.59064【解析】孑=0.42857i,周期是6位,2014+6=335……4,所以小數(shù)點后

面第2014個數(shù)字是5。這2014個數(shù)字的和是：（4+2+8+5+7+1）X

335+（4+2+8+5）=9064。

【經(jīng)典例題4】

1.3【解析】因為7"（n為自然數(shù)）的個位數(shù)字是7,9,3,1循環(huán)出現(xiàn)，周期是4。

2015+4=503……3,所以,72a5的個位數(shù)字是3。

2.8【解析】2013個8相乘的積可用8刈3表示。因為8n（n為自然數(shù)）的個位數(shù)

字是8,4,2,6循環(huán)出現(xiàn)，周期為4o20134-4=503……1,所以,8頡的個位數(shù)字是8。

3.6【解析】201產(chǎn)“*2012.2的末位數(shù)字與1如》2如2的末位數(shù)字相同，因為I2011

的末位數(shù)字是1,則原式子就與2.2的末位數(shù)字相同。因為2n（n為自然數(shù)）的個

位數(shù)字是2,4,8,6循環(huán)出現(xiàn)，周期為4。2012+4=503,所以，2犯2的個位數(shù)字6。

即原式子積的末位數(shù)字是60

【經(jīng)典例題5】

1.80524102007【解析】要得到最小的循環(huán)小數(shù)，首先找出小數(shù)部分最小的數(shù),

顯然這個數(shù)是0,再看0后面一位以上的數(shù)字，有05,02,00,07,其中00最小。

2.0.7676768【解析】要得到最大的循環(huán)小數(shù)，首先找出小數(shù)部分最大的數(shù)，顯

然這個數(shù)是7,再看7后面一位以上的數(shù)字，有767,768,其中768最大，所以最大

的循環(huán)小數(shù)0.7676768

3.37【解析】表示兩個小圓點中，后一個小圓點應(yīng)加在7的上面，且數(shù)字“5”

肯定包含在循環(huán)節(jié)中，然后分情況討論前一個循環(huán)節(jié)的點應(yīng)放在哪個數(shù)字上面。

(1)設(shè)前一個小圓點加在“5”的上面，這時循環(huán)周期是3,(100-上+3=32,第100

位數(shù)字是7。

⑵設(shè)前一個小圓點加在“4”的上面，這時循環(huán)周期是4,(100-3)+4=24……1,

第100位數(shù)字是4。

⑶設(shè)前一個小圓點加在“3”的上面,這時循環(huán)周期是5,(100-2)+5=19……3,

第100位數(shù)字是5。

【經(jīng)典例題6】